2025年九年级中考数学一轮专题复习 直角三角形的边角关系 课件

一轮数学中考复习 直角三角形的边角关系 直角三角形的边角关系 锐角三角函数的定义 正切 正弦 余弦 特殊角的三角函数值 三角函数的应用 解直角三角形 一、锐角三角函数 1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°， a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边． (1) ∠A的正弦：sinA＝　　　　　　　　＝　　　； (2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　　　＝　　　； (3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　. 2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和cosA 的关系： tanA 的值越大，梯子越陡; sinA 的值越大，梯子越陡; cosA 的值越小，梯子越陡. 3. 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 30°，45°，60°角的三角函数值 锐角α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 二、特殊角的三角函数 1. 解直角三角形的依据 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边． 三边关系：　 　； 三角关系：　 ； 边角关系：sinA＝cosB＝　　　，cosA＝sinB＝ ， tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 三、解直角三角形 (2) 直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素． 解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 1. 利用计算器求三角函数值． 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. （有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 第一步：按计算器 、 、 键， sin tan cos 四、锐角三角函数的计算 2. 利用计算器求锐角的度数． 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 第二步：然后输入函数值 屏幕显示答案（按实际需要进行精确） °＇″ 第一步：按计算器 、 、 键， sin cos tan SHIFT 1.仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 五、三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 2.方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 α l h h : l （1）坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . （2）坡度（或坡比） 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 —. h l （3）坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡面 水平面 3.坡角 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． (2) 量出测点 A 到物体底部N的水平距离 AN = l； A C M N (1) 在测点 A 安置测倾器，测得M的仰角∠MCE = α； E (3) 量出测倾器的高度 AC = a， 可求出 MN 的高度. MN=ME+EN=l·tanα+a α 1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 六、利用三角函数测高 2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ A C B D M N E α β (1) 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角 ∠MCE = α； (2) 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β； (3) 量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b.根据测量数据，可求出物体 MN 的高度. 考点一 求三角函数的值 例1 在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA＝ ， 则 tanB ＝ (　　) A.　　 B.　 　 C.　 D. 【解析】 根据 sinA ＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以 tanB ＝ B 针对训练 1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正弦值是________. 2. 用计算器求下列各式的值： （1）cos63°17′ ≈ ______； （2）tan27.35° ≈ ______； （3）sin39°57′6″ ≈ ______． 0.45 0.52 0.64 3. 已知 sinα = 0.2，cosβ = 0.8，则 α+β =________（精确到1′）． 48°24′ 考点二 特殊角的三角函数值 【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值． 解：原式＝ 例2 计算 (1) tan30°＋cos45°＋tan60° (2) tan30°· tan60°＋ cos230° 4. 计算： 针对训练 解：原式 解：原式 考点三 解直角三角形 例3 如图，在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，点 D 在 BC 上，BD ＝ 4，AD ＝ BC，cos∠ADC = ， 求：(1) DC 的长；(2) sinB 的值． 【分析】题中给出了两个直角三角形，DC 和 sinB 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中求得，由 AD ＝ BC，图中 CD＝BC－BD，由此可列方程求出 CD． A B C D 解: (1) 设 CD ＝ x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC= , 又 BC－CD ＝ BD， 解得 x = 6， ∴CD = 6. A B C D (2) BC =BD+CD = 4+6 = 10 = AD 在 Rt△ACD 中 在 Rt△ABC 中 A B C D 考点四 三角函数的应用 例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼 AB 的高度．小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为30°，然后向教学楼前进 40 m 到达 EF，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼 AB 的高度． 【分析】 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示出 FG，在Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝ 40，可求 AG. G 解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中， tan∠AFG ＝ ，∴FG ＝ 在 Rt△ACG 中，tan∠ACG ＝ ， 又 CG－FG＝40， ∴AG＝ ，∴AB ＝ 答：这幢教学楼 AB 的高度为 ∴ G 5.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB ，已知观测点 C 到旗杆的距离（即 CE 的长）为 8 米，测得旗杆顶的仰角 ∠ECA 为 30°，旗杆底部的俯角 ∠ECB 为 45 °，则旗杆 AB 的高度是多少米? C A B D E 解：如图在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中 ∠ACE = 30°，EC = 8米， ∴tan∠ACE = ,tan∠ECB = 即：AE = 8tan30°= （米） ， EB = 8tan45° = 8（米）. ∴AB = AE+EB = (8+ )米. 针对训练 简单实际 问题 c a b A B C 解直角三 角形 特殊角的三 角函数 锐角三角 函数 例1、 如图,Rt△ABC中,∠C=90°. ①求sinA、cosB、tanA、tanB的值; ②仔细观察,你能发现这几个三角函数的关系吗？ 3 B C A 4 5 解:①由三角函数的定义有： sinA= ； cosB= ； tanA= ； tanB= ； ②观察①中的计算结果,可得下列结论： sinA=cosB=cos(90°-∠A) 结论:一个锐角的正弦等于它的余角的余弦 tanA·tanB=1或tanA·tan(90°-∠A)=1 结论:互余两角的正切值互为倒数 请同学们自己证明：sin2A+cos2A=1 例2、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°. 计算:①sin30°、cos30°、tan30°的值; ②sin60°、cos60°、tan60°的值. 二、特殊角的三角关系值 30° 45° 60° sin cos tan 30° B A C 1 45° B A C 例3、计算 (1)6tan230°- sin60°-2cos45°； (2)已知:tan(88°-α)= ，求∠α的度数. 解:(1)6tan230°- sin60°-2cos45°=6× - × -2× =6× - - =2- - (2)由题意 ∵tan(88°-α)= ,且tan60°= , ∴88°-α=60°， 即α=28°. 例4、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为100m,则山的坡度为_________. A B C 1: 练一练:学校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为8米，那么旗杆AC的高度为       米． 12 E A B C D F 例5、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°, AC=1,延长CB到D,使BD=AB,连结AD. (1)求∠D的度数； (2)求tan∠D. A B D 30° C 解:(1)∵BD=AB,∠ABC=30°, ∴∠D=∠ABD= ∠ABC= ×30°=15°； (2)由题意∵AC=1,∠ABC=30°,∠C=90° ∴AB=2,BC= ； ∴BD=AB=2,CD=BC+BD=2+ ， ∴在Rt△ADC中,tan∠D= . 例6、为了测量校园内旗杆AC的高度,九年级2班数学兴趣小组的同学在校园水平地面B处测得到旗杆顶部的仰角为45°,沿BC前行4m到达D处测得到旗杆顶部的仰角为60°,求旗杆的高度(结果保留根号). C A B D $$