函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用2 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 上节课我们学习了五点法作图，今天将探究三角函数图象的变换，及由图像确定解析式问题. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用2 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2 目标引领 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义 2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 3.能由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式． 独立自学 向左(φ>0)或向右(φ<0) |φ| 向左(φ>0)或向右(φ<0) 引导探究 题型二　三角函数的图象变换 √ √ √ 题型三　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 √ √ √ 目标升华 1.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.能由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式． √ √ 当堂诊学 √ 强化补清 完成课时作业 坚持就是胜利！ 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 23 函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象变换 (1)eq \x(y＝sin x) eq \o(――→,\s\up14(相位),\s\do22(变换)) eq \x(y＝sin（x＋φ）) eq \o(――→,\s\up14(周期),\s\do22(变换)) eq \x(y＝sin（ωx＋φ）) eq \o(――→,\s\up14(振幅),\s\do22(变换)) eq \x(y＝Asin（ωx＋φ）) (2)eq \x(y＝sin x) eq \o(――→,\s\up14(周期),\s\do22(变换)) eq \x(y＝sin ωx) eq \o(――→,\s\up14(相位),\s\do22(变换)) eq \x(y＝sin（ωx＋φ）) eq \o(――→,\s\up14(振幅),\s\do22(变换)) eq \x(y＝Asin（ωx＋φ）) 【说明】　(1)中第一步相位变换是______________________平移____个 单位长度，而(2)中第二步相位变换是_____________________平移____个单位长度，要严格区分，(1)(2)对y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同样适用． eq \f(|φ|,ω) 注意事项 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． (2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度． (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由方程ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由方程ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定． (1)请说明如何由y＝sin x的图象得到y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象． 【答案】　见解析 【解析】　y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝2cos(eq \f(1,2)x－eq \f(π,4))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))，先把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象；再把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象，即y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的图象． (2)请说明如何由y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象得到y＝sin x的图象． 【答案】　见解析 【解析】　先把y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象上各点的纵坐标都伸长到原来的3倍(横坐标不变)得y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图象；再把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象；再把y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象上所有点向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得y＝sin x的图象． \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题2　(1)(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移eq \f(π,5)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,5)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,15)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,15)个单位长度 【解析】　因为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))＝2sin eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,15)))))，所以要得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))的图象上所有的点向右平移eq \f(π,15)个单位长度．故选D. (2)【多选题】(2024·福建莆田模拟)将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，得到函数f(x)的图象，若f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，则φ的取值可能为(　　) A.eq \f(π,12)　　　　　　　　 B.eq \f(5π,24) C.eq \f(5π,12) D.eq \f(7π,12) 【解析】　将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝2sin(2x－2φ－eq \f(π,3))的图象，再将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－2φ－\f(π,3)))图象上每一点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，得到函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－2φ－\f(π,3)))的图象．因为f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝2sin(4×eq \f(π,4)－2φ－eq \f(π,3))＝±2，所以4×eq \f(π,4)－2φ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,12)－eq \f(kπ,2)，k∈Z.故选AD. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_____________________． f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 【解析】　由题图可知A＝eq \r(2). 方法一：因为eq \f(T,4)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,4)，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝eq \r(2)sin(2x＋φ)，又函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))(相当于五点法的第三点)，因此2×eq \f(π,3)＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，即φ＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|<π，所以k＝0，φ＝eq \f(π,3).故f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 方法二(五点法)：以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))为五点法的第三点(第二个零点)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－\r(2)))为五点法的第四点(最小值点)，列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω·\f(π,3)＋φ＝π，,ω·\f(7π,12)＋φ＝\f(3π,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3)))(满足ω>0，|φ|<π)， 故f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). A．2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) B．2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) C.eq \r(6)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))) D.eq \r(6)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(3π,4))) 【解析】　由题图可得函数f(x)的最小正周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋\f(π,12)))＝π，所以ω＝eq \f(2π,π)＝2.结合题图可得2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，结合选项，取φ＝eq \f(2π,3)，所以f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，又f(0)＝Asin eq \f(2π,3)＝eq \r(3)，所以A＝2，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).故选B. (2)【多选题】如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x)) C．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x)) 【解析】　由函数图象可知eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以T＝π，则|ω|＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2，所以ω＝±2，当ω＝2时，函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，且f(0)>0 ，得φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，同理，当ω＝－2时，φ＝eq \f(π,3)－2kπ，k∈Z，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故选BC. 2．【多选题】(2024·沧衡八校联考)要得到函数y＝cos 2x的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 C．向左平移eq \f(3π,4)个单位长度 D．向右平移eq \f(3π,4)个单位长度 解析　由于y＝cos 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))，因此只需把函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，就可以得到y＝cos 2x的图象，A正确．同理D正确． 3．(2019·课标全国Ⅱ)若x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(3π,4)是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(1,2) 解析　依题意得函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,4)))＝π，解得ω＝2，故选A. $$