三角函数的值域和最值2课件-2025届高三数学一轮复习

三角函数的值域和最值2 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学组 授课时间：XX.XX 2025届高复 1 题型二　可化为y＝f(sin x)型函数的值域问题 状元笔记 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 坚持就是胜利！ 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025届高复 11 (1)(2024·广东惠州一模)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________． eq \f(3,2) 【解析】　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2))) eq \s\up22(2)＋eq \f(3,2)，所以当t＝eq \f(1,2)时，函数取得最大值eq \f(3,2). (2)(2024·山东德州质检)函数f(x)＝sin xcos x＋eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的值域为_______________． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)) 【解析】　由于f(x)＝sin xcos x＋eq \r(2)sin(x－eq \f(π,4))＝sin xcos x＋sin x－cos x. 令sin x－cos x＝t，则sin xcos x＝eq \f(1－t2,2)， 于是y＝eq \f(1－t2,2)＋t＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1， 而t＝sin x－cos x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]， 所以当t＝1时，函数取最大值1， 当t＝－eq \r(2)时，函数取最小值－eq \f(1,2)－eq \r(2)， 故值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)). y＝f(sin x)型三角函数求最值或值域问题，可通过换元法转化为其他函数的最值或值域问题． \lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，α))INCLUDEPICTURE"RT.TIF" 思考题2　(1)若函数y＝sin2x＋2cos x在区间上的最小值为－eq \f(1,4)，则α的取值范围是___________． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(2π,3))) 【解析】　y＝2－(cos x－1)2，当x＝－eq \f(2π,3)时，y＝－eq \f(1,4)，根据函数的对称性知α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，\f(2π,3))). (2)设x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则函数y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)的最大值为________． eq \f(\r(3),3) 【解析】　因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos x＞0，tan x＞0，y＝eq \f(sin 2x,2sin2x＋1)＝eq \f(2sin xcos x,3sin2x＋cos2x)＝eq \f(2tan x,3tan2x＋1)＝eq \f(2,3tan x＋\f(1,tan x))≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，当且仅当tan x＝eq \f(\r(3),3)时等号成立，故y的最大值为eq \f(\r(3),3). (3)求f(x)＝cos2x＋asinx的最小值． 【解析】　f(x)＝1－sin2x＋asinx， 令t＝sinx，t∈[－1，1]， ∴y＝－t2＋at＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(a,2))) eq \s\up12(2)＋1＋eq \f(a2,4). 当a>0，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a； 当a≤0，t＝1时，y取最小值，ymin＝a. 【答案】　当a>0时，f(x)min＝－a；当a≤0时，f(x)min＝a (4)当x≠eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)时，6cos4x＋5sin2x－mcos2x－4＝0有解，求实数m的取值范围． 【解析】　mcos2x＝6cos4x＋5sin2x－4， ∵x≠eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)， ∴2x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即cos2x≠0. ∴m＝eq \f(6cos4x＋5sin2x－4,cos2x)＝eq \f(6cos4x－5cos2x＋1,cos2x) ＝eq \f(（2cos2x－1）（3cos2x－1）,cos2x) ＝3cos2x－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2x≠\f(1,2))). ∴－1≤m≤2且m≠eq \f(1,2). 【答案】　－1≤m≤2且m≠eq \f(1,2) $$