三角恒等变换1 课件-2025届高三数学一轮复习

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题. 课题导入 三角恒等变换第1课时 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025届专用 2 1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 目标引领 3 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°, ∠CAB=15°.求这座电视发射塔的高度. B D A C 60 45° 15° 独立自学 思考1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系. 不妨令 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点 引导探究 思考2：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系. 不妨令 如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点 终边 终边 终边 引导探究 连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以 注： 根据两点间的距离公式，得： 化简得：. 引导探究 当时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角有 此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为. 引导探究 思考3：由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式为基础来推导其他公式. 例如，比较与，并注意到与之间的联系： =，则由公式，有 . 于是得到了两角和的余弦公式，简记作. 引导探究 思考4：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据及诱导公式五(或六)，推导出用任意角的正弦、余弦表示的公式吗？ 于是得到了两角和的正弦公式，简记作. 引导探究 新知探 于是得到了两角和的正弦公式，简记作. 思考5：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？ 引导探究 因为 ， 所以有： 于是得到了两角和的正切公式，简记作． （同除以） 引导探究 因为，所以有： 于是得到了两角和的正切公式，简记作． （同除以） 引导探究 公式，，给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式. 类似地，，，都叫做差角公式. 引导探究 思考6：试利用公式，，推导出的公式？ ； ； 引导探究 新知索 思考7：如果要求二倍角的余弦公式仅含的正弦(余弦)，那么又可得到： 证明：因为， 所以 以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系. 引导探究 （1）使用两角和、差及二倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号的变化规律.例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”. （2）使用公式求值，应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用. 目标升华 17 当堂诊学 2.已知是第三象限角，求的值. 解：由，，得： 又由，是第三象限角，得： 所以. 当堂诊学 3.已知是第四象限角，求的值. 解：由，是第四象限角， 得： 所以 于是有 当堂诊学 4.已知，求的值. 解：由，得 又所以 于是 当堂诊学 5.在中，求的值. 解法1：在中，由得 所以 又，所以 于是. 当堂诊学 6.在中，求的值. 解法2：在中，由得 所以 又，所以 所以 当堂诊学 强化补清 完成题层快练二十六题目 【答案】　①eq \f(1,4)　②2　③－eq \f(\r(3),2)　④2　⑤eq \f(\r(3),3) ⑥4　⑦2－eq \r(3)　⑧eq \f(1,4) 1.(1)求值： ①sin 105°sin 15°； ②eq \f(1－tan222°30′,tan 22°30′)； ③sin2eq \f(π,12)－sin2eq \f(5π,12)； ④(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)； ⑤eq \f(cos 15°－sin 15°,cos 15°＋sin 15°)； ⑥tan 75°＋tan 15°； ⑦eq \f(sin 7°＋cos 15°sin 8°,cos 7°－sin 15°sin 8°)； ⑧eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°). $$