正余弦定理3 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查. 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025 正、余弦定理3 2 目标引领 一. 平面多边形中的解三角形问题 二.　解三角形中的中线问题 三.　解三角形中的角平分线问题 独立自学 1.回顾之前所学正余弦定理及应用 引导探究 题型一 平面多边形中的解三角形问题 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 题型二　解三角形中的中线问题 引导探究 引导探究 题型三　解三角形中的角平分线问题 引导探究 目标升华 解平面多边形的策略是什么？中线和角平分线问题如何处理？ 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 当堂诊学 强化补清 请完成：题组层级快练32和课后配套习题 坚持就是胜利！ 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025届高复 20 以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路 eq \a\vs4\al(建联系) 在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形中 eq \a\vs4\al(用定理) ①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理； ②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理 在△ABC中，AB＝9，cos B＝eq \f(2,3)，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角． (1)求BD； 【解析】　在△ABD中， 由余弦定理得 AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝AD2， 整理得BD2－12BD＋32＝0， 所以BD＝8或BD＝4. 当BD＝4时，cos∠ADB＝eq \f(16＋49－81,2×4×7)＝－eq \f(2,7)， 则∠ADB>eq \f(π,2)，不符合题意，舍去； 当BD＝8时，cos∠ADB＝eq \f(64＋49－81,2×8×7)＝eq \f(2,7)， 则∠ADB<eq \f(π,2)，符合题意，所以BD＝8. 【解析】　在△ABD中，cos∠BAD＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq \f(92＋72－82,2×9×7)＝eq \f(11,21)， 所以sin∠BAD＝eq \f(8\r(5),21)，易求得sin∠ADB＝eq \f(3\r(5),7)，cos∠ADB＝eq \f(2,7)， (2)若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长． 所以sin C＝sin(∠ADB－∠CAD)＝sin(∠ADB－∠BAD)＝sin∠ADBcos∠BAD－cos∠ADBsin∠BAD＝eq \f(3\r(5),7)×eq \f(11,21)－eq \f(2,7)×eq \f(8\r(5),21)＝eq \f(17\r(5),147)，在△ACD中，由正弦定理得eq \f(CD,sin∠CAD)＝eq \f(AD,sin C)，即CD＝eq \f(AD,sin C)·sin∠CAD＝eq \f(7,\f(17\r(5),147))×eq \f(8\r(5),21)＝eq \f(392,17). (1)若AB＝eq \f(3,2)，求BC； 【答案】　eq \f(\r(2),2)　 【解析】　在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ABD＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2AB·BD)＝eq \f(3,4)， 因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD， 在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝eq \f(1,2)，所以BC＝eq \f(\r(2),2). (2)若AB＝2BC，求cos∠BDC. 【答案】　eq \r(3)－1 【解析】　设BC＝x，则AB＝2x，在△ABD中，cos∠ABD＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2AB·BD)＝eq \f(4x2,4x)＝x，在△BCD中，cos∠BDC＝eq \f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq \f(2－x2,2)， 因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即eq \f(2－x2,2)＝x，整理可得x2＋2x－2＝0，因为x>0，解得x＝eq \r(3)－1， 因此，cos∠BDC＝cos∠ABD＝x＝eq \r(3)－1. (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为eq \r(3)，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝eq \f(π,3)，求tan B； 【答案】　eq \f(\r(3),5)　 【解析】　∵D为BC中点，S△ABC＝eq \r(3)，则S△ACD＝eq \f(\r(3),2)，如图，过A作AE⊥BC，垂足为E.在△ADE中，DE＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(\r(3),2)，S△ACD＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(3),2)CD＝eq \f(\r(3),2)，∴CD＝2，∴BD＝2，BE＝eq \f(5,2)，tan B＝eq \f(AE,BE)＝eq \f(\f(\r(3),2),\f(5,2))＝eq \f(\r(3),5). (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【答案】 b＝c＝2 【解析】　易知eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))，两边同时平方得eq \o(AD,\s\up14(→))2＝eq \f(1,4)(c2＋b2＋2bccos∠BAC)，∴1＝eq \f(1,4)(8＋2bccos∠BAC)，∴bccos∠BAC＝－2，① 又∵S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin∠BAC＝eq \r(3)，∴bcsin∠BAC＝2eq \r(3)，② 由①②解得tan∠BAC＝－eq \r(3)，∵0<∠BAC<π， ∴∠BAC＝eq \f(2π,3)，∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2. 在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的平分线交BC边于D点． (1)证明：BC＝3DC； 【解析】　证明：如图所示，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CAD＝α，∠CDA＝π－β.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理，得eq \f(AB,BD)＝eq \f(sin β,sin α)，eq \f(AC,CD)＝eq \f(sin（π－β）,sin α)，所以eq \f(AB,BD)＝eq \f(AC,DC)，即eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC).又因为AB＝2AC，所以BD＝2DC，所以BC＝3DC. 【解析】　设∠CAD＝θ，AB＝2AC＝2t，则AD＝AC＝t. 由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得eq \f(1,2)·t·2t·sin 2θ＝eq \f(1,2)t·t·sin θ＋eq \f(1,2)·2t·t·sin θ，即sin θcos θ＝eq \f(3,4)sin θ.因为sin θ≠0，所以cos θ＝eq \f(3,4)，易知sin θ＝eq \r(1－cos2θ)＝eq \f(\r(7),4)，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝eq \f(3\r(7),8)，cos 2θ＝2cos2θ－1＝eq \f(1,8). (2)若AD＝AC，且△ABC的面积为6eq \r(7)，求BC的长． 【答案】　6eq \r(2) 又S△ABC＝6eq \r(7)＝eq \f(1,2)·t·2t·sin 2θ＝eq \f(3\r(7),8)t2，所以t2＝16，所以BC2＝t2＋4t2－2·t·2t·cos 2θ＝eq \f(9,2)t2＝eq \f(9,2)×16＝72，所以BC＝6eq \r(2). 在△ABC中，若D是BC的中点，则涉及中线AD的问题，可用中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)求解，也可用2eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))求解． 此外，还可以利用∠BDA＋∠CDA＝π⇒cos∠BDA＋cos∠CDA＝0求解，此方法不仅适用于涉及中线的问题，也适用于涉及角平分线的问题． 在△ABC中，若AD平分∠BAC，则涉及角平分线AD的问题，可用三角形内角平分线定理：eq \f(AB,AC)＝eq \f(BD,DC)求解，也可用S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，得到(b＋c)AD＝2bccos eq \f(∠BAC,2)，即AD＝eq \f(2bccos \f(∠BAC,2),b＋c)(角平分线长公式)求解． r(3)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题2　已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＋acos B＝eq \r(3)c. (1)求角A的大小； 【解析】　因为bsin A＋eq \r(3)acos B＝eq \r(3)c，由正弦定理及sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 得sin Bsin A＋eq \r(3)sin Acos B＝eq \r(3)sin Acos B＋eq \r(3)cos Asin B， 可得sin Bsin A＝eq \r(3)cos Asin B，因为sin B≠0，所以sin A＝eq \r(3)cos A，即tan A＝eq \r(3)， 因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3). (2)若a＝4，D为BC的中点，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求AD的长． 【答案】　eq \r(7) 【解析】　因为A＝eq \f(π,3)，a＝4，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc，所以bc＝6，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得16＝b2＋c2－bc＝b2＋c2－6，可得b2＋c2＝22， 因为2eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))，可得4|eq \o(AD,\s\up14(→))|2＝|eq \o(AB,\s\up14(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up14(→))|2＋2eq \o(AB,\s\up14(→))·eq \o(AC,\s\up14(→))＝c2＋b2＋2bccos A＝22＋2×6×eq \f(1,2)＝28，解得|eq \o(AD,\s\up14(→))|2＝7，可得AD的长为eq \r(7). 【答案】　eq \f(3\r(3),2) (sin A－sin B,sin C)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题3　(2024·吉林实验中学模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝eq \f(a－c,a＋b). (1)求角B的大小； (2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且BD为∠ABC的平分线，求△ABC的面积． 【答案】　eq \f(π,3)　 【解析】　因为eq \f(sin A－sin B,sin C)＝eq \f(a－c,a＋b)， 由正弦定理，得eq \f(a－b,c)＝eq \f(a－c,a＋b)， 化简，得a2＋c2－b2＝ac， 所以由余弦定理，得cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)， 又因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3). 【解析】　如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，即eq \f(1,2)BA×BC×sin∠ABC＝eq \f(1,2)BA×BD×sin eq \f(∠ABC,2)＋eq \f(1,2)BC×BD×sin eq \f(∠ABC,2)， 化简，得BA＋BC＝eq \f(\r(3),2)BA×BC，① 又由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA×BC×cos∠ABC，即(BA＋BC)2－3BA×BC＝9，② 联立①②，解得BA×BC＝－2(舍去)或6， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)BA×BC×sin∠ABC＝eq \f(3\r(3),2). ` $$