第二章 2 第2课时 匀速圆周运动的向心力与向心加速度-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（教科版）

第2课时　匀速圆周运动的向心力与向心加速度 [学习目标]　1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式并能进行计算(重难点)。2.理解向心加速度的概念。3.知道向心加速度与线速度、角速度的关系式并能用向心加速度公式求解有关问题(重点)。 一、向心力的来源分析和计算 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。 (1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？ (2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？ 答案　(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。 (2)当物体转动的角速度变大后，由F＝mω2r，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。 1．实验表明：做匀速圆周运动所需向心力的大小跟转动半径r成正比，跟角速度ω的平方成正比，跟物体的质量m成正比。 2．向心力公式：(1)F＝mω2r； (2)F＝m。 3．向心力方向：向心力的方向总与物体的速度方向垂直，所以它只改变速度的方向，不改变速度的大小。 4．几种常见的圆周运动向心力的来源归纳 实例分析 图例 向心力来源 用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 (俯视图) 绳的拉力(弹力)提供向心力 物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力 物体A随水平转台做匀速圆周运动，且物体A相对于转台静止 拉力和摩擦力的合力提供向心力 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动且未发生滑动 弹力提供向心力 用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力 飞机水平转弯做匀速圆周运动 空气的作用力和重力的合力提供向心力 例1　(2023·绵阳市高一统考)物体m用细线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，对物体m进行受力分析，下列说法正确的是(　　) A．只受重力和支持力 B．只受重力、支持力、细线的拉力、向心力 C．只受重力、支持力、细线的拉力 D．只受重力、支持力、细线的拉力、M的重力 答案　C 解析　向心力是一种效果力，由其他外力或其他外力沿半径方向的合力提供，实际上不存在，因此，物体受到重力、支持力与细线的拉力三个力的作用，故选C。 例2　(2023·遂宁中学校考)上海磁悬浮列车的最大转弯处半径达到8 000 m，如图所示，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m，一个质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是(　　) A．乘客受到的向心力大小约为200 N B．乘客受到的向心力大小约为539 N C．乘客受到的向心力大小约为300 N D．弯道半径越大，以相同速率行驶时乘客需要的向心力越大 答案　A 解析　由题知F＝m＝200 N，A正确，B、C错误；弯道半径越大，以相同速率行驶时乘客所需要的向心力越小，D错误。 二、向心加速度的理解和计算 质量为m的物体，沿半径为r的圆以速率v做匀速圆周运动，则物体需要的向心力为多大？向心加速度为多大？ 答案　F＝　a＝ 1．向心加速度的定义：做匀速圆周运动的物体，在向心力作用下产生的指向圆心的加速度。 2．向心加速度公式 (1)a＝＝ω2r。 (2)由于v＝ωr，所以向心加速度也可以写成a＝ωv。 (3)由于ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成a＝r＝4π2f2r。 3．向心加速度与半径的关系(如图所示) 4．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。 5．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动 (1)物体做非匀速圆周运动时，加速度的方向不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：a＝＝ω2r。 (2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。 (3)非匀速圆周运动，向心加速度是加速度的一个分量，指向圆心，另一个分量沿切线方向。 (1)向心加速度越大，线速度方向改变得越快。(　√　) (2)匀速圆周运动的向心加速度的方向时刻指向圆心，大小不变。(　√　) (3)由a＝r知，向心加速度a与半径r成正比。(　×　) 例3　(多选)(2022·烟台市高一期中)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是(　　) A．v1∶v2＝1∶1 B．v1∶v2＝∶1 C．a1∶a2＝2∶1 D．a1∶a2＝∶1 答案　BD 解析　甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为＝＝，甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知＝＝，故A错误，B正确；由向心加速度a＝ω2R知，＝＝，故C错误，D正确。 例4　(2022·扬州市邵伯高级中学高一月考)2022年2月，北京冬奥会上，中国选手夺得双人花样滑冰运动冠军。如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为0.5 r/s，女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s，(设π2＝10)求： (1)女运动员做圆周运动的角速度ω； (2)触地冰鞋做圆周运动的半径r； (3)触地冰鞋向心加速度a向的大小。 答案　(1)π rad/s　(2)1.5 m　(3)15 m/s2 解析　(1)女运动员做圆周运动的角速度 ω＝2πn＝2π×0.5 rad/s＝π rad/s (2)根据v＝ωr得r＝＝ m＝1.5 m (3)根据向心加速度公式得 a向＝ω2r＝π2×1.5 m/s2＝15 m/s2。 三、圆周运动的动力学问题分析 例5　(2023·乐山市峨眉校考)内表面为半球型且光滑的碗固定在水平桌面上，球半径为R，球心为O，现让可视为质点的小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，小球与球心O的连线与竖直线的夹角为θ，重力加速度为g，则(　　) A．小球的加速度为a＝gsin θ B．碗内壁对小球的支持力为N＝ C．小球的运动周期为T＝2π D．小球运动的速度为v＝ 答案　C 解析　小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，受力如图，竖直方向有Ncos θ＝mg，水平方向有Nsin θ＝ma，联立解得a＝gtan θ，N＝，故A、B错误；又由a＝Rsin θ，小球的运动周期为T＝2π，故C正确；又由a＝，小球运动的速度为v＝，故D错误。 分析匀速圆周运动问题的基本步骤 1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。 3．找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。 4．利用牛顿第二定律列方程F合＝F＝mω2r＝m＝mr。 5．解方程求出待求物理量。 课时对点练 考点一　向心力的来源分析及计算 1．(2023·四川省双流中学校考期中)下列关于向心力的说法中正确的是(　　) A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用 B．向心力和重力、弹力一样，是性质力 C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力 答案　C 解析　向心力是效果力，不是物体实际受到的力，故A、B错误；做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合外力，故C正确；在非匀速圆周运动中，其向心力是由合外力指向圆心的分力提供的，故D错误。 2. (2023·广雅中学期末)如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A．若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大 B．若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小 C．若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变 D．若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小 答案　A 解析　根据分析可得小球做匀速圆周运动时，绳子的拉力提供向心力，所以有T＝F向＝mω2r，可得保持绳长不变即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A正确，B错误；同理，保持角速度不变，若增大绳长即r变大，拉力变大，C、D错误。 3．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们所受合外力之比为(　　) A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16 答案　C 4. 如图所示，把一个原长为20 cm、劲度系数为360 N/m的弹簧一端固定，作为圆心，弹簧的另一端连接一个质量为0.50 kg的小球，当小球以 r/min的转速在光滑水平面上做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量应为(　　) A．5.2 cm B．5.3 cm C．5.0 cm D．5.4 cm 答案　C 解析　小球转动的角速度ω＝2πn＝12 rad/s，弹簧的弹力为小球做圆周运动提供向心力，即kx＝mω2(x0＋x)，解得x＝＝ m＝0.05 m＝5.0 cm，选项C正确。 考点二　向心加速度的理解与计算 5．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　) A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量 B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变 C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量 D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小 答案　C 解析　向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据a＝ω2r，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。 6. (多选)(2023·南充市校考期中)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为过原点的直线。由图像可知(　　) A．甲球运动时，线速度的大小保持不变 B．甲球运动时，角速度的大小保持不变 C．乙球运动时，线速度的大小保持不变 D．乙球运动时，角速度的大小保持不变 答案　AD 解析　由于甲图线为双曲线的一支，则图线甲中a与r成反比，由a＝可知，甲球的线速度大小不变，A正确；根据v＝ωr可知，甲球线速度大小一定，随r的增大，角速度逐渐减小，B错误；图线乙中a与r成正比，由a＝ω2r可知，乙球运动的角速度大小不变，D正确；根据v＝ωr可知，由于乙球运动的角速度大小不变，随r的增大，乙球的线速度大小逐渐增大，C错误。 7. (2023·成都市新都一中开学考试)如图，某校活动中，甲、乙两名老师进行扳手腕比赛，最终乙获得胜利。设乙的手肘处为O点，掌心处为A点，O、A之间的距离为30 cm。若在扳手腕过程中手肘O点不动，手臂在2 s内绕O点在同一平面内匀速转动90°，取π2＝10，则在此过程中(　　) A．掌心处于平衡状态 B．掌心转动的角速度为45 rad/s C．掌心转动的线速度大小为 m/s D．掌心转动的向心加速度大小约为 m/s2 答案　D 解析　掌心做匀速圆周运动，合外力不为零，掌心处于非平衡状态，故A错误；掌心在2 s内绕O点在同一平面内匀速转动的角度为，ω＝，代入数据得ω＝ rad/s，故B错误；根据线速度和角速度的关系v＝rω，代入数据得v＝ m/s，故C错误；根据向心加速度和角速度的关系a＝rω2，代入数据得a＝ m/s2，故D正确。 8. (2023·绵阳市高一统考)洗衣机进行脱水时的运动情形可简化为如图所示的模型，一半径r＝0.5 m的圆筒竖直放置，当圆筒绕中心轴OO′以角速度ω＝10 rad/s匀速转动时，物块恰能贴着圆筒内壁做圆周运动。重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)物块的线速度大小； (2)物块的向心加速度大小； (3)物块与圆筒内壁的动摩擦因数。 答案　(1)5 m/s　(2)50 m/s2　(3)0.2 解析　(1)物块做匀速圆周运动，有v＝ωr 解得v＝5 m/s (2)由于a＝ω2r 解得a＝50 m/s2 (3)设物块的质量为m，则N＝ma 又由于μN＝mg 解得μ＝0.2。 9. (2023·绵阳市高一期中)质量为m的小球，用长为L的线悬挂在O点，在O点正下方处有一光滑的钉子O′。把小球拉到与O′在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示。将小球从静止释放，当小球第一次通过最低点P时，下列说法错误的是(　　) A．小球速率突然减小 B．小球加速度突然减小 C．小球的角速度突然减小 D．摆线上的张力突然减小 答案　A 解析　速度变化需要一个过程，所以当小球第一次通过最低点P时速度不突变，故A错误；当小球第一次通过最低点P时速度不突变，圆周运动半径突然变大，根据公式a＝可知，小球加速度突然减小，故B正确；当小球第一次通过最低点P时速度不突变，圆周运动半径突然变大，根据公式ω＝可知，小球角速度突然减小，故C正确；当小球第一次通过最低点P时速度不突变，圆周运动半径突然变大，根据牛顿第二定律T－mg＝m可知，摆线上的张力突然减小，故D正确。 10．(多选)(2022·聊城市高一期中)智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为0.8 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆沿水平面做匀速圆周运动，若绳子与竖直方向夹角为37°，运动过程中腰带可看作不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　) A．绳的拉力大小为10 N B．配重的向心加速度大小为7.5 m/s2 C．配重的角速度大小为 rad/s D．配重的角速度大小为5 rad/s 答案　ABC 解析　绳的拉力大小为F＝＝10 N，故A正确；由向心力公式有mgtan 37°＝ma，可得a＝7.5 m/s2，故B正确；由a＝(Lsin 37°＋rPO)ω2可得ω＝ rad/s，故C正确，D错误。 11. 如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：(重力加速度为g) (1)轻绳的拉力大小； (2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。 答案　(1)m2g　(2) 解析　(1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小 T＝m2g (2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力T提供， 根据牛顿第二定律有：m2g＝m1 解得v＝。 12. (多选)(2023·揭阳市揭东第一中学高一期中)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的值可能是(　　) A．1 rad/s B. rad/s C．4 rad/s D．5 rad/s 答案　CD 解析　当物体在轨迹的最高点时，受力分析如图， 其中沿桶壁的方向： f＝mgsin 60°≤μN＝fm 垂直于桶壁的方向： mgcos 60°＋N＝mω2r 联立可得ω≥ rad/s。 学科网（北京）股份有限公司 $$