三角函数的值域与最值3 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 上节课我们学习了三角函数的值域与最值问题，本节课探究数形结合求三角函数值域 数形结合求三角函数值域 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2 目标引领 1、了解数形结合求三角函数值域 2、会用数形结合法求简单三角函数值域 独立自学 1、回顾前面学习过的求函数值域的方法 2、类比学习数形结合求值域在三角函数中的应用 引导探究 目标升华 当堂诊学 √ √ √ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 强化补清 课时作业 坚持就是胜利！ 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025届高复 16 求函数f(x)＝eq \f(2－sin x,2＋cos x)的值域． 【答案】　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))) 【解析】　方法一(几何法)：函数f(x)＝eq \f(2－sin x,2＋cos x)， 可看成点(2，2)，(－cos x，sin x)两点连线的斜率． 点(－cos x，sin x)的轨迹为x2＋y2＝1， 函数值域即为点(2，2)与单位圆x2＋y2＝1上的点连线的斜率的范围，易知过点(2，2)且与单位圆相切的切线斜率存在，不妨设斜率为k. ∴切线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0. ∴eq \f(|2－2k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3). ∴函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))). 方法二(代数法)：设y＝f(x)＝eq \f(2－sin x,2＋cos x)， ∴2y＋ycos x＝2－sin x， ∴sin x＋ycos x＝2－2y. ∴eq \r(1＋y2)sin(x＋φ)＝2－2y(其中tan φ＝y)， ∴sin(x＋φ)＝eq \f(2－2y,\r(1＋y2))，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2－2y,\r(1＋y2))))≤1， ∴4(1－y)2≤1＋y2， ∴3y2－8y＋3≤0，∴eq \f(4－\r(7),3)≤y≤eq \f(4＋\r(7),3). (1,2)INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题3　已知f(x)＝(sin x＋cos x)－eq \f(1,2)|sin x－cos x|，求f(x)的值域． 【答案】　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2))) 【解析】　f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x（sin x≤cos x），,cos x（sin x>cos x）.))作出函数一个周期内图象如图，由图象知，－1≤f(x)≤eq \f(\r(2),2). 1．三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的值域． 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B；(2)y＝f(sin x)． 3．－eq \r(a2＋b2)≤asin x＋bcos x≤eq \r(a2＋b2). 4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图象、周期、单调性． 5．利用导数求三角函数的值域和最值． 6．对于y＝eq \f(asin x＋b,ccos x＋d)型函数． (1)转化为Asin x＋Bcos x＝C型函数． (2)利用直线的斜率求解． 7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数． $$