第一章 专题强化 运动的合成与分解应用实例-（配套word）2023-2024学年高一新教材物理必修第二册 【步步高】学习笔记（教科版）

专题强化　运动的合成与分解应用实例 [学习目标]　1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河的最短时间和最短位移问题(重难点)。2.能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题(重点)。3.掌握常见的绳关联模型和杆关联模型的速度分解的方法(重点)。 一、小船渡河模型 如图所示为一条宽为d的大河，小明驾着小船从A点出发，欲将一批货物运送到对岸。已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船。 (1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？ (2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？ (3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？ (4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？ 答案　(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)。 ②船随水漂流的运动。 (2)由于水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，tmin＝，此时船渡河的位移大小x＝，位移方向满足tan θ＝。 (3)情况一：v水<v船 最短的位移为河宽d，此时合速度垂直河岸，小船可到达正对岸。船头与上游河岸夹角θ满足：v船cos θ＝v水，如图所示。渡河所用时间t＝。 情况二：v水>v船 如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短，小船不能到达正对岸。由图可知sin α＝，最短位移为x＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。 (4)无关。 例1　(多选)(2023·成都外国语学校高一期中)若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心处水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120 m，河中心处水的流速大小为3 m/s，船在静水中的速度大小为4 m/s，要使船以最短时间渡河，则下列说法正确的是(　　) A．船渡河的最短时间是24 s B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条曲线 D．船在河水中最大速度为5 m/s 答案　BCD 解析　要想渡河时间最短，则在行驶过程中，船头始终与河岸垂直，船渡河的最短时间是tmin＝＝ s＝30 s，选项A错误，B正确；因河水的流速随水距岸边距离的变化而变化，则船的实际航速、航向都在变化，航行轨迹是一条曲线，选项C正确；船在河中间时合速度最大，最大速度v＝＝5 m/s，选项D正确。 例2　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？ (3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 答案　(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与河岸的上游成53°角　50 s　(3)船头指向与河岸的上游成60°角 解析　(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示， 则v合＝＝4 m/s，经历时间t′＝＝ s＝50 s 又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与河岸的上游成53°角。 (3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，要使小船航程最短，应使v合′的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与河岸的上游成60°角。 二、关联速度模型 如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，用绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连。 (1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？ (2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？ (3)从运动的合成与分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？ (4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？ 答案　(1)不相等。如图，船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2。 (2)不相等，船的速度大于车的速度。 (3)如图，P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度。 (4)由v＝v船cos α得v船＝。 1．分析绳(杆)关联速度问题时，需要注意：应该分解物体的实际运动速度，即合速度。 分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。 2．常见的速度分解模型 情景图示 定量结论 v＝v∥＝v物cos_θ v物′＝v∥＝v物cos_θ v∥＝v∥′ 即v物cos_θ＝v物′cos_α v∥＝v∥′ 即v物cos_α＝v物′cos_β 例3　(2023·成都市高一期中)如图，一辆货车通过轻绳提升一货物，某一时刻拴在货车一端的轻绳与水平方向的夹角为θ，此时货车的速度大小为v0，则此时货物的速度大小为(　　) A. B．v0cos θ C．v0sin θ D．v0tan θ 答案　B 解析　货车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v绳＝v0cos θ，而货物的速度等于沿绳子方向的速度，即货物的速度大小为v0cos θ，故选B。 例4　(2023·资阳市乐至中学校考)如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现B与C之间轻绳恰好水平，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力大小为T，重力加速度为g，在此过程中，下列说法正确的是(　　) A．物体A做减速运动 B．物体A做匀速运动 C．T可能小于mgsin θ D．T一定大于mgsin θ 答案　D 解析　由题意可知，将B的实际运动分解成两个分运动，如图所示，由几何关系可得vA＝v绳＝vBsin α，由于B以速度v0匀速下滑，又α在增大，则A的速度增大，则A做加速运动，故A、B错误；根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有T>mgsin θ，故C错误，D正确。 例5　(多选)(2022·邢台市高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，在如图位置，下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为零 答案　BD 解析　设此时轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，由几何关系有cos θ＝， sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 专题强化练 考点一　小船渡河模型 1．(多选)下列选项图中的实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　) 答案　AB 2．(2023·成都市高一期中)河宽480 m，船在静水中的速度大小为4 m/s，水流速度大小为3 m/s，则船过河的最短时间为(　　) A．160 s B．96 s C．120 s D．100 s 答案　C 解析　当船头垂直于河岸时渡河的时间最短，则最短时间为tmin＝＝ s＝120 s，故选C。 3．(2022·三明市高一期末)下列选项图中，若渡河区域内的河岸平直，水流速度方向处处与河岸平行且向右，越靠近河中央，水流速度越大。设木船相对静水的速度大小恒定。以最短的时间过河，则木船在出发点P与登陆点Q之间的运动轨迹可能是(　　) 答案　D 解析　以最短的时间过河，则木船的船头垂直于河岸，木船渡河同时参与了两个运动，垂直河岸的分运动和平行河岸的分运动，其中垂直河岸的分速度等于木船相对静水的速度，保持不变；平行河岸的分速度等于水速，根据题意可知平行河岸的分速度先增大后减小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲线运动，根据加速度方向指向轨迹的凹侧可知，D正确，A、B、C错误。 4．(2023·内江市高一期中)如图是某船采用甲、乙、丙三种过河方式的示意图(河宽相同)，船在静水中的速度v0不变，河中各处的水流速度v1不变，图中小船尖端指向为船头方向。下列判断正确的是(　　) A．由甲图可判断出v0<v1 B．乙图过河方式过河时间最长 C．甲、乙、丙三种过河方式中，丙图过河方式过河速度最大 D．甲、丙两图过河方式过河时间不可能相同 答案　C 解析　根据题图甲可知，船的合速度方向垂直于河岸，船在静水中的速度v0方向指向上游，根据运动的合成有v02＝v12＋v合12，则有v0>v1，A错误；根据题图乙可知，船在静水中的速度v0方向垂直于河岸，此时过河时间最短，则有tmin＝，B错误；比较各题图可知，题图丙中船相对于水的速度与水流速度之间的夹角最小，所以甲、乙、丙三种过河方式中，题图丙过河方式过河速度最大，C正确；题图甲、丙两种过河方式，当船头指向与垂直于河岸方向夹角均为α时，令河宽为d，根据分运动的等时性与独立性有t＝＝，这两种过河方式过河时间相等，即甲、丙两题图过河方式过河时间可能相同，D错误。 考点二　关联速度模型 5. 用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度(　　) A．不变 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 答案　B 解析　小船的速度v船＝，θ为绳与水平面的夹角，随着θ增大，cos θ减小，故小船的速度逐渐增大，B对。 6. (多选)(2023·成都市高一期中)如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球重力为2 N，电动机从A端以2 m/s的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角θ为60°，下列对此时小球速度及绳子拉力的判断正确的是(　　) A．小球的速度大小为4 m/s B．小球的速度大小为1 m/s C．绳子的拉力大小等于4 N D．绳子的拉力大小大于4 N 答案　AD 解析　设小球的速度大小为v1，则v1cos 60°＝v，解得球的速度大小v1＝4 m/s，选项A正确，B错误；小球向上运动时，θ变大，则小球的速度v1变大，即小球向上做加速运动，根据牛顿第二定律有Tcos 60°－mg＝ma，解得T＝2ma＋2mg>2mg＝4 N，选项C错误，D正确。 7. 如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，物体A和B分别在两条轨道上，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　) A．5 m/s B. m/s C．20 m/s D. m/s 答案　D 解析　物体B的速度可分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos 30°，由于绳不可伸长，有vB∥＝vA，故vA＝vBcos 30°，所以vB＝＝ m/s，故选D。 8．(2023·武强中学高一期中)如图甲所示，小球A与小球B用跨搭在一半球形容器壁上边缘的轻绳相连接，半球形容器壁的上边缘是光滑的，小球A位于半球形容器的内壁靠近上边缘处，小球B位于半球形容器外，将小球A由静止释放牵引小球B运动，当小球A运动至半球形容器底部时(如图乙所示)，小球B的速度是v，则此时A的速度为(　　) A．v B．2v C.v D.v 答案　C 解析　将小球A的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则沿轻绳方向的速度等于小球B的速度v，则由速度的分解可得vAcos 45°＝v，解得vA＝v，故选C。 9. 如图所示为一条河流，水流速度为v，某船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则(　　) A．t1＞t2，l1＜l2 B．t1＜t2，l1＞l2 C．t1＝t2，l1＜l2 D．t1＝t2，l1＞l2 答案　D 解析　由题知先后两次船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝，所以两次渡河时间相等；设AB、AC与河岸垂线的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1＝v静sin θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v静sin θ|＜v1，则沿河岸方向上的位移x1＞x2，又因为垂直河岸方向的位移相等，根据平行四边形定则，l1＞l2，故D正确，A、B、C错误。 10. (2023·遂宁市开学考试)A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　将A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为v1cos α；将B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为vBcos β；由于两物体沿着绳子方向速度大小相等，所以有v1cos α＝vBcos β，因此vB＝，故选A。 11．(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s。 ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ (2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？ 答案　(1)①船头应朝垂直河岸方向　36 s　90 m ②船头与上游河岸成60°角　24 s　180 m (2)船头应朝上游与河岸成53°角方向　150 s　300 m 解析　(1)若v2＝5 m/s，船速大于水速。 ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图甲所示 tmin＝＝ s＝36 s v合＝＝ m/s x1＝v合tmin＝90 m ②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图乙所示 有v2sin α＝v1 得α＝30° 所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短 x2＝d＝180 m t＝＝＝24 s (2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3＝ 欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切， 即v合″⊥v2′ sin θ＝＝ 得θ＝37° 所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向 t′＝＝＝150 s x3＝＝300 m。 12. 一个半径为R的半圆形柱体以速度v0水平向右做匀速运动。在半圆形柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆形柱体接触点和柱心的连线OP与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度大小。 答案　v0tan θ 解析　由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示 将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示。二者在OP方向上的分速度相等，有v2＝v3 即vcos θ＝v0sin θ 解得v＝v0tan θ。 学科网（北京）股份有限公司 $$