函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用3 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 上节课我们学习了三角函数图象的变换，及如何利用图像求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.这节课我们来探究一下实际应用. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用3 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2 目标引领 　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 独立自学 引导探究 √ 4 √ √ √ 目标升华 面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能． 这个过程并不神秘，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程． √ 当堂诊学 √ 强化补清 完成小册子作业 坚持就是胜利！ 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 27 注意事项 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． (2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度． (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由方程ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由方程ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定． 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系式：f(t)＝10－eq \r(3)coseq \f(π,12)t－sineq \f(π,12)t，t∈[0，24)． (1)求实验室这一天的最大温差； 【答案】　4 ℃ (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】　10时至18时实验室需要降温 【解析】　因为f(t)＝10－2(eq \f(\r(3),2)coseq \f(π,12)t＋eq \f(1,2)sineq \f(π,12)t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，　 又0≤t<24，所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)<eq \f(7π,3)， 所以－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1. 于是f(t)在[0，24)上最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】　10时至18时实验室需要降温 【解析】　依题意，当f(t)>11时实验室需要降温． 由(1)得f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，故有10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))>11， 即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))<－eq \f(1,2). 又0≤t<24，则eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(7,3)π，因此eq \f(7π,6)<eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)<eq \f(11π,6)，即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温． 思考题4　(1)(2024·深圳一模)深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似地看为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0(－2<s0<2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω＝(　　) A.eq \f(π,2) B．π C.eq \f(3π,2) D．2π _1775468353.doc 【解析】　由正弦型函数的性质知该函数最小正周期T＝t3－t1＝2，则eq \f(2π,ω)＝2，可得ω＝π.故选B. (2) 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，沿逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米． (2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为eq \f(π,2). (1)求函数f(x)的解析式； 【答案】　f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 【解析】　由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为eq \f(π,2)，得函数f(x)的最小正周期为T＝2×eq \f(π,2)＝eq \f(2π,2ω)，得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). (2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，求当m取得最小值时，g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))上的单调递增区间． 【答案】　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－\f(π,12)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(7π,12))) 【解析】　将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（x＋m）＋\f(π,3)))＝eq \r(3)sin(2x＋2m＋eq \f(π,3))的图象， 根据g(x)的图象恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，可得eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2m＋\f(π,3)))＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m－\f(π,3)))＝0， 所以2m－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，m＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)， 因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为eq \f(π,6). 此时，g(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))). 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))，所以2x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(11π,6))). 当2x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－\f(π,12)))时，g(x)单调递增； 当2x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(11π,6)))，即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(7π,12)))时，g(x)单调递增． 综上，g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))上的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－\f(π,12)))和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(7π,12))). b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题5　(1)(2023·全国甲卷，文)函数y＝f(x)的图象由y＝cos的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　因为y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度所得图象对应的函数为y＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝cos(2x＋eq \f(π,2))＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x， 而直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)显然过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))与(1，0)两点， 比较2x＝－eq \f(3π,2)，2x＝eq \f(3π,2)，2x＝eq \f(7π,2)，即x＝－eq \f(3π,4)，x＝eq \f(3π,4)，x＝eq \f(7π,4)处f(x)与y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的大小关系， 当x＝－eq \f(3π,4)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))＝－1，y＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))－eq \f(1,2)＝－eq \f(3π＋4,8)<－1； 当x＝eq \f(3π,4)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝－sin eq \f(3π,2)＝1，y＝eq \f(1,2)×eq \f(3π,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(3π－4,8)<1； 当x＝eq \f(7π,4)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)))＝－sin eq \f(7π,2)＝1，y＝eq \f(1,2)×eq \f(7π,4)－eq \f(1,2)＝eq \f(7π－4,8)>1，作出f(x)与y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的部分大致图象如图， 所以由图可知，f(x)的图象与直线y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)的交点个数为3.故选C. (2)【多选题】(2024·黑龙江佳木斯一中模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后关于直线x＝0对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))上有一个零点 B．f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))对称 C．f(x)的图象在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12)))上单调递增 D．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(3),2)＋1 【解析】　函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后的图象对应的解析式为g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋φ))＋1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)＋φ))＋1，又g(x)的图象关于直线x＝0对称，且|φ|<eq \f(π,2)，所以eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)，φ＝eq \f(π,2)－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,6)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))≠0，所以f(x)的图象不关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))对称，故B错误；当eq \f(π,3)≤x≤eq \f(4π,3)时，eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,2)，令t＝2x－eq \f(π,6)，y＝sin t＋1，函数图象如图， 结合图象可知，当eq \f(π,2)≤t≤eq \f(5π,2)时，y＝sin t＋1的图象与坐标轴只有一个交点，即f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))上只有一个零点，故A正确；当eq \f(π,12)≤x≤eq \f(5π,12)时，0≤t＝2x－eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，结合图象可知，y＝sin t＋1在该区间上有增有减，即f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12)))上有增有减，故C错误；当eq \f(π,12)≤x≤eq \f(π,4)时，0≤t＝2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,3)，结合图象可知，此时y＝sin t＋1单调递增，所以当t＝eq \f(π,3)，即x＝eq \f(π,4)时，函数y＝sin t＋1取最大值，为sin eq \f(π,3)＋1＝eq \f(\r(3),2)＋1，即f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(\r(3),2)＋1，故D正确．故选AD. 4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<eq \f(π,2))的图象如图所示，则当t＝eq \f(1,100) s时，电流强度是(　　) A．－5 A B．5 A C．5eq \r(3) A D．10 A 解析　由图象知A＝10，eq \f(T,2)＝eq \f(4,300)－eq \f(1,300)＝eq \f(1,100)，则T＝eq \f(1,50). ∴ω＝eq \f(2π,T)＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)． ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,300)，10))为五点中的第二个点， ∴100π×eq \f(1,300)＋φ＝eq \f(π,2). ∴φ＝eq \f(π,6).∴I＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))，当t＝eq \f(1,100) s时，I＝－5 A．故选A. 5．(高考真题·湖北卷)将函数y＝eq \r(3)cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　) A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,6) 解析　y＝eq \r(3)cos x＋sin x＝2(eq \f(\r(3),2)cos x＋eq \f(1,2)sin x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象向左平移m个单位长度后，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋m＋\f(π,3)))的图象，此图象关于y轴对称，则当x＝0时，y＝±2，即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(π,3)))＝±2，所以m＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，由于m>0，所以mmin＝eq \f(π,6)，故选B. $$