第2章 专题强化7 小船渡河与关联速度问题-（配套课件）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（鲁科版）

DIERZHANG 第2章 专题强化7　小船渡河与关联速度问题 学习目标 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题(重点)。 2.会分析小船渡河问题的两个分运动，会求渡河的最短时间和最短位移(重难点)。 3.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。 4.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 2 内容索引 一、小船渡河模型 二、关联速度模型 专题强化练 3 一 小船渡河模型 4 如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。 (1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ 答案　①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。 ②船随水漂流的运动。 (2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ 答案　由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间 (3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ 答案　情况一：v水<v船 最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ＝v水，如图所示。渡河所用时间t＝ 。 情况二：v水>v船 如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时 (4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？ 答案　无关。 　(2022·陕西商洛高一期末)某地进行抗洪抢险演练时，把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动，抢险战士发现这一情况时，抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直，木盆到两岸的距离相等，两河岸平行，如图所示。抢险船在静水中的速度为5 m/s，河宽为300 m，河水流速为3 m/s，不计战士的反应时间和船的发动时间，则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为 A.30 s B.60 s C.75 s D.100 s 例1 √ 船与木盆在水中都随水一起向下游运动，向下游运动的速度相等，所以若要救援的时间最短，则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin ＝ ＝30 s，故选A。 　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ 例2 答案　40 s　正对岸下游120 m处 当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝ ＝40 s，小船沿河流方向的位移s＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ 答案　船头指向与河岸的上游成53°角　50 s　 要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝ ＝4 m/s， (3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 答案　船头指向与河岸的上游成60°角 如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝ ，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸 的上游成60°角。 二 关联速度模型 16 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ 答案　不相等。如图，船的位移s船大于车的位移s车＝l1－l2。 (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ 答案　不相等，船的速度大于车的速度。 (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ 答案　如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 1.分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即_______。 分解方法：将物体的实际速度分解为____________和_______的两个分量。 梳理与总结 合速度 垂直于绳(杆) 沿绳(杆) 2.常见的速度分解模型 情景图示 定量结论   v＝v∥＝________   v物′＝v∥＝_________ v物cos θ v物cos θ   v∥＝v∥′即__________________   v∥＝v∥′即__________________ v物cos θ＝v物′cos α v物cos α＝v物′cos β 　(2022·绵阳市高一期末)如图所示，汽车通过绳子绕过定滑轮连接重物M一起运动，不计滑轮摩擦和绳子质量，已知汽车以v匀速向左运动，绳子与水平方向夹角为θ，重物M的速度用vM表示。则 A.重物做匀速运动 B.重物做匀变速运动 C.vM＝vcos θ D.v＝vMcos θ 例3 √ 将汽车的速度分解为沿绳子方向的分速度和垂直于 绳子方向的分速度，则有vM＝vcos θ，由于运动过 程θ减小，cos θ增大，则重物M的速度vM增大，重 物M做加速运动。假设绳子足够长，经过足够长的时间，θ趋近于0°，cos θ趋近于1，vM趋近于v，可知重物并不是做匀加速运动，C正确，A、B、D错误。 (多选)(2022·邢台市高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图所示位置下列说法正确的是 例4 √ √ 设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向 的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝ v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cos θ＝ 故A错误， B正确； 当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 (2022·大连市第八中学高一检测)在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是 例5 √ 将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝vcos θ，解得v＝ ，故D正确，A、B、C错误。 三 专题强化练 1.(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础题 √ √ 2.用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度 A.不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先增大后减小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 小船的速度v船＝ ，θ为绳与水平面的夹角，随着θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，B正确。 3.(多选)(2022·张家口市高一期末)在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个队按不同的要求渡过一条宽为200 m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3 m/s，战士用的船在静水中的速度为5 m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是 A.蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船 B.红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着正对岸划船 C.蓝队完成任务到达对岸用时40 s D.红队完成任务到达对岸的最短时间为40 s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误； 红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B正确； 4.(多选)(2022·福州市高一期末)如图所示，一条细绳跨过光滑轻质定滑轮连接物体A、B，物体A悬挂起来，物体B穿在一根水平杆上。若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动，速度大小为v，当绳与水平杆间的夹角为θ时，则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.物体A的速度大小为 B.物体A的速度大小为vcos θ C.细绳的张力等于物体A的重力 D.细绳的张力大于物体A的重力 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将物体B的速度按图示两个方向分解，如图所示， 故物体A的速度等于沿绳方向的速度，则有vA＝ vcos θ，故A错误，B正确。 物体B向左匀速运动，则θ减小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速运动，故细绳的拉力大于物体A的重力，故C错误，D正确。 5.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是 A.若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等 B.若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等 C.vA＝vBtan θ D.vA＝vBsin θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，当θ＝45°时，vA＝vB，故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(2022·三明市高一期末)下列选项图中，若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。 7.(2022·辽阳市高一期末)某次抗洪救灾中，救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域的距离d＝20 m，救援人 员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水 的速度大小v1＝1 m/s，水流速度大小v2＝2 m/s， 皮筏和车均视为质点，求： (1)皮筏运动到车旁的最短时间t； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　20 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得t＝20 s。 (2)在(1)中皮筏运动的位移大小s。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小s1＝d＝20 m 沿水流方向的位移大小s2＝v2t＝40 m 8.如图所示为一条河流，水流速度为v，某船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则 A.t1＞t2，l1＜l2 B.t1＜t2，l1＞l2 C.t1＝t2，l1＜l2 D.t1＝t2，l1＞l2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 提高题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则船在 垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝ ， 所以两次渡河时间相等。设AB、AC与河岸垂线的 夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1＝v静sin θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v静sin θ|＜v1，则沿河岸方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，l1＞l2，故D正确，A、B、C错误。 9.如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么 A.5 s时绳与水面的夹角为60° B.5 s时小船前进了15 m C.5 s时小船的速率为5 m/s D.5 s时小船到岸边距离为10 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游 处有一危险区，已知水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，恰使小船避开危险区，小船应沿直线 AB到达对岸，此时有tan θ＝ ，所 以θ＝30°。当船头方向与AB垂直时，小船在静水 中的速度最小，最小速度为v1＝v2sin θ＝2 m/s，C项正确。 11.(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若v2＝5 m/s，船速大于水速。 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α＝v1 得α＝30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 s2＝d＝180 m (2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案　船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向 下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为 θ，则航程s3＝ 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1 矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点 与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，即v合″⊥v2′ 得θ＝37° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 12.一个半径为R的半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动。在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选做题 答案　v0tan θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向， 所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和 沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲 所示 将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示。二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3，即vcos θ＝v0sin θ，解得v＝v0tan θ。 BENKEJIESHU 本课结束 更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com 最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移大小s＝，位移方向满足tan θ＝。 航程最短。由图可知sin α＝，最短位移为s＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。 ＝ s ＝ s 经历时间t′＝＝ s＝50 s 又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 ＝ 答案　由v＝v船cos α得v船＝。 A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D.甲球即将落地时，乙球的速度为零 ，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝， A.v0sin θ B. C.v0cos θ D. 蓝队完成任务到达对岸用时t1＝＝＝ s＝50 s，选项C错误； 红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝＝ s＝40 s，选项D正确。 皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，t＝ 答案　20 m 由几何关系知s＝ 解得s＝20 m。 5 s内人前进的距离s＝vt＝3×5 m＝15 m, 5 s时定滑轮到船的距离l′＝－15 m ＝25 m，设5 s时拉船的绳与水平方向夹角 为θ，则sin θ＝＝，由此可知，θ＝53°，cos θ＝，解得v船＝ 5 m/s，小船到岸边的距离s′＝＝15 m，则5 s时小船前进的距离为s1＝－s′＝(20－15) m，故A、B、D错误，C正确。 100 m A. m/s B. m/s C.2 m/s D.4 m/s ＝＝ 答案　船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m tmin＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s s1＝v合tmin＝90 m 答案　船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m t＝＝＝24 s sin θ＝＝ t′＝＝＝150 s s3＝＝300 m。 $$