18.2.3　正方形. 课件 -2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.3　正方形 第十八章 平行四边形 活动　探究正方形的性质和判定方法以及应用 [猜想证明] (1)请你画一个正方形,并画出它的两条对角线,分别从角、边、对角线上来说说它有哪些性质,正方形是矩形吗?正方形是菱形吗? 解:如图①. 角:正方形的四个角都是直角; 边:对边平行,正方形的四条边都相等; 探究与应用 对角线:对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角. 正方形是矩形,也是菱形. 探究与应用 (2)一个矩形再添加什么条件就变成正方形?一个菱形再添加什么条件就变成正方形?试对你的猜想进行证明. 解:一个矩形再添加一组邻边相等或对角线互相垂直就变成正方形.一个菱形再添加一个角是直角或对角线相等就变成正方形. 已知:如图②,四边形ABCD是矩形,且AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=90°,四边形ABCD是平行四边形. 探究与应用 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. 探究与应用 已知:如图③,四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. 探究与应用 已知:如图④,四边形ABCD是菱形,∠B=90°. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形,AB=BC. 又∵∠B=90°,∴四边形ABCD是正方形. 探究与应用 已知:如图⑤,四边形ABCD是菱形,且AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 探究与应用 [概括新知] 1.正方形的定义:有一组邻边　　　　 ,且有一个内角是 　　　　的平行四边形是正方形.  2.正方形的性质:因为正方形既是矩形,又是菱形,所以正方 形既有矩形的性质,又有菱形的性质. (1)对边　　　　且　　　　;  (2)四条边都　　　　;  (3)四个角都是　　　　;  相等 直角 平行 相等 相等 直角 探究与应用 (4)对角线　　　　且互相　　　　　　;  (5)每一条对角线平分一组　　　　.  3.正方形的判定:(1)有　　　　　　　的矩形是正方形;  (2)有一个角是　　　　的菱形是正方形.  相等 垂直平分 对角 一组邻边相等 直角 探究与应用 [应用迁移] 例1 (教材典题)求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 解:已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O. 求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO, 探究与应用 ∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 探究与应用 因为正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形,所以在解决与正方形有关的问题时,常用到等腰三角形与直角三角形的性质. 得 锦囊 探究与应用 变式1 如图18-2-37,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=3,则此正方形的面积为 (　　) A.3 　　　　　　 B.12 C.18 　　　　　　 D.36 图18-2-37 C 探究与应用 变式2 (2023黄石)如图18-2-38,在正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P. (1)求证:△ABN≌△DAM; 图18-2-38 解:证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=DA=BC,∠DAM=∠ABN=90°. ∵BM=CN,∴BC-CN=AB-BM, 即BN=AM. 在△ABN和△DAM中, 探究与应用 ∴△ABN≌△DAM(SAS). 图18-2-38 探究与应用 (2)求∠APM的大小. 图18-2-38 解:由(1)知△ABN≌△DAM, ∴∠MAP=∠ADM, ∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°, ∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°. 探究与应用 例2 (教材补充例题)如图18-2-39,在矩形ABCD中,点E在边AB上,连接DE,将矩形ABCD沿DE折叠,点A的对应点F落在边CD上,连接EF. 求证:四边形AEFD是正方形. 图18-2-39 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠ADC=90°. 由折叠,得∠DFE=∠A=90°,AE=EF, ∴∠A=∠ADF=∠DFE=90°, 探究与应用 ∴四边形AEFD是矩形. 又∵AE=EF,∴四边形AEFD是正方形. 图18-2-39 探究与应用 判定正方形的基本思路 如果一个四边形既是矩形又是菱形,那么这个四边形就是正方形,所以当判定一个四边形是正方形时,先证明这个四边形是矩形(或菱形),再证明其是菱形(或矩形). 理 思路 探究与应用 变式 如图18-2-40,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA. 求证:四边形AECF是正方形. 图18-2-40 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF,∴OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC⊥EF, 探究与应用 ∴▱AECF是菱形. ∵OE=OA, ∴OF=OE=OA=OC,即EF=AC, ∴菱形AECF是正方形. 图18-2-40 探究与应用 [本课时认知逻辑] 正方形的性 质及判定 → 观察、猜想 → 理解 → 归纳 → 解决问题 课堂小结与检测 [检测] 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (　　) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 C 课堂小结与检测 2.如图18-2-41,一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形: a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等; c.一组邻边相等;d.一个角是直角. 顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.正确的是(　　) A.① B.③ C.①② D.②③ 图18-2-41 C 课堂小结与检测 3.如图18-2-42,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN. (1)求证:四边形EFMN是正方形; 图18-2-42 解:证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN, ∴AN=DM=CF=BE, ∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF, 课堂小结与检测 ∴EN=NM=MF=FE,∠ENA=∠NMD, ∴四边形EFMN是菱形. ∵∠NMD+∠DNM=90°, ∴∠ENA+∠DNM=90°, ∴∠ENM=90°, ∴四边形EFMN是正方形. 图18-2-42 课堂小结与检测 (2)若AB=7,AE=3,求四边形EFMN的周长. 图18-2-42 解:∵AB=7,AE=3, ∴AN=BE=AB-AE=4, ∴EN==5, ∴正方形EFMN的周长=4×5=20. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$