解三角形的应用举例 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题. 特别是新高考对该部分的考查明显加强，且在命题上逐年创新。提倡考生在经历了现实生活中从已知到未知的解题过程中，发挥数学的价值，这能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向. 解三角形的应用 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 高复数学组 授课时间：2025届 2025 2 目标引领 1、能熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法. 2、能解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 独立自学 1、回顾上节课我们学习过的解三角形范围问题。 2、了解测量中的几个有关术语。 独立自学 独立自学 题型一　测量距离问题 √ 引导探究 引导探究 题型二　测量高度问题 √ 引导探究 引导探究 题型三　测量角度问题 √ 引导探究 引导探究 题型四　结构开放型题 引导探究 引导探究 引导探究 目标升华 1、求解实际应用题需要注意什么； 2、总结本节课学习的求解实际问题的方法； 3 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 √ 强化补清 强化补清 √ 强化补清 强化补清 强化补清 强化补清 强化补清 强化补清 请做：题组层级快练（三十三） 第‹#›页 下 课 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025 第‹#›页 34 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ 　(2024·保定模拟) 如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12eq \r(6)海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8eq \r(3)海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C到D的距离为(　　) A．20海里　　　　　　　 B．8eq \r(3)海里 C．23eq \r(2)海里 D．24海里 【解析】　在△ABD中，B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理eq \f(AD,sin B)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，可得AD＝eq \f(ABsin B,sin∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(海里)． 在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8eq \r(3)海里，∠CAD＝30°， 由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8eq \r(3))2－2×24×8eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝192.所以CD＝8eq \r(3) 海里． (2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家5A级景区，为了测量瀑布某一处的实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为eq \f(3,2)，沿山道走20 m，抵达B点位置，测得瀑布顶端的仰角为eq \f(π,3).已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为eq \f(π,3)，则该瀑布的高度约为(　　) A．60 m B．90 m C．108 m D．120 m 【解析】　根据题意作出如图所示的示意图，其中tan α＝eq \f(3,2)，β＝θ＝eq \f(π,3)，AB＝20，在Rt△AOH中，tan α＝eq \f(OH,OA)，所以OA＝eq \f(2,3)OH.在Rt△BOH中，tan β＝eq \f(OH,OB)，所以OB＝eq \f(\r(3),3)OH.在△AOB中，由余弦定理，得OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcos θ，即eq \f(1,3)OH2＝eq \f(4,9)OH2＋202－2×eq \f(2,3)OH×20×eq \f(1,2)，解得OH＝60.所以该瀑布的高度约为60 m. (2024·南京市高三月考)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(6)－2 C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1 【解析】　由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°. 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(AC,sin 135°)， 又AB＝100 m，∴AC＝100eq \r(2) m. 在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m， 由正弦定理得eq \f(AC,sin（θ＋90°）)＝eq \f(CD,sin 15°)， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin 15°,CD)＝eq \r(3)－1.故选C. (2020·新高考Ⅰ卷)在①ac＝eq \r(3)，②csin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________？ 【答案】　见解析 【解析】　由C＝eq \f(π,6)和余弦定理，得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2). 由sin A＝eq \r(3)sin B及正弦定理，得a＝eq \r(3)b. 于是eq \f(3b2＋b2－c2,2\r(3)b2)＝eq \f(\r(3),2)，由此可得b＝c. 选条件①： 由①ac＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(3)，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 选条件②： B＝C＝eq \f(π,6)，A＝eq \f(2π,3). 因为②csin A＝3，所以c＝b＝2eq \r(3)，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2eq \r(3). 选条件③： 由③c＝eq \r(3)b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．在解题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． (3)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题1　某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A，B两地间的距离(如图)，测绘员在(同一个平面内)同一直线上的三个测量点D，C，E进行观测，从点D测得∠ADC＝67.5°，从点C测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从点E测得∠BEC＝60°，并测得DC＝2，CE＝eq \r(2)(单位：km)，则A，B两点间的距离为_______ km. 【解析】　在△ACD中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，CD＝2eq \r(3)，所以∠CAD＝67.5°， 则AC＝CD＝2eq \r(3)，在△BCE中，∠BEC＝60°，∠BCE＝75°，CE＝eq \r(2)，则∠CBE＝45°， 由正弦定理得eq \f(CE,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 60°)，可得BC＝eq \f(CEsin 60°,sin 45°)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq \r(3). 则在△ABC中，AC＝2eq \r(3)，BC＝eq \r(3)，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°， 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 60°＝9，因此，AB＝3(km)． 100eq \r(6) 【解析】　设此山高h m，则BC＝eq \r(3)h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝600 m. 根据正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AB,sin∠BCA)， 即eq \f(\r(3)h,sin 30°)＝eq \f(600,sin 45°)，解得h＝100eq \r(6) m. 【答案】　eq \f(5\r(3),9) 【解析】　如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ. 设CO＝x m，x＞0，则OP＝eq \f(\r(3),3)x m. 在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m， 所以BC＝20 m，所以cos∠BCA＝eq \f(4,5). 所以AO＝eq \r(625＋x2－2×25x×\f(4,5))＝eq \r(x2－40x＋625)(m)． 所以tan θ＝eq \f(\f(\r(3),3)x,\r(x2－40x＋625))＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(1－\f(40,x)＋\f(625,x2)))＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,x)－\f(4,5)))\s\up14(2)＋\f(9,25))). 当eq \f(25,x)＝eq \f(4,5)，即x＝eq \f(125,4)时，tan θ取得最大值，最大值为eq \f(\f(\r(3),3),\f(3,5))＝eq \f(5\r(3),9). (3)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题4　(2024·滨州市高三期末)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足(b－a)(sin B＋sin A)＝c(sin B－sin C)． (1)求A的大小； 【答案】　eq \f(π,6)　 【解析】　因为(b－a)(sin B＋sin A)＝c(eq \r(3)sin B－sin C)， 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)， 得(b－a)(b＋a)＝c(eq \r(3)b－c)， 即b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc， 所以cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)， 因为0<A<π，所以A＝eq \f(π,6). (2)在①a＝2，②B＝eq \f(π,4)，③c＝eq \r(3)b这三个条件中，选出两个使△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题．若________，________，求△ABC的面积． 【解析】方案一：选择条件①和②，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 得b＝eq \f(a,sin A)sin B＝2eq \r(2).方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得(2eq \r(2))2＝22＋c2－2×2ccos eq \f(π,4)，解得c＝eq \r(2)＋eq \r(6).所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2×(eq \r(2)＋eq \r(6))×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)＋1. 方法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq \r(3)＋1. 方案二：选条件①和③， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋3b2－3b2，则b2＝4，则b＝2.所以c＝2eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3). 方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，由②和③得eq \f(c,b)≠eq \f(sin C,sin B)，所以这样的三角形不存在． 1. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．20eq \r(2) m　　　　　　 B．30eq \r(2) m C．40eq \r(2) m D．50eq \r(2) m 解析　由三角形内角和定理， 可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， 由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC) ⇒eq \f(AB,\f(\r(2),2))＝eq \f(50,\f(1,2))⇒AB＝50eq \r(2). 2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°的方向上 B．北偏西10°的方向上 C．南偏东10°的方向上 D．南偏西10°的方向上 解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确． 3．为测某塔AB的高度，在与塔AB相距30 m的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m. 30＋10eq \r(3) 解析　如图所示， 依题意∠ACE＝30°， ∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30， 由eq \f(AE,sin 30°)＝eq \f(CE,sin 60°)，得AE＝10eq \r(3)， 所以AB＝(30＋10eq \r(3)) m. 4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________ m. 50eq \r(7) 解析　如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq \f(1,2)＝17 500，解得OC＝50eq \r(7).则该扇形的半径为50eq \r(7) m. $$