第二章 3 圆周运动的实例分析 4 圆周运动与人类文明(选学)-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（教科版）

3　圆周运动的实例分析 4　圆周运动与人类文明(选学) [学习目标]　1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥等实际运动问题中向心力的来源(重点)。2.能解决生活中的圆周运动问题(重难点)。3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。 一、汽车通过拱形桥 1．阅读课本，完成表格。 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 桥或路面对汽车的支持力 G－N＝m，N＝G－m N－G＝m，N＝G＋m 汽车对桥或路面的压力 N′＝N＝G－m<G N′＝N＝G＋m>G 处于超重还是失重状态 失重 超重 讨论 v增大，N′减小；当v增大到时，N′＝0 v增大，N′增大 例1　(2023·常德市高一期中)质量为3×103 kg的汽车，以36 km/h的速度通过圆弧半径为50 m的凸形桥，则： (1)汽车到达桥最高点时，求桥所受的压力大小，此时汽车处于超重还是失重状态？ (2)如果设计为凹桥，半径仍为50 m，汽车仍以36 km/h的速度通过，求在最低点时汽车对桥的压力大小，此时汽车处于超重还是失重？(g＝10 m/s2) 答案　(1)2.4×104 N　失重　(2)3.6×104 N　超重 解析　(1)汽车到达桥最高点时，速度v＝36 km/h＝10 m/s，竖直方向受重力和支持力， 二力的合力提供向心力，有mg－N＝ 则支持力为N＝mg－ 可得N＝2.4×104 N 由牛顿第三定律，桥所受的压力大小为2.4×104 N，小于汽车的重力，所以汽车处于失重状态； (2)最低点时对汽车有N－mg＝ 可得N＝＋mg＝3.6×104 N 由牛顿第三定律，桥所受的压力大小为3.6×104 N，大于汽车的重力，所以汽车处于超重状态。 二、“旋转秋千” “旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型(如图所示)，当小球在水平面内做匀速圆周运动时，回答下列问题： (1)小球受到几个力的作用？什么力提供小球做圆周运动的向心力？ (2)“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角α与什么有关(设人的质量为m，角速度为ω，绳长为l)? 答案　(1)受重力和绳子的拉力两个力的作用；绳子的拉力和重力的合力提供小球做圆周运动的向心力。 (2)如图所示，设匀速圆周运动的半径为r F合＝mgtan α r＝lsin α 由牛顿第二定律得F合＝mω2r 以上三式联立得cos α＝ 由此可以看出，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，而与所乘坐人的质量无关。 圆锥摆问题的特点(如图所示) (1)转动平面：水平面。 (2)向心力：F合＝mgtan α。 (3)圆周运动的半径： r＝lsin α。 (4)动力学方程： mgtan α＝mω2lsin α。 (5)角速度ω＝， 周期T＝2π。 (6)特点：悬绳与中心轴的夹角跟角速度和绳长有关，与球的质量无关，在绳长一定的情况下，角速度越大，绳与中心轴的夹角也越大(小于90°)。 例2　(2023·眉山市开学考试)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是(　　) A．h越高，摩托车对侧壁的压力越大 B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期越小 D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力越大 答案　B 解析　摩托车做匀速圆周运动，合外力完全提供向心力，所以小球在竖直方向上受力平衡，Ncos θ＝mg，可知侧壁对摩托车的支持力与高度h无关，根据牛顿第三定律可知摩托车对侧壁的压力不变，故A错误；根据牛顿第二定律可知mgtan θ＝m，解得v＝，高度h越大，r越大，摩托车运动的线速度越大，故B正确；根据牛顿第二定律可知mgtan θ＝mr，解得T＝2π，高度h越大，r越大，摩托车运动的周期越大，故C错误；摩托车的向心力大小为mgtan θ，与h无关，故D错误。 例3　(2023·成都外国语学校校考)如图所示，两根长度相同的细线分别系着两个相同的小球m1、m2，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　) A．细线L1和L2所受的拉力之比为∶1 B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1 C．小球m1和m2的向心力大小之比为1∶3 D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1 答案　A 解析　对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，有Tcos θ＝mg，解得T＝，所以细线L1和L2所受的拉力大小之比＝＝∶1，选项A正确；小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mLsin θω2，得ω＝，所以＝＝∶1，选项B错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为F＝mgtan θ，小球m1和m2的向心力大小之比为＝＝3∶1，选项C错误；小球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得v＝，所以＝＝∶1，选项D错误。 三、火车转弯 图甲为摩托车在水平道路上转弯，图乙为火车转弯，图丙为火车轮缘与铁轨，摩托车和火车转弯向心力来源相同吗？铁路弯道处铁轨内外高度相同吗？为什么要这样设计？ 答案　来源不同。摩托车转弯时由摩擦力提供向心力。外轨较高一些，若内外轨高度相同，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设计成外轨高于内轨，使火车受到的重力、支持力的合力提供向心力。 1. 铁路弯道的特点 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。 2．汽车转弯特点 (1)水平弯道：由静摩擦力提供向心力，汽车速度最大时，μmg＝，可得vm＝。 (2)增大汽车安全转弯速度的有效方法 ①增大转弯半径。 ②把转弯处设计成外高内低(填“外高内低”或“外低内高”)路面(类似火车转弯)。 若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度，当火车不按规定速度行驶时，对铁轨有什么影响？ 答案　(1)当火车在弯道行驶速度v＝v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用。 (2)若v>v0，轮缘受到外轨向内的挤压力， 外轨易损坏。 (3)若v<v0，轮缘受到内轨向外的挤压力， 内轨易损坏。 例4　(2023·绵阳市高一统考)如图甲所示，一辆轿车正在水平路面上转弯，已知圆弧形弯道半径R＝25 m，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2。 (1)为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车在弯道上行驶的最大速度； (2)为了进一步增加安全性，通常将弯道路面设计成外高内低，如图乙所示，若路面倾角为θ，tan θ＝0.1，弯道半径仍为R＝25 m，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应为多大？ 答案　(1)10 m/s　(2)5 m/s 解析　(1)汽车进入弯道后静摩擦力充当向心力，当摩擦力达到最大静摩擦力时，行驶速度最大 μmg＝ 解得v＝＝10 m/s (2)要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则重力与支持力的合力提供向心力mgtan θ＝ 解得v′＝＝5 m/s。 四、离心运动 阅读课本，完成以下内容： 1．定义：做圆周运动的物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。 2．物体做离心运动的原因 合外力提供的向心力消失或不足。 3．离心运动、近心运动的判断 物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定。(如图所示) (1)当F合＝0时，物体沿切线方向做匀速直线运动； (2)当0<F合<mω2r时，“提供”不足，物体做离心运动。 (3)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动； (4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动。 4．离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。 (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。 例5　(2022·宜宾市高一期末)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是(　　) A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 答案　B 解析　当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会发生离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故选B。 课时对点练 考点一　汽车通过拱形桥问题 1. (多选)(2023·成都市高一期中)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　) A．汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力 B．汽车对凹形桥的压力小于汽车的重力 C．汽车的向心加速度方向竖直向下 D．汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大 答案　AD 解析　汽车通过凹形桥的最低点时，汽车的向心加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律可得N－mg＝m，解得N＝mg＋m，根据牛顿第三定律可知，汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力，汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大，故选A、D。 2. (2023·遂宁市第二中学高一期中)如图，一汽车过拱形桥，汽车质量为2×104 kg，拱形桥的半径为100 m，当汽车行驶到拱形桥的最高点时速度为10 m/s，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为(重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．10% B．110% C．100% D．90% 答案　D 解析　在最高点对汽车受力分析有mg－N＝m，解得N＝180 000 N，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为×100%＝90%，故A、B、C错误，D正确。 考点二　圆锥摆问题 3. 鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力。如图所示，当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时的半径为(重力加速度为g)(　　) A．R＝ B．R＝ C．R＝ D．R＝ 答案　B 解析　鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图所示。根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，有mgtan θ＝m，得R＝，故选B。 4. (2023·成都七中高一期中)如图，有一固定且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量不相等的小球(可视为质点)A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面。则(　　) A．A球所受弹力一定大于B球所受弹力 B．A球所受弹力一定小于B球所受弹力 C．A球的线速度一定大于B球的线速度 D．A球的线速度一定小于B球的线速度 答案　C 解析　A、B两小球运动过程中所受合力沿水平方向，且恰好提供向心力，有NA＝，NB＝，虽然夹角关系已知，但两球质量大小关系不明，故无法比较两球所受弹力大小，故A、B错误；同理可得mAgtan α＝mA，mBgtan β＝mB，依题意rA>rB，tan α>tan β，解得vA>vB，故C正确，D错误。 考点三　交通工具转弯问题 5．(2023·成都市高一期中)如图甲，在弯道处，铁轨的外轨总是略高于内轨，这样可使火车以规定速度通过弯道时内外轨道均不受侧向挤压，保证行车安全，其简化模型如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A．若要增大火车转弯时的规定速度，在设计铁路时可适当增大弯道处内外轨道的高度差 B．当火车以规定速度转弯时，火车受重力、支持力和向心力 C．当火车转弯时的速度大于规定速度时，火车将侧向挤压内轨 D．只要火车转弯时速度足够小，内外轨道就不会受到侧向挤压 答案　A 解析　火车转弯做匀速圆周运动，由向心力公式得F＝m＝mgtan θ，得v＝，若要增大火车转弯时的规定速度，在设计铁路时可适当增大弯道处内外轨道的高度差，故A正确；当火车以规定速度转弯时，火车重力、支持力的合力提供向心力，故B错误；当火车转弯时的速度大于规定速度时，火车将侧向挤压外轨，故C错误；当火车转弯时的速度小于规定速度时，火车将侧向挤压内轨，故D错误。 6. 如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　) A．50 m B．100 m C．150 m D．200 m 答案　A 解析　汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则f＝0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f＝，解得最小转弯半径为R＝＝50 m，故选A。 考点四　离心运动 7. (多选)(2023·内江市高一校考)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是(　　) A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的 B．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故 C．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好 D．靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好 答案　AC 解析　脱水过程中，衣物随洗衣机一起转动，开始时做离心运动随后紧贴筒壁，A正确；水滴依附在衣服上的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B错误；由F＝mω2R可知，加快脱水筒转动角速度，水滴做圆周运动所需的向心力将增大，会使更多水滴被甩出去，脱水效果会更好，C正确；由F＝mω2R可知，靠近中心的衣物与四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圆周运动的半径较小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脱水效果更不好，D错误。 8. (2023·泸州市校考)高速离心机用于快速沉淀或分离物质。如图所示，试管固定在高速离心机上，当离心机的转速为n时，在水平试管中质量为m的某固体颗粒到转轴的距离为r。已知试管中充满液体，颗粒与试管内壁不接触。下列说法正确的是(　　) A．颗粒运动的角速度为 B．颗粒运动所需的向心力大小为2πmrn2 C．若适当增加离心机的转速，则颗粒将向转轴方向移动 D．若适当减小离心机的转速，则液体对颗粒的作用力将减小 答案　D 解析　颗粒运动的角速度为ω＝2πn得，故A错误；由向心力公式F＝mω2r＝m(2πn)2r＝4π2mrn2，故B错误；若适当增加离心机的转速，颗粒将做离心运动，将向远离转轴的方向移动，故C错误；若适当减小离心机的转速，颗粒所需的向心力减小，液体对颗粒的作用力将减小，故D正确。 9．(多选)(2023·乐山市峨眉校考)周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车(视为质点)以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力恰好为零。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　) A．汽车的速率为 B．汽车的速率为 C．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为3mg D．汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为2mg 答案　AD 解析　由受力分析可知，汽车在B点时只受重力，由重力提供向心力，有mg＝，解得汽车的速率v＝，故A正确，B错误；汽车在A点时，有N－mg＝，解得N＝2mg，由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为2mg，故C错误，D正确。 10．(2023·甘孜州高一校考)在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝25 m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝60 kg的被困人员B，直升机A和被困人员B一起沿水平方向匀速运动，当飞机突然在空中悬停寻找最近的安全目标时，致使被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，如图乙所示，此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。求： (1)被困人员B做圆周运动的半径r； (2)悬索对被困人员B的拉力大小； (3)被困人员B做圆周运动的角速度。 答案　(1)15 m　(2)750 N　(3) rad/s 解析　(1)被困人员B在空中做水平面内的圆周运动，由几何关系可得r＝Hsin 37°＝15 m (2)对被困人员B受力分析，有Tcos 37°＝mg 解得T＝750 N (3)根据牛顿第二定律可得Tsin 37°＝mω2r 解得ω＝ rad/s。 11．(2023·成都市高一期中)在用高级沥青铺设的高速公路上，为了行驶安全，汽车的实际速度总是会根据路况来适当调整。已知汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试分析： (1)若某段水平弯道的半径为120 m，且弯道路面是水平的，求汽车过弯不发生侧滑的最大速率； (2)为减少事故发生，某水平弯道的路面设计为倾斜，其弯道半径为120 m，弯道路面的倾斜角度为37°，要使汽车通过此水平倾斜弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过该弯道时的规定速度大小； (3)现有一段在竖直面内的圆拱形路面，其半径为120 m，要使汽车在通过最高点时不飞离路面，求汽车通过圆拱形路面最高点时的最大速率。 答案　(1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s 解析　(1)若过弯道不发生侧滑，则路面的最大静摩擦力提供向心力，根据题意有mg＝m 解得v1＝20 m/s (2)若过弯道不产生侧向摩擦力，则支持力沿水平方向的分力将提供向心力 水平方向：Nsin 37°＝m 竖直方向：Ncos 37°＝mg 联立解得v2＝30 m/s (3)要求汽车在最高点不飞离路面，则最大速度时应是重力恰好提供向心力，即mg＝m 解得v3＝20 m/s。 学科网（北京）股份有限公司 $$