导数与函数的极值1课件-2025届高三数学一轮复习

复习回顾 课题导入 生活中有很多优化问题，往往可以归结为求函数的最值，极值问题，我们常用导数解决这类优化问题。 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 导数与函数的极值1 3 目标引领 独立自学 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 独立自学 必要条件 f′(x0)＝0 极大值 极小值 独立自学 引导探究 题型一　函数的极值问题(微专题) √ √ 引导探究 引导探究 √ 引导探究 引导探究 √ 目标升华 当堂诊学 √ 当堂诊学 √ 强化补清 完成课时作业 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2024 坚持到底就是胜利！ 17 1．在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立． 3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性． 1.理解函数的极值和导数的关系. 2.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 3.会用导数研究生活中的最优化问题. 函数的极值 (1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f(x)的___________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________；b叫做函数y＝f(x)的__________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________．极小值点、极大值点统称为_________，极小值和极大值统称为_______． (2)函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的____________．可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是： ①_____________； ②在x＝x0附近的左侧f′(x0)>0(<0)，右侧f′(x0)<0(>0)． (3)利用导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0, 那么f(x0)是_________；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是_________． 注意：对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． (4)在定义域上单调的函数一定没有极值． (5)三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c最多有两个极值点． 答案　（1）×　（2）√ （3）√ （4）√ （5）√ 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． (2)函数的极大值不一定比极小值大． (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 【多选题】(2024·辽宁锦州开学考试)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(－2)>f(－1) B．x＝1是f(x)的极小值点 C．函数f(x)在(－1，1)上有极大值 D．x＝－3是f(x)的极大值点 【解析】　由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增； 当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(－2)>f(－1)，x＝－3是f(x)的极大值点，所以A、D正确； 当x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增，因此函数f(x)在(－1，1)上没有极大值，且x＝1不是f(x)的极小值点，所以B、C不正确．故选AD. A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3) 【解析】　由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(－3，1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1，3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)． 2．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 解析　当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a. 当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b. 综上，可知必有ab>a2成立． 原函数与导函数的图像关系： （1）原函数的极值点对应导函数的零点； （2）导函数的零点可能是原函数的极值点； （3）原函数的单调性对应导函数的正负；（导函数看正负，原函数看增减） 二．求函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少． 1．(课本习题改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　　) A．f(x)在(－2，－1)上单调递增 B．当x＝3时，f(x)取得最小值 C．当x＝－1时，f(x)取得极大值 D．f(x)在(－1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减 _1234567890.doc 2．(课本习题改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 $$