18.2.2 菱形第1课时　菱形的性质 课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.2 菱形 　第1课时　菱形的性质 第十八章 平行四边形 18.2.2　第1课时　菱形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第十八章　平行四边形 全品初中 活动　理解菱形的概念,能证明菱形的性质 [操作尝试] 如图18-2-19,在▱ABCD中(BC>AB),将AB水平向右平移到EF的位置,当EF=DE时,四边形DEFC是菱形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 图18-2-19 探究与应用 (1)利用菱形的定义判定菱形时必须具备的两个条件:①是一个平行四边形; ②有一组邻边相等. 这两个条件缺一不可. (2)菱形的定义既是它的一种性质,又是一种判定方法. (3)一组邻边相等的四边形不一定是菱形. 记 关键 探究与应用 [引发思考] 菱形是特殊的平行四边形,除了具有平行四边形的性质外,它是否还具有一些特殊性质呢?请你进行如下探究: (1)菱形的四条边都相等吗?试说明理由; 解:菱形的四条边都相等. 理由如下: 已知:如图①,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. 探究与应用 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形,且有一组邻边相等,不妨设AB=BC, ∴AB=CD,BC=DA, ∴AB=BC=CD=DA. 探究与应用 (2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角吗?试说明理由; 解:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.理由如下: 已知:如图②,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O. 求证:AC⊥BD,AC平分∠BAD,CA平分∠BCD, BD平分∠ABC,DB平分∠ADC. 探究与应用 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO, ∴AC⊥BD,∠ABO=∠CBO=∠ABC,∠ADO=∠CDO=∠ADC,∠DCO=∠BCO=∠BCD,∠DAO=∠BAO=∠BAD(等腰三角形 三线合一), 即AC⊥BD,AC平分∠BAD,CA平分∠BCD,BD平分∠ABC,DB平分∠ADC. 探究与应用 (3)菱形是轴对称图形吗?若是,请指出菱形的对称轴. 解:菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 探究与应用 [概括新知] 菱形的性质:(1)菱形的四条边都　　　　;(2)菱形的两条对 角线互相垂直,并且每一条对角线　　 　　　　;(3)菱形是 轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.  相等 平分一组对角 探究与应用 学 总结 (1)菱形的面积有两种计算方法:一种是平行四边形的面积公式:底×高;另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形的面积之和). (2)任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半. 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)如图18-2-20,菱形花坛ABCD的边长为20 m, ∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 图18-2-20 解:∵花坛ABCD的形状是菱形, ∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°. 探究与应用 图18-2-20 在Rt△OAB中,AO=AB=×20=10, BO==10, ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m), BD=2BO=20≈34.64(m), 花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4(m2). 探究与应用 变式1 如图18-2-21,菱形ABCD的对角线交于点O,DB=6,AD= 5,则菱形ABCD的面积为(　　) A.20 B.24 C.30 D.36 图18-2-21 B 探究与应用 变式2 如图18-2-22,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H.已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= 　　　　. 图18-2-22 探究与应用 例2 (教材补充例题)如图18-2-23,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF. (1)求证:AE=AF; 图18-2-23 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D. 又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD, ∴AE=AF. 探究与应用 (2)若∠B=60°,E,F分别是BC,CD的中点,求证:△AEF是等边三角形. 图18-2-23 解:连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D. 又∵∠B=60°, ∴△ABC,△ACD都是等边三角形, ∴∠BAC=∠DAC=60°. 探究与应用 ∵E,F分别是BC,CD的中点, ∴∠EAC=∠BAC=30°,∠FAC=∠DAC=30°, ∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°. 又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形. 图18-2-23 探究与应用 菱形的性质在计算中的应用 若菱形中出现“60°角”“120°角”“较短的对角线长等于边长”“一边上的高平分这一边”这些条件之一,则可得到等边三角形. 得 锦囊 探究与应用 变式 如图18-2-24,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD,AB的中点. (1)求证:△ABE≌△ADF; 图18-2-24 解:证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD. ∵E,F分别是边AD,AB的中点, ∴AE=AD,AF=AB, ∴AE=AF. 探究与应用 在△ABE和△ADF中, ∴△ABE≌△ADF(SAS). 图18-2-24 探究与应用 (2)若BE=,∠C=60°,求菱形ABCD的面积. 图18-2-24 解:连接BD. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠A=∠C=60°, ∴△ABD是等边三角形. ∵E是边AD的中点, ∴BE⊥AD,AD=2AE, ∴∠ABE=30°,∴AB=2AE. 探究与应用 在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2, 即AE2+()2=(2AE)2, 解得AE=1, ∴AD=2AE=2, ∴菱形ABCD的面积=AD·BE=2×=2. 图18-2-24 探究与应用 [本课时认知逻辑] 平行四边形 一个角是直角 一组邻边相等 矩形 菱形 四个角是直 角(相等) 四条边相等 对角线相等 对角线互 相垂直 课堂小结与检测 [检测] 1.如图18-2-25,在菱形ABCD中,∠B=120°,则∠1的度数为 (　　) A.60° B.30° C.25° D.15° B 图18-2-25 课堂小结与检测 2.如图18-2-26,在菱形ABCD中,E,F分别是AC,AB的中点.如果菱形ABCD的周长为24,那么EF的长为 (　　) A.12 B.6 C.3 D.2 图18-2-26 C 课堂小结与检测 3.(2023丽水)如图18-2-27,在菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF,DF,则∠DFC的度数是　　　　. 图18-2-27 130° 课堂小结与检测 4.如图18-2-28,四边形ABCD是边长为13的菱形,其中对角线AC的长为10. 求:(1)对角线BD的长度; 图18-2-28  解:∵四边形ABCD为菱形, ∴AC⊥BD,AE=EC=AC=5,BE=DE=BD. ∵菱形ABCD的边长为13, ∴AB=13. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE==12, ∴BD=2BE=24. 课堂小结与检测 (2)菱形ABCD的面积. 图18-2-28  解:∵AC=10,BD=24, ∴S菱形ABCD=AC·BD=×10×24=120. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$