专题02 二次根式的乘除（8题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题02 二次根式的乘除 目录 【题型一 二次根式乘除法法则成立的条件】 1 【题型二 最简二次根式的辨别】 2 【题型三 化为最简二次根式】 4 【题型四 由最简二次根式的概念求参数】 5 【题型五 将根号外的因式（数）移到根号里面】 6 【题型六 二次根式的混合运算】 7 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 9 【题型八 二次根式乘除法有关的阅读理解类题目】 10 【题型一 二次根式乘除法法则成立的条件】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）若等式成立，则（　　） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法计算，解不等式组，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，再解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式乘法法则的逆运算，熟练掌握二次根式乘法法则及其逆运算满足的前提条件：是解题的关键．利用二次根式乘法法则逆运算成立的条件计算即可． 【详解】解：由题意，可得：， 解得：， 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型二 最简二次根式的辨别】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可,掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 【详解】解：A选项， ，故该选项不符合题意； B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此解答即可． 【详解】解：A、中被开方是小数，所以不是最简二次根式，故A不符合题意． B、，是最简二次根式，故B符合题意． C、，不是最简二次根式，故C不符合题意． D、，被开方数含分母，故D不符合题意． 故选：B． 2．（21-22八年级上·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 【题型三 化为最简二次根式】 例题：（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键； （1）可化为一个数的平方和另外一个数（此数为不含能开的尽方的因数）的乘积形式，开方即可； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【题型四 由最简二次根式的概念求参数】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式训练】 1．（21-22八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【题型五 将根号外的因式（数）移到根号里面】 例题：（23-24八年级·全国·假期作业）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________． 【答案】(1)①，②，③． (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简． （1）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可． （2）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③． （2）， 故答案为： 【题型六 二次根式的混合运算】 例题：（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先根据绝对值的意义、零指数幂运算法则、算术平方根的运算法则化简各项后再进行加减运算即可得到答案； （2）原式先计算二次根式的除法运算，再进行二次根式的乘法运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 例题：（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解，，可得，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和12； ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、二次根式运算的应用，解题关键在于求出正方形的边长． 首先由正方形的面积是2求出正方形的边长为，然后用长方形的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是2， ∴正方形的边长为 ∵等边三角形的边长是， ∴长方形的长为， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）生物老师想设计一块长方形的实验基地，便与同学们进行实验观察，他把长方形基地设计成长为，宽为，则这块实验基地的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的面积及二次根式的乘法运算的应用，根据“矩形的面积长宽”列出算式，再利用二次根式的乘法法则计算即可求出答案． 【详解】解：这块实验基地的面积是， 故答案为：． 【题型八 二次根式乘除法有关的阅读理解类题目】 例题：（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①20；②77 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答． （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）①， ②； （3）由题意得：长方形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法与化简正确运用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案． 【详解】（1）解：， 即， ∴ ； （2）解：， 即， ∴ ． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算；熟练掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值． 【详解】解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， ，， ∵， ， 解得：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，最简二次根式等，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 先根据乘法分配律运算出结果后，再化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【详解】解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 5．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 7．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）已知等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简是解题的关键． 由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴，， 解得，， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 则最简二次根式有1个， 故答案为：1． 9．（24-25八年级上·天津河西·期末）计算的结果等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，利用平方差公式计算即可得解，熟练掌握二次根式的混合运算法则并能灵活运用平方差公式是解决此题的关键． 【详解】解： 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得与，进而可得的值，接着估计的大小，可得的值；进而可得，根据平方根的求法可得答案． 【详解】解：根据题意，可得，， ∴， 又∵，是的整数部分， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的定义及无理数的估算能力，二次根式的化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，立方根，二次根式性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简立方根以及利用二次根式性质进行化简，再运算加减，即可作答． （2）先运用二次根式的乘法，再运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式、整式的加减法、二次根式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式、平方差公式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 14．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值 （1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知出，再算出，然后利用平方差公式化简即可得解； 熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 15．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除 目录 【题型一 二次根式乘除法法则成立的条件】 1 【题型二 最简二次根式的辨别】 1 【题型三 化为最简二次根式】 2 【题型四 由最简二次根式的概念求参数】 2 【题型五 将根号外的因式（数）移到根号里面】 3 【题型六 二次根式的混合运算】 3 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 3 【题型八 二次根式乘除法有关的阅读理解类题目】 4 【题型一 二次根式乘除法法则成立的条件】 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）若等式成立，则（　　） A． B． C． D．为一切实数 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【题型二 最简二次根式的辨别】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【题型三 化为最简二次根式】 例题：（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）化简： ． 2．（23-24八年级下·全国·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【题型四 由最简二次根式的概念求参数】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．（21-22八年级下·广西贺州·期中）已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【题型五 将根号外的因式（数）移到根号里面】 例题：（23-24八年级·全国·假期作业）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________． 【题型六 二次根式的混合运算】 例题：（24-25九年级上·广西百色·期中）计算： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 例题：（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积是 ． 2．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）生物老师想设计一块长方形的实验基地，便与同学们进行实验观察，他把长方形基地设计成长为，宽为，则这块实验基地的面积是 ． 【题型八 二次根式乘除法有关的阅读理解类题目】 例题：（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 5．（四川省成都市八区联考2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 7．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）已知等式成立，则的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）二次根式、、、中是最简二次根式的有 个． 9．（24-25八年级上·天津河西·期末）计算的结果等于 ． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 12．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）计算： (1) (2) 13．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 14．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$