1.4 解直角三角形 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形 学习目标 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车垂直上升的距离是100 m，那么缆车行驶的路线与水平面的夹角α为多少？ 创设情景 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB=200m，BC=100m． 已知斜边和一条直角边 ∠A=30° 答：缆车行驶的路线与水平面的夹角α为30度。 A B C a b c 探究新知 一般的，在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边和两个锐角。 由直角三角形中的已知元素，求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车垂直上升的距离是100 m，那么缆车行驶的路线与水平面的夹角α为多少？ 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB=200m，BC=100m． 已知斜边和一条直角边 ∠A=30° 答：缆车行驶的路线与水平面的夹角α为30度。 ∠A=30° ∠ABC=?,AC=? 探究新知 在解直角三角形的过程中，一般用到以下关系： 探究新知 应用新知 1.在Rt△ABC中，∠C=90º，AC= ，BC= ，解这个直角三角形。 方法一： 方法二： 两条直角边 探究新知 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形。 （精确到0.1） 应用新知 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° b=20 35° a 利用勾股定理 你还有其他的方法求c吗？ 已知一角和一条直角边 3.在本节课开始提出的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°， 由此你还能计算什么？ 应用新知 解：在Rt△BDF中，∠BFD=90°， BD=200m，∠DBF=42°． ∠D＝90°－∠DBF＝90°－42°＝48° 已知一角和一条斜边 已知一角一边可以解直角三角形，注意优化解题方法。 探究新知 A C B c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 已知两边解直角三角形 一 问题1 如果已知Rt△ABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素. 解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, A B C 典例精析 在Rt△ABC中， 在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 练一练 已知一边及一锐角解直角三角形 二 问题2 如果已知Rt△ABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. A B C b 30 c a 25° 解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°， ∴∠A=65°. 在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 练一练 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 归纳总结 构造直角三角形解决问题 三 例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC. D A B C 练一练 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ， 则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28 C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． 新课探究 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 新课探究 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 新课探究 4.互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB. tanA﹒tanB=1 5.同角之间的三角函数关系: sin2A+cos2A=1. 特殊角的三角函数值表 新课探究 三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 30° 45° 1 60° 典例分析 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，且a= ，b= ，求这个三角形的其他元素. 解： 在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2， 在 Rt△ABC 中， sinB = ∴∠B = 30°. ∴∠ A = 60°. 归纳小结 1．定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对 边分别为a，b，c.则有： 归纳小结 要点精析：解直角三角形时，①已知两边求第三边用勾股定理； ②已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余”； ③在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的定义求出第三个元素． 由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角) 中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，就可以求出另外三个元素． 3．解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则： ①尽量选可以直接应用原始数据的关系式； ②尽量选择便于计算的关系式．如：当所求的元素既可 用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法． 4．易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关系，注意正弦、余弦、正切三种函数都是涉及两边一角，要正确选择，不能将它们弄混． 5. 解直角三角形的类型：（1）已知两边解直角三角形（2）已知一边及一锐角解直角三角形 已知两边解直角三角形 已知斜边和一条直角边解直角三角形 例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′) 典例分析 导引：求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先 求∠B，因为 ＝sin B＝cos A. 例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′) 典例分析 解：由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8， ∴∠B≈53°8′. ∴∠A＝90°－∠B≈36°52′. 由勾股定理得： 归纳小结 已知斜边和一条直角边求两锐角及另一直角边，先求出已知直角边与斜边之比，即为某一锐角的正弦或余弦，从而可求得一锐角，则另一锐角也易求出．至于另一直角边的计算方法， 可运用勾股定理；也可运用三角函数定义由斜边乘某锐角的正弦得该锐角的对边或斜边乘某锐角的余弦得该锐角的邻边．但要注意若连续进行近似计算有可能使计算结果误差变大，一般尽量使用原始数据以减少误差． 例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2.求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′，边长精确到0.01) 典例分析 导引：已知两边，根据勾股定理可求出第三边．求锐角，需要由边的比值，运用三角函数求得． 解： 由勾股定理得： 由tan A＝ ＝0.5，得∠A≈26°34′， ∴∠B＝90°－∠A≈63°26′. 归纳小结 已知两直角边，则运用勾股定理可求出斜边．求锐角时，可先求得两直角边之比，即为某锐角的正切，从而求得该锐角，则另一锐角易求出．也可通过求直角边与斜边之比得到某锐角的正弦，从而求得该锐角，但若斜边为近似值，后续计算有可能使误差变大． 新课探究 已知一边及一锐角解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形： 已知一锐角，则另一锐角易求．而求另两边则需要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计算．如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边．有时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式． 例4 在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 且b = 30, ∠B = 25°求这个三角形的其他元素（边长精确到1). 典例分析 解：在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B = 25° ∴∠A=65°. ∵ ∴ ∵ ∴ 归纳小结 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来. 2.已知斜边和一锐角解直角三角形： 已知斜边和一锐角，则另一锐角易求．而求两直角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得已知锐角的邻边．当求出一直角边后，另一直角边也可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大． 例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形的其他元素．(长度精确到0.01) 典例分析 导引：已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而 已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数． 解： ∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′. 由sin A＝ 得a＝c·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98. 由cos A＝ 得b＝c·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31. 新课探究 已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形 例6 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ sin B＝ 求BC的长． 导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可解决问题． 新课探究 已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形 例6 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ sin B＝ 求BC的长． 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝1，sin B＝ ∴AD＝AB·sin B＝1× ＝ ∴BD＝ CD＝ ∴BC＝ 归纳小结 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用． 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（　　） D 当堂练习 2.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________. 3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB= ，则AC的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; A B C b=20 a=30 c (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c=14 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形. D A B C 6 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. 图① 解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5 ∴BC=BD-CD=12-5=7； ∴BC的长为7或17. 当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论. 6. 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，求 BC的长. 解直角三角形 依据 解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理） A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 巩固练习 1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，tan C＝ AB＝6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s 的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是(　　) A．18 cm2 B．12 cm2 C．9 cm2 D．3 cm2 A 课堂总结 1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流. 2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必 须有一个已知边，为什么？ $$