期末复习（课件）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

期 末复 习 期末复习1　三角形的证明 1 基础过关 1. (2024福州马尾区期末)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(　D) A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 13,14,15 D. 15,8,17 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 2. 如图,点B,E,C,F在同一条直线上,BE＝CF,AB∥DE,请你添加一个合适的条件,使△ABC≌△DEF,下列不符合三角形全等的条件是(　A) A. AC＝DF B. AB＝DE C. ∠A＝∠D D. ∠ACB＝∠F A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 3. 能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(　A　) 4. 如图,一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下,倒下的部分与地面成 30°角,这棵树在折断前的高度为(　B　) A. 6 m B. 9 m C. 12 m D. 15 m A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 5. 如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域.某市决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在(　C　) A. AC,BC两边上的高的交点处 B. AC,BC两边上的中线的交点处 C. ∠A,∠B两角平分线的交点处 D. AC,BC两边垂直平分线的交点处 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 6. 如图,在△ABC中,AB＝5,BC＝6,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,则△ABD的周长为(　B　) A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 7. 如图,过等边三角形ABC的顶点A作射线.若∠1＝25°,则∠2的度数为 　95°　.  95° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 8. 如图,用纸板挡住一个直角三角形的一部分后,能画出与此直角三角形全等的三角形,其全等的依据是 　ASA　.  9. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 　每一个内角都大于60°　.  ASA 每一个内角都大于60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 10. 如图,在△ABC中,∠A＝40°,∠C＝90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC＝ 　10°　.  10° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 11. 如图,在△ABC中,AB＝AC,过点A作AD∥BC,交∠ABC的平分线BD于点D. 求证:AC＝AD. 证明:∵AD∥BC, ∴∠D＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD＝∠DBC. ∴∠ABD＝∠D. ∴AB＝AD. 又∵AB＝AC, ∴AC＝AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 12. 一个机器零件的形状如图所示.已知在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,BC＝2.5 cm,BD＝13 cm,AD＝12 cm,求△ABD的面积. 解:∵在Rt△ABC中,∠BAC＝30°,BC＝2.5 cm, ∴AB＝2BC＝5 cm. ∵52＋122＝132,即AB2＋AD2＝BD2, ∴△ABD是直角三角形,且∠BAD＝90°. ∴S△ABD＝ ×5×12＝30 (cm2). 解:∵在Rt△ABC中,∠BAC＝30°,BC＝2.5 cm, ∴AB＝2BC＝5 cm. ∵52＋122＝132,即AB2＋AD2＝BD2, ∴△ABD是直角三角形,且∠BAD＝90°. ∴S△ABD＝ ×5×12＝30 (cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 13. 如图,已知CB＝CD,∠D＋∠ABC＝180°,CE⊥AD于点E,CF⊥AB,交AB的延长线于点F. 求证:AC平分∠DAB. 证明:∵CE⊥AD于点E,CF⊥AB, ∴∠DEC＝∠CFB＝90°. ∵∠D＋∠ABC＝180°, ∠CBF＋∠ABC＝180°, ∴∠D＝∠CBF. 又∵CB＝CD, ∴△CDE≌△CBF(AAS). ∴CE＝CF. ∴AC平分∠DAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 14. (2024三明期末)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝BC,点E在BC边上,点F在AB的延长线上,且AE＝CF. (1)证明:∵∠ABC＝90°, ∴△ABE与△CBF均为直角三角形. 在Rt△ABE与Rt△CBF中, AB＝BC,AE＝CF, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). ∴BE＝BF. (1)求证:BE＝BF; (1)证明:∵∠ABC＝90°, ∴△ABE与△CBF均为直角三角形. 在Rt△ABE与Rt△CBF中, AB＝BC,AE＝CF, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). ∴BE＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 (2)若∠CAE＝25°,求∠ACF的度数. 解:(2)∵∠ABC＝90°,AB＝BC, ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵∠CAE＝25°, ∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝20°. 由(1)知,Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴∠BAE＝∠BCF＝20°. ∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝65°. 解:(2)∵∠ABC＝90°,AB＝BC, ∴∠BAC＝∠BCA＝45°. ∵∠CAE＝25°, ∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝20°. 由(1)知,Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴∠BAE＝∠BCF＝20°. ∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 能力提升 15. 下列说法正确的是(　B　) A. 斜边相等的两个直角三角形全等 B. 有一边相等的两个等边三角形全等 C. 腰相等的两个等腰三角形全等 D. 有一边相等的两个直角三角形全等 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 16. (2024南充)如图,在Rt△ABC中,已知∠C＝90°,∠B＝30°,BC＝6,AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为(　C　) A. B. C. 2 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 17. 如图,△AOB≌△ADC,∠O＝∠D＝90°,记∠OAD＝α,∠ABO＝β.当BC∥OA时,α与β之间的数量关系为(　B　) A. α＝β B. α＝2β C. α＋β＝90° D. α＋2β＝180° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 18. 如图,在等腰三角形ABC中,AB＝AC,∠A＝40°.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则∠ABE＝ 　30°　.  30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 19. (2024福州仓山区期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB＝AC＝ ,BC＝2,AD平分∠BAC,GE垂直平分AC,交AD于点F,则AF的长是 　 　.  ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 20. 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,点D,E在BC上,AD⊥AC,AE⊥AB. 求证:△AED为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 证明:∵AB＝AC,∠BAC＝120°, ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠BAC)＝30°. ∵AD⊥AC,AE⊥AB, ∴∠EAB＝∠DAC＝90°. ∴∠AEB＝90°－∠B＝60°,∠ADC＝90°－∠C＝60°. ∴∠DAE＝180°－∠AEB－∠ADC＝60°. ∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°. ∴△AED为等边三角形. 证明:∵AB＝AC,∠BAC＝120°, ∴∠B＝∠C＝ (180°－∠BAC)＝30°. ∵AD⊥AC,AE⊥AB, ∴∠EAB＝∠DAC＝90°. ∴∠AEB＝90°－∠B＝60°,∠ADC＝90°－∠C＝60°. ∴∠DAE＝180°－∠AEB－∠ADC＝60°. ∴∠ADE＝∠AED＝∠DAE＝60°. ∴△AED为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 思维拓展 21. 如图1,在△ABC中,BA＝BC,CO⊥AB于点O,AO＝4,BO＝6. (1)求BC,AC的长. 解:(1)∵AO＝4,BO＝6,∴AB＝10. ∵BA＝BC,∴BC＝10. ∵CO⊥AB, ∴∠AOC＝∠BOC＝90°. 在Rt△BOC中,根据勾股定理,得CO＝ ＝8. 在Rt△AOC中,根据勾股定理,得AC＝ . 解:(1)∵AO＝4,BO＝6,∴AB＝10. ∵BA＝BC,∴BC＝10. ∵CO⊥AB, ∴∠AOC＝∠BOC＝90°. 在Rt△BOC中,根据勾股定理,得CO＝ ＝8. 在Rt△AOC中,根据勾股定理,得AC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 (2)若点D是射线OB上的一个动点,作直线DE⊥AC于点E,延长直线DE,与BC交于点F. ①如图2,当点D在线段OB上时,求证:△BDF是等腰三角形; ②连接OF,CD,若S△OBF∶S△OBC＝1∶2,求CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 解:(2)①证明:∵AB＝BC,∴∠A＝∠ACB. ∵DE⊥AC,∴∠A＋∠ADE＝90°＝∠ACF＋∠F. ∴∠ADE＝∠F. ∵∠ADE＝∠BDF,∴∠F＝∠BDF. ∴BD＝BF. ∴△BDF是等腰三角形. 解:(2)①证明:∵AB＝BC,∴∠A＝∠ACB. ∵DE⊥AC,∴∠A＋∠ADE＝90°＝∠ACF＋∠F. ∴∠ADE＝∠F. ∵∠ADE＝∠BDF,∴∠F＝∠BDF. ∴BD＝BF. ∴△BDF是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 ②如答图1,当点D在OB上时,过点F作FH⊥AB,交AB的延长线于点H. ∵S△OBF∶S△OBC＝1∶2, ∴ OB·FH. ∴CO＝2FH＝8. ②如答图1,当点D在OB上时,过点F作FH⊥AB,交AB的延长线于点H. ∵S△OBF∶S△OBC＝1∶2, ∴ OB·FH. ∴CO＝2FH＝8. ∴FH＝4＝OA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 又∵∠AOC＝∠H＝90°,∠ADE＝∠FDH, ∴△ACO≌△FDH(AAS).∴CO＝DH＝8. ∵BF2＝BH2＋HF2,∴BD2＝(8－BD)2＋16. ∴BD＝5.∴OD＝1. ∴CD＝ . 如答图2,当点D在线段OB的延长线上时,同理可求BD＝BF＝5. ∴OD＝11. ∴CD＝ . 综上所述,CD的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 返回首页 $$期 末复 习 期末综合练习2 1 一、选择题 1. 正十边形的外角和的度数为(　C　) A. 1 440° B. 720° C. 360° D. 180° 2. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　B　) C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 3. 如图,在□ABCD中,∠A－∠B＝50°,则∠A的度数是(　B　) A. 130° B. 115° C. 65° D. 50° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 4. 根据分式的性质,分式 可以变形为(　B　) A. 　　　 　　　 　　　 5. 下列因式分解正确的是(　C　) A. x2＋9＝(x＋3)2 B. a2＋2a＋4＝(a＋2)2 C. a3－4a2＝a2(a－4) D. 1－4x2＝(1＋4x)(1－x) B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 6. 交通法规人人遵守,文明城市处处安全.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标志,这是限制车高的标志,则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为(　D　) A. x≥4.5 B. x>4.5 C. x≤4.5 D. 0<x≤4.5 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 7. 如图,直线y＝kx＋b经过点A(－1,－2)和点B(－2,0),直线y＝2x过点A,则不等式2x<kx＋b<0的解集为(　B　) A. x<－2 B. －2<x<－1 C. －2<x<0 D. －1<x<0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 8. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,点E在BC的垂直平分线上,若∠A＝60°,∠ABD＝24°,则∠ACE的度数为(　A　) A. 48° B. 50° C. 55° D. 60° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为白话文如下:把一份文件用慢马送到900里(1里＝500 m)外的城市,需要的时间比规定时间多1天;如果用快马送,需要的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为 ,其中x表示 (　C　) A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 规定的时间 D. 以上都不对 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 10. 有4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片,拼成一个边长为(a＋b)的大正方形如图所示,涂上阴影设计为中心对称图形.设图中阴影部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,若S2＝ S1,则a,b满足(　A　) A. a＝2b B. a＝3b C. 2a＝3b D. 2a＝5b A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 二、填空题 11. 不等式2－x≥3的解集是 　x≤－1　.  12. 当x＝ 　－2　时,分式 的值为0.  13. 如图,A,B两地被池塘隔开,小明先在AB外选一点C,然后测 出AC,BC的中点M,N,若MN的长为16 m,则A,B两地间的距离 是 　32　m.  x≤－1 －2 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 14. 用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”,第一步应假设 　一个三角形中最少有两个角是直角　.  15. 如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,连接BE,FD,请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形DFBE为平行四边形,你添加的条件是 　DE＝BF(答案不唯一)　.  一个三角形中最少有两个角是直角 DE＝BF(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 16. 如图所示,等腰三角形ABC的底边为8 cm,腰长为5 cm,一动点P(与点B,C不重合)在底边上从点B向点C以1 cm/s的速度移动,当P运动 　1.75或4　s时,△ACP是直角三角形.  1.75 或4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 三、解答题 17. (1)因式分解:ma2－25m. 解:原式＝m(a2－25) ＝m(a＋5)(a－5). 解:原式＝m(a2－25) ＝m(a＋5)(a－5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)解不等式组: 解:解不等式①,得x<5, 解不等式②,得x≥－1. ∴不等式组的解集为－1≤x<5. 解:解不等式①,得x<5, 解不等式②,得x≥－1. ∴不等式组的解集为－1≤x<5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 18. 先化简,再求代数式 的值,其中a＝ ＋1. 解:原式＝ ＝ ＝ . 当a＝ ＋1时,原式＝ . 解:原式＝ ＝ ＝ . 当a＝ ＋1时,原式＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 19. 如图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F,求证:AE＝CF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC,∠A＝∠C. ∵DE⊥AB,BF⊥CD, ∴∠DEA＝∠BFC. ∴△DEA≌△BFC(AAS). ∴AE＝CF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC,∠A＝∠C. ∵DE⊥AB,BF⊥CD, ∴∠DEA＝∠BFC. ∴△DEA≌△BFC(AAS). ∴AE＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 20. 某地种植猕猴桃,每到采摘季节,某果品分拣车间有甲、乙两组工人负责将猕猴桃装箱,已知每小时甲组比乙组少装16箱,甲组装260箱与乙组装340箱所用的时间相等.分别求甲、乙两组每小时装猕猴桃的箱数. 解:设甲组每小时装猕猴桃x箱,则乙组每小时装猕猴桃(x＋16)箱. 根据题意,得 . 解:设甲组每小时装猕猴桃x箱,则乙组每小时装猕猴桃(x＋16)箱. 根据题意,得 . 解得x＝52. 经检验,x＝52是所列方程的根. ∴x＋16＝68. 答:甲组每小时装猕猴桃52箱,乙组每小时装猕猴桃68箱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 21. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,2). (1)以点C为旋转中心,将△ABC旋转180°后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; 解:(1)如图,△A1B1C1即为所作. 解:(1)如图,△A1B1C1即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)平移△ABC,使点A的对应点A2的坐标为(0,－1),请画出△A2B2C2; 解:(2)如图,△A2B2C2即为所作. 解:(2)如图,△A2B2C2即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (3)若将△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2,则点P的坐标为  　(－1,0)　.  (－1,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 22. 在△ABC中,AB＝AC,∠BAC<60°,线段BD,AF是△ABC的高,能否在△ABC外部找到一个角等于∠BAC的一半?如图,小智分别以点C,点D为圆心,BD,BC的长为半径画弧,两弧交于点E,连接CE,DE,则∠E＝ ∠BAC. 请你证明这种做法的正确性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 证明:∵BD,AF是△ABC的高, ∴∠CAF＋∠ACF＝90°,∠CBD＋∠ACF＝90°. ∴∠CBD＝∠CAF. ∵AB＝AC,AF⊥BC, ∴∠CAF＝ ∠BAC. ∴∠CBD＝ ∠BAC. 由题意知DE＝BC,CE＝BD, ∴四边形BCED是平行四边形. ∴∠E＝∠CBD＝ ∠BAC. 证明:∵BD,AF是△ABC的高, ∴∠CAF＋∠ACF＝90°,∠CBD＋∠ACF＝90°. ∴∠CBD＝∠CAF. ∵AB＝AC,AF⊥BC, ∴∠CAF＝ ∠BAC. ∴∠CBD＝ ∠BAC. 由题意知DE＝BC,CE＝BD, ∴四边形BCED是平行四边形. ∴∠E＝∠CBD＝ ∠BAC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 23. 【综合实践】 在综合实践课上,白老师带领同学们为某公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案,三块长方形空地的长都为30 m,宽都为20 m.白老师的设计方案如图1所示,阴影部分为一条平行四边形小路,EF＝1 m,长方形除去阴影部分后剩余部分为草地. 【数学思考】 (1)求图1中草地的面积. 解:(1)根据题意,草地的面积为20×30－1×20＝580(m2). 解:(1)根据题意,草地的面积为20×30－1×20＝580(m2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 【深入探究】 (2)白老师让同学们开发想象并完成本组的设计,并让小组成员提出相关的问题. ①“善思小组”提出问题:设计方案如图2所示,有两条宽均为1 m的小路(图中阴影部分),其余部分为草地,求草地的面积; ②“智慧小组”提出问题:设计方案如图3所示,非阴影部分为草地,阴影部分为1 m宽的小路,沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处,求所走的路线(图中虚线)长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 解:(2)①小路往AB,AD边平移,直到小路与草地的边重合, 则草地的面积为(30－1)×(20－1)＝551(m2). ②将小路往AB,AD,DC边平移,直到小路与草地的边重合, 则所走的路线(图中虚线)长为30＋20×2－2＝68(m). 解:(2)①小路往AB,AD边平移,直到小路与草地的边重合, 则草地的面积为(30－1)×(20－1)＝551(m2). ②将小路往AB,AD,DC边平移,直到小路与草地的边重合, 则所走的路线(图中虚线)长为30＋20×2－2＝68(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 24. 阅读材料: 我们知道,任意一个正整数k都可以进行这样的分解:k＝m×n(m,n是正整数,且m≤n),在k的所有这种分解中,如果m,n两因数之差的绝对值最小,我们就称m×n是k的最佳分解,并规定:f(k)＝ . 例如:18可以分解成1×18,2×9或3×6,因为18－1>9－2>6－3,所以3×6是18的最佳分解,所以f(18)＝ . (1)计算:f(6)＝ 　 　;  ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)一个两位正整数t(t＝10a＋b,1≤a≤b≤9,a,b为正整数),交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数,并求f(t)的最大值. 解:由题意,得交换后的数减去 交换前的数的差为 10b＋a－10a－b＝9(b－a)＝54, ∴b－a＝6. ∵1≤a≤b≤9, ∴b＝9,a＝3或b＝8,a＝2或b＝7, a＝1. ∴t为39,28,17. ∵39＝1×39＝3×13, ∴f(39)＝ , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 ∵28＝1×28＝2×14＝4×7. ∴f(28)＝ . ∵17＝1×17, ∴f(17)＝ . ∴f(t)的最大值 . ∵28＝1×28＝2×14＝4×7. ∴f(28)＝ . ∵17＝1×17, ∴f(17)＝ . ∴f(t)的最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 25. 在初中数学中,四边形是一个重要的研究对象,其中涵盖了丰富的知识.研究如图1所示的四边形ABCD,AC,BD相交于点E,且AC⊥BD,我们将对该图形进行不同补充和改变,请你利用所学的知识来探讨以下问题: 25 返回首页 (1)如图2,若AB＝3,BC＝4,CD＝4,求AD的长; 解:(1)∵CD＝BC＝4, ∴△BDC为等腰三角形. ∵AC⊥BD, ∴AC为DB的垂直平分线. ∴AD＝AB. ∵AB＝3, ∴AD＝3. 解:(1)∵CD＝BC＝4, ∴△BDC为等腰三角形. ∵AC⊥BD, ∴AC为DB的垂直平分线. ∴AD＝AB. ∵AB＝3, ∴AD＝3. 25 返回首页 (2)如图3,若AC＝BD＝5,求四边形ABCD的面积; 解:(2)∵AC⊥BD, ∴S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC ＝ AC·BE ＝ AC·(ED＋BE) ＝ AC·BD ＝ ×5×5 ＝ . 25 返回首页 (3)如图4,若AB＝3,BC＝ ,CD＝4,求AD的长. 解:(3)∵AC⊥BD, ∴CE2＋DE2＝CD2,DE2＋AE2＝AD2,AE2＋BE2＝AB2,CE2＋BE2＝BC2. ∴CD2＋AB2＝CE2＋DE2＋AE2＋BE2, AD2＋BC2＝DE2＋AE2＋CE2＋BE2. ∴CD2＋AB2＝AD2＋BC2. ∵AB＝3,BC＝ ,CD＝4, ∴42＋32＝AD2＋()2. 解得AD＝2 . 解:(3)∵AC⊥BD, ∴CE2＋DE2＝CD2,DE2＋AE2＝AD2,AE2＋BE2＝AB2,CE2＋BE2＝ BC2. ∴CD2＋AB2＝CE2＋DE2＋AE2＋BE2, AD2＋BC2＝DE2＋AE2＋CE2＋BE2. ∴CD2＋AB2＝AD2＋BC2. ∵AB＝3,BC＝ ,CD＝4, ∴42＋32＝AD2＋()2. 解得AD＝2 . 25 返回首页 $$期 末复 习 期末复习3　图形的平移与旋转 1 基础过关 1. 下列现象中,属于旋转的是(　B　) A. 拉衣服的拉链 B. 幸运大转盘转动的过程 C. 急刹车时,自行车向前滑动 D. 飞机起飞后冲向空中的时候 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 2. 下列图案是中心对称图形的是(　D　) 3. 将点P(－2,－3)向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的点的坐标为(　A　) A. (0,－6) B. (0,6) C. (0,0) D. (－4,0) D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 4. 如图,△DEF是△ABC经过平移得到的.已知∠B＝55°,∠C＝35°,下列结论中,不一定成立的是(　B　) A. ∠E＝55° B. ∠CAD＝∠F C. AC⊥DE D. AB∥DE 5. 如图,△ABC绕点A旋转角度α后,得到△ADE,下列结论正确的是 (　D　) A. ∠BAE＝α B. ∠CAD＝α C. ∠BAC＝α D. ∠BED＝α B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 6. 如图,将此图绕中心旋转,当此图案第一次与自身重合时,其旋转角的大小为 　72°　.  72° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 7. 如图,在等边三角形ABC中,AB＝6,D是BC上一点,且BC＝3BD,若△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 　2　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 8. 如图,将长方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转到长方形AB'C'D'的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1＝112°,则∠α的大小是 　22°　.  22° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 9. 已知长方形ABCD的长为5,宽为4,若将其沿着射线BC方向平移到长方形EFGH处,则长方形CDEF的周长是长方形ABCD周长的 ,求出长方形ABCD平移的距离. 解:设长方形ABCD平移的距离AE＝x. ∵长方形ABCD的长为5,宽为4, ∴长方形ABCD的周长为18. ∵长方形CDEF的周长是长方形ABCD周长的 , ∴4＋4＋5－x＋5－x＝18× . ∴x＝3. ∴长方形ABCD平移的距离为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 10. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别是A(1,3),B(4,4),C(2,1). (1)把△ABC向左平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1,请画出平移后的△A1B1C1; 解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求. 解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 (2)把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2,请画出旋转后的△A2B2C2; 解:(2)如图所示,△A2B2C2即为所求. 解:(2)如图所示,△A2B2C2即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 (3)观察图形可知,△A1B1C1与△A2B2C2关于点( 　－2,0　)中心对称.  －2,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 11. 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α°(30<α<150)得到△AB'C',B,C两点的对应点分别为点B',C',连接BC',BC'与AC,AB'分别相交于点E,F. (1)当α＝70时,∠ABC'＝ 　40　°,∠ACB'＝ 　70　°;  40 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 (2)求证:BC'∥CB'. 证明:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB'C',且AB＝AC,∠BAC＝30°, ∴AB＝AC＝AB'＝AC',∠CAC'＝α,∠B'AC'＝∠BAC＝30°. ∴∠BAC'＝30＋α,∠CAB'＝α－30. ∴∠ABC'＝ ,∠ACB'＝ . ∵∠AEF＝∠ABE＋∠BAC, ∴∠AEF＝ . ∴∠AEF＝∠ACB'. ∴BC'∥CB'. 证明:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB'C',且AB＝ AC,∠BAC＝30°, ∴AB＝AC＝AB'＝AC',∠CAC'＝α,∠B'AC'＝∠BAC＝30°. ∴∠BAC'＝30＋α,∠CAB'＝α－30. ∴∠ABC'＝ ,∠ACB'＝ . ∵∠AEF＝∠ABE＋∠BAC, ∴∠AEF＝ . ∴∠AEF＝∠ACB'. ∴BC'∥CB'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 能力提升 12. 如图,在平面直角坐标系中,点P(1,1),N(2,0),M(3,0),△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上,△MNP与△M1N1P1关于某一点中心对称,则对称中心的坐标为(　D　) A. (1,1) B. (2,2) C. (1,2) D. (2,1) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 13. 如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α,得到△ADE. 若点E恰好在CB的延长线上,则∠BED的度数等于 　180°－α　.(用含α的代数式表示)  180°－α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 14. 如图,已知在△ABC中,AB＝AC. (1)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在AB边上,用尺规作图的方法作出△DEC;(保留作图痕迹,不写作法) 解:(1)如图,△DEC即为所求作的三角形. 解:(1)如图,△DEC即为所求作的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 (2)在(1)的条件下,连接AD,求证:AD＝BC. (2)证明:由(1)知∠DCE＝∠ACB. ∵AB＝AC, ∴∠ACB＝∠B. ∴∠DCE＝∠B. 又由(1)知CE＝CB, ∴∠CEB＝∠B. ∴∠CEB＝∠DCE. ∴AB∥CD. (2)证明:由(1)知∠DCE＝∠ACB. ∵AB＝AC, ∴∠ACB＝∠B. ∴∠DCE＝∠B. 又由(1)知CE＝CB, ∴∠CEB＝∠B. ∴∠CEB＝∠DCE. ∴AB∥CD. ∴∠DCA＝∠CAB. ∵CD＝CA＝BA, ∴△DCA≌△BAC(SAS). ∴AD＝BC. ∴∠DCA＝∠CAB. ∵CD＝CA＝BA, ∴△DCA≌△BAC(SAS). ∴AD＝BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 15. 如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D,求证:BF＝2CD. 证明:延长CD交BA的延长线于点T, 证明:延长CD交BA的延长线于点T, 在△BAF和△CAT中, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 ∴△BAF≌△CAT(ASA). ∴BF＝CT. ∵BD平分∠CBT, ∴∠CBD＝∠TBD. ∵∠CBD＋∠BCD＝90°,∠TBD＋∠T＝90°, ∴∠BCT＝∠T. ∴BC＝BT. ∴DC＝DT,CT＝2CD. ∴BF＝2CD. ∴△BAF≌△CAT(ASA). ∴BF＝CT. ∵BD平分∠CBT, ∴∠CBD＝∠TBD. ∵∠CBD＋∠BCD＝90°,∠TBD＋∠T＝90°, ∴∠BCT＝∠T. ∴BC＝BT. ∴DC＝DT,CT＝2CD. ∴BF＝2CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 思维拓展 16. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(－1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到的对应点分别为C,D,连接AC,BD,CD. (1)直接写出点C,D的坐标,并求出四边形ABDC的面积. 解:(1)由题意,得C(0,2),D(4,2), ∴S四边形ABDC＝AB·OC＝4×2＝8. 解:(1)由题意,得C(0,2),D(4,2), ∴S四边形ABDC＝AB·OC＝4×2＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 (2)在x轴上是否存在一点F,使得△DFC的面积是△DFB面积的2倍?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(2)存在.理由如下: 当BF＝ CD时,△DFC的面积是△DFB面积的2倍. ∵C(0,2),D(4,2), 解:(2)存在.理由如下: 当BF＝ CD时,△DFC的面积是△DFB面积的2倍. ∵C(0,2),D(4,2), ∴CD＝4,BF＝ CD＝2. ∵B(3,0), ∴点F的坐标为(1,0)或(5,0). ∴CD＝4,BF＝ CD＝2. ∵B(3,0), ∴点F的坐标为(1,0)或(5,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回首页 17. 已知每个网格中小正方形的边长都是1,图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成的.请你在图2中以图1为基本图案,借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换). 图1　　　　　　　　　图2　　　 解:答案不唯一,以下提供两种图案. 解:答案不唯一,以下提供两种图案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 16 返回首页 $$期 末复 习 期末复习2　一元一次不等式与 一元一次不等式组 1 基础过关 1. 2024年6月,我国选手苗浩以7 h 58 min 4 s的成绩创造了亚洲“大铁”新纪录,将该记录用时记为t0,若今后的选手要打破该记录,则比赛用时t的取值范围为(　B　) A. t>t0 B. t<t0 C. t≥t0 D. t≤t0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 2. 已知m<n,下列不等式错误的是(　D　) A. m＋5<n＋5 B. －3m>－3n C. 4m<4n D. m－1>n－1 3. 已知一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集为(　A　) A. x≥－1 B. x>1 C. －3<x≤－1 D. x>－3 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 4. 满足不等式组 的整数解是(　C　) A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 5. 若关于x的不等式2x－a≤－1的解集是x≤－1,则a的值是(　A　) A. a＝－1 B. a＝－2 C. a≤－1 D. a≤－2 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 6. 关于x的方程x－5＝－3a的解为负数,则点M(a,－2)在(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 写出一个解集为x<3的一元一次不等式: 　x－3<0(答案不唯一)　.  8. 若x>y,且(a＋3)x>(a＋3)y,则a的取值范围是 　a>－3　.  D x－3<0(答案不唯一) a>－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 9. 某运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作.若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是 　x<8　.  x<8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 10. 如图,根据函数图象可得,关于x的不等式kx<－x＋3的解集是 　x<1.  x<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 11. 解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来: (1)2x－1≥x－3; 解:2x－x≥－3＋1. x≥－2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下: 解:2x－x≥－3＋1. x≥－2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2) <1. 解:3x－2(2x－4)<6. 3x－4x＋8<6. －x<－2. x>2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下: 解:3x－2(2x－4)<6. 3x－4x＋8<6. －x<－2. x>2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 12. 某商店销售一批跑步机,第一个月以5 000元/台的价格售出20台,从第二个月起降价,以4 500元/台的价格将这批跑步机全部售出,销售总额超过35万元.这批跑步机最少有多少台? 解:设这批跑步机有x台. 根据题意,得5 000×20＋4 500(x－20)>350 000. 解得x> . ∴这批跑步机最少有76台. 答:这批跑步机最少有76台. 解:设这批跑步机有x台. 根据题意,得5 000×20＋4 500(x－20)>350 000. 解得x> . ∴这批跑步机最少有76台. 答:这批跑步机最少有76台. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 13. 解下列不等式组: 解:解不等式①,得x≤3. 解:解不等式①,得x≤3. (1) 解不等式②,得x<－3. 不等式①②的解集在数轴上的表示如下: ∴原不等式组的解集为x<－3. 解不等式②,得x<－3. 不等式①②的解集在数轴上的表示如下: ∴原不等式组的解集为x<－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2) 解:解不等式①,得x<2. 解不等式②,得x≥－1. 不等式①②的解集在数轴上的表示如下: ∴原不等式组的解集为－1≤x<2. 解:解不等式①,得x<2. 解不等式②,得x≥－1. 不等式①②的解集在数轴上的表示如下: ∴原不等式组的解集为－1≤x<2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 14. 已知关于x的方程 ＝1的解为非负数,求m的取值范围. 解:解方程 ＝1,得 x＝－16－3m. ∵方程的解为非负数, ∴－16－3m≥0. 解得m≤－ . 解:解方程 ＝1,得 x＝－16－3m. ∵方程的解为非负数, ∴－16－3m≥0. 解得m≤－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 能力提升 15. 若关于x的不等式组 无解,则m的取值范围是 (　A　) A. m≥－1 B. m<－1 C. －2<m<－1 D. －1≤m<0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 16. 若函数y＝kx－b的图象如图所示,则关于x的不等式k(x－3)－b>0的解集为(　C　) A. x<2 B. x>2 C. x<5 D. x>5 C 17. 在平面直角坐标系中,一次函数y1＝m(x＋2)－1(m≠0)的图象为直线l,过点O作OH⊥l,垂足为H,则OH的最大值是 　 　.  ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 18. 已知关于x的函数y＝(m＋1)x＋m－3. (1)若该函数的图象与x轴的交点坐标为(－2,0). ①求m的值; ②请在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数 的图象,并直接写出关于x的不等式(m＋1)x＋m－3>0的解集; 解:(1)①把(－2,0)代入y＝(m＋1)x＋m－3,得0＝－2(m＋1)＋m－3, 解得m＝－5. 解:(1)①把(－2,0)代入y＝(m＋1)x＋m－3,得0＝－2(m＋1)＋m－3, 解得m＝－5. ②由①知m＝－5, ∴y关于x的函数关系式为y＝－4x－8. 在平面直角坐标系中画出该函数的图象如图所示. ②由①知m＝－5, ∴y关于x的函数关系式为y＝－4x－8. 在平面直角坐标系中画出该函数的图象如图所示. 由图象知,关于x的不等式(m＋1)x＋m－3>0的解集为x<－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)若该函数的图象经过第二、三、四象限,求m的取值范围. 解:(2)∵该函数的图象经过第二、三、四象限, ∴ 解得m<－1. ∴m的取值范围为m<－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 思维拓展 19. 对x,y定义一种新运算,规定:θ(x,y)＝2ax－by＋1(其中a,b均为非零常数).例如:θ(2,1)＝2a×2－b×1＋1＝4a－b＋1.已知θ(－1,1)＝－2,θ(3,－1)＝12. (1)求a,b的值; 解:(1)∵θ(－1,1)＝－2,θ(3,－1)＝12, ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)若关于m的不等式组恰好有2 024个整数解,求实数p的取值范围. 解:(2)由(1)得θ(x,y)＝4x＋y＋1, ∵ ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 解得 由题,知关于m的不等式组恰好有2 024个整数解, ∴2 026<2p－3≤2 027. ∴1 014.5<p≤1 015. ∴实数p的取值范围为1 014.5<p≤1 015. 解得 由题,知关于m的不等式组恰好有2 024个整数解, ∴2 026<2p－3≤2 027. ∴1 014.5<p≤1 015. ∴实数p的取值范围为1 014.5<p≤1 015. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 20. 某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100 t到灾区安置点,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满,根据表格提供的信息,解答下列问题: 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量/t 6 5 4 每吨所需运费/元 120 160 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (1)设装运食品的车辆数为x,装运药品的车辆数为y,求y与x的函数关系式. 解:(1)根据题意,得6x＋5y＋4(20－x－y)＝100, 整理,得y＝－2x＋20. 解:(1)根据题意,得6x＋5y＋4(20－x－y)＝100, 整理,得y＝－2x＋20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)若装运食品的车辆数不少于5,装运药品的车辆数不少于6,则车辆的安排有几种方案?并写出每种安排方案. 解:(2)由(1)知,装运食品、药品、生活用品三种救灾物资的车辆数分别为x,20－2x,x. 根据题意,得 解:(2)由(1)知,装运食品、药品、生活用品三种救灾物资的车辆数分别为 x,20－2x,x. 根据题意,得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 解这个不等式组,得5≤x≤7. ∵x为整数, ∴x的值为5,6,7. ∴安排方案有3种. 方案一:装运食品的车5辆,装运药品的车10辆,装运生活用品的车5辆; 方案二:装运食品的车6辆,装运药品的车8辆,装运生活用品的车6辆; 方案三:装运食品的车7辆,装运药品的车6辆,装运生活用品的车7辆. 解这个不等式组,得5≤x≤7. ∵x为整数, ∴x的值为5,6,7. ∴安排方案有3种. 方案一:装运食品的车5辆,装运药品的车10辆,装运生活用品的车5辆; 方案二:装运食品的车6辆,装运药品的车8辆,装运生活用品的车6辆; 方案三:装运食品的车7辆,装运药品的车6辆,装运生活用品的车7辆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (3)在(2)的条件下,若要求总运费最少,应采取哪种安排方案?并求出最少运费. 解:(3)设总运费为W(元),则 W＝6x×120＋5(20－2x)×160＋4x×100 ＝16 000－480x. ∵k＝－480<0, ∴W的值随x的增大而减小. 要使总运费最少,需要x取最大值,即x＝7. ∴选方案三. W最小＝16 000－480×7＝12 640(元). 答:总运费最少为12 640元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 $$期末复习 期末复习4 因式分解 基础过关 1.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是(B) A.(a+2)(a-2)=2-4 B.2a-2b=2(a-b) C.a2-2a+1=a(a-2)+1 D.a+2b=(a+b)+b 2.因式分解x2一14x十49的结果是(C) A.xc-14)+7 B.(x+7)2 C.-7)2 D.(c+7)x-7) 345678910111213141561718920 返回首页 3.下列各式中能用完全平方公式法因式分解的是(C) A.x2+4-4 B.-x2+2x+1 C.4x2-4x+1 D.x2-4 4.下列各式因式分解正确的是(D A.-x2+4x=-xx十4) B.x2+xy+x=x(x+y) C.2.2-8y2=2c+4y)x-4y) D.x(x-y)+y(v-x)=(x-y)2 1 2 56 9101112131415617181920 返回首页 5.己知x2十5x一6可以因式分解为(c十a)x+b),下列结论正确的是 (B) A.a=1,b=-4 B.a=-1,b=6 C.a=1,b=6 D.a=-1,b=-6 1234678910111213115617181920 返回首页 6.多项式3x3y2-6x2y3的公因式是 3x2y2 7.多项式m(a一2)+(a一2)因式分解的结果为(a一2)(m+1), 8.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+2x十4x +8=(x+4)K+2), 12345。 9101112131H15617181920 返回首页 9.把下列各式因式分解： (1)23+4x2+2x; 解：原式=2x(x2+2x+1) =2x(x+1)2. (2)3y2-3; 解：原式=x30y2一1) =x3+1)0y-1), 1■2345678101112131H1561718920 返回首页 (3)x2-02-4y+4); 解：原式=x2-y-2)2 =(x+y-2)c-y+2), (4)a2(x-y)-4b2(x-y) 解：原式=(c-y)(a2-4b2) =(c-y)(a+2b)(a-2b). 12345678101H12131H1561718920 返回首页 10.请你从下列各式中，任选两式做差，并将得到的式子进行因式分解： 42,c+y)2,x+y,9b2. (要求：写出三个式子) 解：4a2-(x+y)2=(2a2-c+y)2=(2a+x+y)2a-x-y) 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)2a-3b) x+y)2-9b2=x+y)2-3b)2=c+y+3b)x+y-3b), (答案不唯一) 1 23456 789●1112131151617181920 返回首页 11.下面是嘉嘉同学把多项式一16y2十4x2因式分解的具体步骤： -16y2+4mx2 利用加法交换律变形：=4mr2一16my2 提取公因式m:=m(4.x2-16y2) 逆用积的乘方公式：=m[(2x)2-(4y)21 运用平方差公式因式分解：=m(2x+4y)2x一4y) ()事实上，嘉嘉的解法是错误的，造成错误的原因是提取公因式没有提 取完整； 1 2 456789.1041213115617181920 返回首页 2)请你给出该多项式的正确的因式分解过程 解：原式=4mx2-16my2 =4m(x2-4y2） =4m(x+2y)x-2y) 123456789.1041213115617181920 返回首页期 末复 习 期末复习5　分式与分式方程 1 基础过关 1. 下列代数式中是分式的是(　C　) A. 2. 无论a取何值,下列分式总有意义的是(　B　) A. C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 3. 若把分式 中的m和n同时扩大为原来的2倍,则分式的值(　D　) A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 保持不变 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 4. 下列分式中,不是最简分式的是(　B　) A. C. D. 5. 计算 的结果等于(　A　) A. 3 B. x C. B A 6. 分式方程 的解是(　D　) A. 3 B. 2 C. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 7. 分式 的最简公分母是 　18a2b2　.  8. 计算 .  9. 为改善居住环境,某村拟在村后荒山上种植m棵树,原计划每天种植a棵,由于志愿者的支持,实际每日比原计划多种20棵,实际比计划提前 　 　天完成任务.  18a2b2 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 10. 小丽与小明为艺术节做小红花,小明比小丽每小时多做2朵.已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等,小明、小丽每小时各做小红花多少朵?设小丽每小时做小红花x朵,根据题意,列方程为 　 　.  ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 11. 计算: (1) ÷(x－2); 解:原式＝ ＝ . 解:原式＝ ＝ . (2) ; 解:原式＝ ＝ ＝ . 解:原式＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 (3) ; 解:原式＝ ＝ ＝－ ＝－ . 解:原式＝ ＝ ＝－ ＝－ . (4) . 解:原式＝ ＝ ＝x－1. 解:原式＝ ＝ ＝x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 12. 解分式方程: (1) ; 解:方程两边都乘(x＋3)(x－1),得 2(x－1)＝x＋3. 解这个方程,得x＝5. 经检验,x＝5原方程的根. 解:方程两边都乘(x＋3)(x－1),得 2(x－1)＝x＋3. 解这个方程,得x＝5. 经检验,x＝5原方程的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 (2) . 解:方程两边都乘2(x－1),得 2＋2x－2＝3. 解这个方程,得x＝ . 经检验,x＝ 是原方程的根. 解:方程两边都乘2(x－1),得 2＋2x－2＝3. 解这个方程,得x＝ . 经检验,x＝ 是原方程的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 13. 先化简,再求值: ,其中a＝－2. 解:原式＝ ＝ ＝ . 当a＝－2时,原式＝ ＝－2. 解:原式＝ ＝ ＝ . 当a＝－2时,原式＝ ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 14. 某学校八年级阅读兴趣A组和B组的同学各承担整理2 400本图书归档的任务.A组同学完成任务比B组同学完成任务多用5 h,B组同学平均每小时整理图书的数量是A组同学平均每小时整理图书数量的1.5倍.求B组同学用多少小时完成任务. 解:设B组同学用x h完成任务,则A组同学用(x＋5)h完成任务. 根据题意,得 . 解:设B组同学用x h完成任务,则A组同学用(x＋5)h完成任务. 根据题意,得 . 解得x＝10. 经检验,x＝10是所列方程的根,且符合题意. 答:B组同学用10 h完成任务. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 能力提升 15. 解分式方程 时,去分母后得到的方程正确的是(　C　) A. x－2x＋1＝x－1 B. 2x－4x＋2＝x－1 C. 2x＋4x－2＝x－1 D. x＋2x－1＝x－1 16. 若□÷ ,则□中应填(　C　) A. C. C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 17. 已知 ＝3,则  　　.  18. 若关于x的分式方程 ＝1有增根,则m的值是 　3　.  19. 若关于 的解为正数,则t的取值范围为 　t>－12且t≠－.  3 t>－12且t≠－ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 20. 先化简: ,再从－2,0,1,2中选取一个适合的数作为a的值代入求值. 解:原式＝ . 根据题意,得a≠1且a≠－2. 当a＝0时,原式＝ ＝－1; 当a＝2时,原式 ＝0. 解:原式＝ . 根据题意,得a≠1且a≠－2. 当a＝0时,原式＝ ＝－1; 当a＝2时,原式 ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 21. 夏天来到,天气较为炎热,小明的妈妈去商场购买一些冰淇淋,在购买时发现B种冰淇淋的单价比A种冰淇淋的单价高60%,用160元购买B种冰淇淋的个数比用160元购买A种冰淇淋的个数少12. (1)A,B两种冰淇淋的单价各是多少元? 解:(1)设A种冰淇淋的单价是x元,则B种冰淇淋的单价是(1＋60%)x元. 根据题意,得 ＋12. 解:(1)设A种冰淇淋的单价是x元,则B种冰淇淋的单价是(1＋60%)x元. 根据题意,得 ＋12. 解得x＝5. 经检验,x＝5是所列方程的根,且符合题意. (1＋60%)×5＝8. 答:A种冰淇淋的单价是5元,B种冰淇淋的单价是8元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 (2)现要购买A,B两种冰淇淋共45个,且购买的总费用不超过280元,则至多购买多少个B种冰淇淋? 解:(2)设购买m个B种冰淇淋,则购买(45－m)个A种冰淇淋. 根据题意,得8m＋5(45－m)≤280. 解得m≤ . 答:至多购买18个B种冰淇淋. 解:(2)设购买m个B种冰淇淋,则购买(45－m)个A种冰淇淋. 根据题意,得8m＋5(45－m)≤280. 解得m≤ . 答:至多购买18个B种冰淇淋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 思维拓展 22. 阅读:如果两个分式A与B的和为常数k,且k为正整数,则称A与B互为“关联分式”,常数k称为“关联值”.如分式A＝ ,B＝ ,A＋B＝ ＝1,则A与B互为“关联分式”,“关联值”k＝1. (1)若分式A＝ ,B＝ ,判断A与B是否互为“关联分式”.若不是,请说明理由;若是,请求出“关联值”k. 解:(1)A与B互为“关联分式”. A＋B＝ ＝2. ∴A与B互为“关联分式”,“关联值”k＝2. 解:(1)A与B互为“关联分式”. A＋B＝ ＝2. ∴A与B互为“关联分式”,“关联值”k＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 (2)已知分式C＝ ,D＝ ,C与D互为“关联分式”,且“关联值”k＝2. ①M＝ 　－5x－15　(用含x的式子表示);  ②若x为正整数,且分式D的值为正整数,则x的值等于 　2　.  －5x－15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 (3)若分式E＝ ,F＝ (a,b为整数且c＝a＋b),E与F互为“关联分式”,且“关联值”k＝5,求c的值. 解:(3)∵E与F互为“关联分式”, ∴E＋F＝ ＝ ＝5, 化简得(5＋c－a－b)x＋ab－5c＝5x－20. ∵c＝a＋b, 解:(3)∵E与F互为“关联分式”, ∴E＋F＝ ＝ ＝5, 化简得(5＋c－a－b)x＋ab－5c＝5x－20. ∵c＝a＋b, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 ∴5x＋ab－5(a＋b)＝5x－20. ∴ab－5(a＋b)＝－20. ∴a＝ . ∵a,b为整数, ∴b－5一定是5的约数. ∴b－5＝－1或－5或1或5. ∴5x＋ab－5(a＋b)＝5x－20. ∴ab－5(a＋b)＝－20. ∴a＝ . ∵a,b为整数, ∴b－5一定是5的约数. ∴b－5＝－1或－5或1或5. 解得b＝4或0或6或10. ∴a＝0或4或10或6. ∴a＋b＝4或16. ∴c的值为4或16. 解得b＝4或0或6或10. ∴a＝0或4或10或6. ∴a＋b＝4或16. ∴c的值为4或16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 返回首页 $$期 末复 习 期末复习6　平行四边形 1 基础过关 1. 若一个多边形的内角和比它的外角和大360°,则该多边形的边数为 (　C　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 2. 下列说法错误的是(　D　) A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形 3. 如图,在□ABCD中,若AD＝12,AC＝26,∠ADB＝90°,则BD的长为(　B　) A. 5 B. 10 C. 2 D. 26 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 4. 在□ABCD中,AB＝4,BC＝5,若∠ABC的平分线交AD于点E,则DE的长为(　D　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点.若AB＝6,AD＝8,则OE的长为(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 6. 在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,若DE＝2,则AC的长是 　4　.  7. 如图,在四边形ABCD中,AO＝OC,BD＝12 cm,则当OB＝ 　6　cm时,四边形ABCD是平行四边形.  4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 8. 如图,两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD. 若AD＝8 cm,则BC＝ 　8　cm.  8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 9. 如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F. 若□ABCD的面积为80,则图中阴影部分的面积是 　40　.  40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 10. 如图,在□ABCD中,E,G,H,F分别是AB,BC,CD,DA上的点,且BE＝DH,AF＝CG. 求证:EF＝HG. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB＝CD,∠A＝∠C. ∵BE＝DH, ∴AB－BE＝CD－DH,即AE＝CH. ∵AF＝CG, ∴△AEF≌△CHG(SAS). ∴EF＝HG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 11. 如图,点E,F在□ABCD的边BC,AD上,BE＝ BC,FD＝ AD,连接BF,DE. 求证:四边形BEDF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC. ∵BE＝ BC,FD＝ AD, ∴BE＝DF. ∵DF∥BE, ∴四边形BEDF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC,AD∥BC. ∵BE＝ BC,FD＝ AD, ∴BE＝DF. ∵DF∥BE, ∴四边形BEDF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 12. 已知一个多边形的边数为n. (1)若n＝8,求这个多边形的内角和; 解:(1)多边形的内角和＝(8－2)×180°＝1 080°. 答:这个多边形的内角和为1 080°. 解:(1)多边形的内角和＝(8－2)×180°＝1 080°. 答:这个多边形的内角和为1 080°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°,求n的值. 解:(2)设这个多边形的每个外角为x°,则每个内角为(3x＋20)°. 依题意,得3x＋20＋x＝180. 解得x＝40. ∴n＝360°÷40°＝9. 答:n的值为9. 解:(2)设这个多边形的每个外角为x°,则每个内角为(3x＋20)°. 依题意,得3x＋20＋x＝180. 解得x＝40. ∴n＝360°÷40°＝9. 答:n的值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 13. (2024湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,  　①或②　.  请从“①∠B＝∠AED;②AE＝BE,AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解答下列问题: ①或② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (1)求证:四边形BCDE为平行四边形; 解:(1)选择①时,证明如下: ∵∠B＝∠AED, ∴BC∥DE. ∵AB∥CD, ∴四边形BCDE为平行四边形. 解:(1)选择①时,证明如下: ∵∠B＝∠AED, ∴BC∥DE. ∵AB∥CD, ∴四边形BCDE为平行四边形. 选择②时,证明如下: ∵AE＝BE,AE＝CD, ∴BE＝CD. ∵AB∥CD, ∴四边形BCDE为平行四边形. 选择②时,证明如下: ∵AE＝BE,AE＝CD, ∴BE＝CD. ∵AB∥CD, ∴四边形BCDE为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)若AD⊥AB,AD＝8,BC＝10,求线段AE的长. 解:(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形, ∴DE＝BC＝10. ∵AD⊥AB, ∴∠A＝90°. 又∵AD＝8, ∴AE＝ ＝6. 即线段AE的长为6. 解:(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形, ∴DE＝BC＝10. ∵AD⊥AB, ∴∠A＝90°. 又∵AD＝8, ∴AE＝ ＝6. 即线段AE的长为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 能力提升 14. (2024福州闽侯期中)在平面直角坐标系中, □ABCD的顶点A,B,C的 坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是(　A　) A. (－3,3) B. (3,－3) C. (7,3) D. (－5,3) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 15. (2024河北)直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示,则α＋β＝(　B　) A. 115° B. 120° C. 135° D. 144° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 16. 如图,在□ABCD中,点E在BC上运动,连接AE,DE,以AE,DE为邻边作□AEDF,当点E从B向C运动时, □AEDF的面积将(　D　) A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大再减小 D. 不变 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 17. (2024浙江)尺规作图问题: 如图1,点E是□ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE. 用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点. 小明:如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE. 小明:小丽,你的作法有问题. 小丽:哦……我明白了! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (1)证明:AF∥CE; (1)证明:根据小明的作法知,CF＝AE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∵CF＝AE, ∴四边形AFCE是平行四边形. ∴AF∥CE. (1)证明:根据小明的作法知,CF＝AE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∵CF＝AE, ∴四边形AFCE是平行四边形. ∴AF∥CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)指出小丽作法中存在的问题. 解:(2)以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,这两个交点中只有一个符合题意. 解:(2)以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,此时可能会有两个 交点,这两个交点中只有一个符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 18. 如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点M,BD＝12,AC＝16,E,F分别为AB,CD的中点,求EF的长. 解:如图,取边BC的中点为点G,连接EG交BD于点N,连接FG. ∵E是AB的中点,G是BC的中点, ∴EG∥AC,EG＝ AC＝8. 同理,FG∥BD,FG＝ BD＝6. 解:如图,取边BC的中点为点G,连接EG交BD于点N,连接FG. ∵E是AB的中点,G是BC的中点, ∴EG∥AC,EG＝ AC＝8. 同理,FG∥BD,FG＝ BD＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 ∵AC⊥BD,∴∠AMD＝90°. ∵EG∥AC,∴∠END＝∠AMD＝90°. ∵FG∥BD,∴∠EGF＝∠END＝90°. 由勾股定理,得 EF＝ ＝10. ∵AC⊥BD,∴∠AMD＝90°. ∵EG∥AC,∴∠END＝∠AMD＝90°. ∵FG∥BD,∴∠EGF＝∠END＝90°. 由勾股定理,得 EF＝ ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 思维拓展 19. 【材料阅读】小明偶然发现线段MN的端点M的坐标为(1,2),端点N的坐标为(3,4),则这条线段MN中点的坐标为(2,3).通过进一步探究发现,在平面直角坐标系中,以任意点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段中点的坐标为 . (1)【知识运用】如图, □OEFG的对角线相交于点H, 点E在x轴上,O为坐标原点,点F的坐标为(4,3),则 点H的坐标为 　 　;  ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)【能力拓展】在平面直角坐标系中,有A(－1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A,B,C构成平行四边形,求点D的坐标. 解:设点D的坐标为(m,n). 当BC为对角线时,线段BC的中点坐标为 . ∵点A的坐标为(－1,2), ∴ ＝2, . 解:设点D的坐标为(m,n). 当BC为对角线时,线段BC的中点坐标为 . ∵点A的坐标为(－1,2), ∴ ＝2, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 解得m＝5,n＝3. ∴点D的坐标为(5,3). 当AC为对角线时,同理求得点D的坐标为(－3,5); 当AB为对角线时,同理求得点D的坐标为(1,－1). ∴点D的坐标为(5,3)或(－3,5)或(1,－1). 解得m＝5,n＝3. ∴点D的坐标为(5,3). 当AC为对角线时,同理求得点D的坐标为(－3,5); 当AB为对角线时,同理求得点D的坐标为(1,－1). ∴点D的坐标为(5,3)或(－3,5)或(1,－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 20. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠B＝45°,AB＝6 ,点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点C匀速运动,到达点C时停止运动,G,H分别是AF,DF的中点,连接GH. 设点F运动的时间为t s. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (1)判断GH与AD的位置关系和数量关系,并求出GH的长; 解:(1)∵G,H分别是AF,DF的中点, ∴GH∥AD,且GH＝ AD. ∵AD⊥BC, ∴∠ADB＝90°. ∵∠B＝45°,AB＝6 , ∴AD＝6. ∴GH＝3. 解:(1)∵G,H分别是AF,DF的中点, ∴GH∥AD,且GH＝ AD. ∵AD⊥BC, ∴∠ADB＝90°. ∵∠B＝45°,AB＝6 , ∴AD＝6. ∴GH＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 (2)若CD＝8,求点F从点A向点C匀速运动的过程中,线段GH所扫过的区域的面积. 解:(2)由题意,得线段GH所扫过的区域是以 AC, AD为边的平行四边形. ∵AD⊥BC,且AD＝6,CD＝8, ∴AC＝10. ∴平行四边形的两边分别为5和3. 解:(2)由题意,得线段GH所扫过的区域是以 AC, AD为边的平行四 边形. ∵AD⊥BC,且AD＝6,CD＝8, ∴AC＝10. ∴平行四边形的两边分别为5和3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 当点F从点A运动到点C时,线段GH扫过的区域形成的平行四边形的高为 CD. ∵CD＝8, ∴ CD＝4. ∴线段GH所扫过的区域的面积＝GH× CD＝3×4＝12. 当点F从点A运动到点C时,线段GH扫过的区域形成的平行四边形的高 为 CD. ∵CD＝8, ∴ CD＝4. ∴线段GH所扫过的区域的面积＝GH× CD＝3×4＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 返回首页 $$期 末复 习 期末综合练习1 1 一、选择题 1. 下列标志图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　A　) 2. 已知a>b,下列不等式中,正确的是(　B　) A. a＋3>b＋4 B. a－1>b－1 C. 2a<2b D. －2a>－2b A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 3. 如图,在□ABCD中,若∠A＝40°,则∠B的度数为(　D　) A. 40° B. 45° C. 60° D. 140° 4. 若分式 在实数范围内有意义,则实数a的取值范围是(　B　) A. a≥－2 B. a≠－2 C. a<－2 D. a＝2 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 5. 已知一个不等式的解集如图所示,则这个不等式可以是(　C　) A. x－1>0 B. x－1<0 C. x－1≥0 D. x－1≤0 6. 如图,△ABC沿着由点B到点E的方向平移到△DEF的位置,已知BC＝8,EC＝5,那么平移的距离为(　D　) A. 13 B. 8 C. 5 D. 3 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 7. 下列各式分解因式正确的是(　D　) A. x3＋x＝x(x2－1) B. x2＋y2＝(x＋y)(x－y) C. (a＋4)(a－4)＝a2－16 D. x2－x＋ 8. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E. 若BC＝8,DE＝3,则△BCE的面积为(　C　) A. 11 B. 8 C. 12 D. 3 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 9. 某校为进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批篮球和足球.已知购买足球数量是篮球的2倍,购买足球用了4 000元,购买篮球用了2 800元,篮球的单价比足球的单价贵16元.若可列方程 －16表示题中的等量关系,则方程中x表示的是(　D　) A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 10. 如图,在长方形纸片ABCD中,AB＝2,AD＝4,将该纸片ABCD沿对角线AC折叠,边AD的对应边AD'与BC交于点E,则重叠部分△ACE的面积是(　A　) A. C. 5 D. 5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 二、填空题 11. 化简  　　.  12. 如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE＝BF,若利用“HL”证明△DEC≌△BFA,则需要添加的条件是 　AB＝CD　.  AB＝CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 13. 一个长和宽分别为a,b的长方形如图所示,它的周长为14,面积为10,则a2b＋ab2的值为 　70　.  70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 14. 如图,点A,B在数轴上所表示的数分别是x,x＋1,点C在线段AB上(点C不与点A,B重合).若点C在数轴上表示的数是2x,则x的取值范围是 　0<x<1　.  0<x<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 15. 如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,若△ABD的周长为16 cm,则△DOE的周长是 　8　cm.  8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 16. 某一次函数的图象如图所示.已知点A(－3m－2,y1),B(4,y2)是该函数在第一象限中图象上的两点,若y1>y2,则m的取值范围是 　－2<m<－.  －2<m<－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题 17. 因式分解: (1)a3－9a; 解:原式＝a(a2－9) ＝a(a＋3)(a－3). (2)3x3－6x2y＋3xy2. 解:原式＝3x(x2－2xy＋y2) ＝3x(x－y)2. 解:原式＝a(a2－9) ＝a(a＋3)(a－3). 解:原式＝3x(x2－2xy＋y2) ＝3x(x－y)2. 返回首页 18. 解下列方程与不等式组: (1) ; 解:去分母,得3－2x＝x－2. 解得x＝ . 经检验,x＝ 是分式方程的根. 解:去分母,得3－2x＝x－2. 解得x＝ . 经检验,x＝ 是分式方程的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2) 解:解不等式①,得x≥2. 解不等式②,得x<4. ∴原不等式组的解集为2≤x<4. 解:解不等式①,得x≥2. 解不等式②,得x<4. ∴原不等式组的解集为2≤x<4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 19. 如图,△ABC是等腰三角形,AB＝AC,请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形,并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法) 解:作图如图.理由如下: 由作图可知AD⊥BC于点D. 又∵AB＝AC,AD＝AD, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). 解:作图如图.理由如下: 由作图可知AD⊥BC于点D. 又∵AB＝AC,AD＝AD, ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 20. 先化简,再求值: ,其中a＝ ＋1. 解:原式＝ ＝ ＝ . 当a＝ ＋1时,原式＝ . 解:原式＝ ＝ ＝ . 当a＝ ＋1时,原式＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 21. 如图,在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(4,0),O(0,0). (1)画出将△ABO向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1; 解:(1)如图,△A1B1O1即为所求. 解:(1)如图,△A1B1O1即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)若将(1)中△A1B1O1看成是△ABO经过一次平移得到的,则平移的距离是 　2 　;  (3)画出△ABO关于点O成中心对称的图形△A2B2O. 解:(3)如图,△A2B2O即为所求. 2 解:(3)如图,△A2B2O即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 22. 某校举行书法比赛活动,购买A,B两种毛笔作为奖品,A,B两种毛笔的单价分别为15元和10元,根据比赛设奖情况,需要购买两种毛笔共40支,且学校决定购买毛笔的资金不能超过500元. (1)求最多能购买A种毛笔多少支. 解:(1)设购买A种毛笔x支,则购买B种毛笔(40－x)支. 根据题意,得 15x＋10(40－x)≤500, 解得x≤20. 答:最多能购买A种毛笔20支. 解:(1)设购买A种毛笔x支,则购买B种毛笔(40－x)支. 根据题意,得 15x＋10(40－x)≤500, 解得x≤20. 答:最多能购买A种毛笔20支. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)若购买B种毛笔的数量要小于A种毛笔数量的2倍,则购买这两种毛笔各多少支时,费用最少?最少费用是多少? 解:(2)设购买A,B两种毛笔共花费W元,则W＝15x＋10(40－x)＝5x＋ 400. 由题意,得40－x<2x. 解得x> . ∵k＝5>0, ∴W随x的增大而增大,当x取最小时,花费最少. 答:购买A种毛笔14支,B种毛笔26支时,花费最少,此时的花费是470元. 又∵x> 且x为整数, ∴当x＝14时,W最小＝5×14＋400＝470(元). 答:购买A种毛笔14支,B种毛笔26支时,花费最少,此时的花费是470元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 23. 在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,∠ACB＝30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E. (1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的度数. 解:(1)∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转α得到△DEC,点E恰好在AC上, ∴CA＝CD,∠ECD＝∠BCA＝30°,∠DEC＝∠ABC＝90°. ∴∠CAD＝∠CDA＝ ×(180°－30°)＝75°. ∴∠ADE＝90°－75°＝15°. 解:(1)∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转α得到△DEC,点E恰好在AC 上, ∴CA＝CD,∠ECD＝∠BCA＝30°,∠DEC＝∠ABC＝90°. ∴∠CAD＝∠CDA＝ ×(180°－30°)＝75°. ∴∠ADE＝90°－75°＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)若α＝60°,点F是边AC的中点,连接BF,BE,DF,如图2.求证:四边形BEDF是平行四边形. (2)证明:∵点F是边AC的中点, ∴BF＝CF＝ AC. ∵∠ACB＝30°,∠ABC＝90°, ∴AB＝ AC,∠BAC＝60°. ∴BF＝AB＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC, ∴∠BCE＝∠ACD＝60°,CB＝CE,DE＝AB,CA＝CD. ∴DE＝BF,△BCE为等边三角形. ∴BE＝CB. ∴CF＝AB,∠FCD＝∠BAC,CD＝AC, ∴△CFD≌△ABC(SAS). ∴DF＝CB. ∴DF＝BE. 又∵BF＝DE, ∴四边形BEDF是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 24. 阅读理解: 材料一:对于任意实数a,我们规定[a]表示不大于a的最大整数.例如: [－1.4]＝－2,[5.7]＝5,[3]＝3. 材料二:对于任意实数x,y,我们定义一种新运算M(x,y)＝2x＋3y,等式右边是通常的四则运算,由这种运算得到的数我们称之为线性数,记为M(x,y),其中x,y叫做线性数的一个数对. (1)[π]＝ 　3　,M(3,4)＝ 　18　;  3 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (2)如果 ＝5,求满足条件的所有整数x; 解:(2)根据题意,得 5≤ <6. 解得13≤x<16. ∴满足条件的所有整数为13,14,15. 解:(2)根据题意,得 5≤ <6. 解得13≤x<16. ∴满足条件的所有整数为13,14,15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 (3)若线性数M 的值为1,求x的值. 解:(3)根据题意,得 [5x－2]－3x＝1. ∴[5x－2]＝1＋3x. ∴1＋3x≤5x－2<2＋3x. 解得 ≤x<2. ∵1＋3x是整数, ∴x＝ . 解:(3)根据题意,得 [5x－2]－3x＝1. ∴[5x－2]＝1＋3x. ∴1＋3x≤5x－2<2＋3x. 解得 ≤x<2. ∵1＋3x是整数, ∴x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 返回首页 25. 在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,作∠ABC的平分线交AC于点D,∠MDN＝135°,将∠MDN绕点D旋转,使∠MDN的两边交直线BA于点E,交直线BC于点F. (1)当∠MDN绕点D旋转到如图1的位置时,请直接写出线段AE,CF,AD之间的数量关系. 解:(1)AE＋CF＝AD. 解:(1)AE＋CF＝AD. 25 返回首页 解析:如图1,作DH⊥BC于点H. ∵AB＝AC,∠A＝90°, ∴∠ABC＝∠C＝45°. ∵∠A＝∠DHB＝90°, 25 返回首页 ∴∠ADH＝360°－90°－90°－45°＝135°. ∵∠EDF＝135°, ∴∠ADH＝∠EDF. ∴∠ADE＝∠HDF. ∵BD平分∠ABC,DA⊥AB,DH⊥BC, ∴DA＝DH. ∴△DAE≌△DHF(ASA). ∴AE＝HF. ∵∠C＝∠HDC＝45°, ∴DH＝CH＝AD. ∴AE＋CF＝HF＋CF＝CH＝AD. 25 返回首页 (2)当∠MDN绕点D旋转到如图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请写出正确的结论,并说明理由. 解:(2)经旋转后,(1)中的结论不成立,正确的结论应为CF－AE＝AD. 理由如下:如图2,作DG⊥BC于点G. 解:(2)经旋转后,(1)中的结论不成立,正确的结论应为CF－AE＝AD. 理由如下:如图2,作DG⊥BC于点G. ∵∠BAC＝90°,∴DA⊥BA. ∵BD平分∠ABC,∴DA＝DG. 25 返回首页 ∵AB＝AC,∠BAC＝90°, ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∴∠ADG＝360°－90°－90°－45°＝135°. ∵∠MDN＝135°, ∴∠ADE＝∠GDF＝135°－∠ADF. 又∵∠DAE＝∠DGF＝90°, ∴△DAE≌△DGF(ASA). ∴AE＝FG. ∵∠DCG＝45°,∠DGC＝90°, ∴∠DCG＝∠GDC＝45°. ∴GC＝DG＝AD. ∵CF－FG＝GC,∴CF－AE＝AD. 25 返回首页 (3)当BC＝2＋ ,∠CDF＝15°时,求出线段CF的长度. 解:(3)①当点F在点C左侧时,如答图3－1,作DH⊥BC于点H. 由(1)可知DA＝DH＝CH. 设DA＝DH＝CH＝a, 则CD＝ a,AB＝AC＝BH＝a＋ a. 解:(3)①当点F在点C左侧时,如答图3－1,作DH⊥BC于点H. 由(1)可知DA＝DH＝CH. 设DA＝DH＝CH＝a, 则CD＝ a,AB＝AC＝BH＝a＋ a. ∴2a＋ . ∴a＝1. ∴AD＝1. ∵∠CDF＝15°, 25 返回首页 ∴∠ADE＝180°－135°－15°＝30°. ∵∠A＝90°,∴DE＝2AE. 在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE2＋AD2＝DE2, 即AE2＋12＝(2AE)2. 解得AE＝ . ∵AE＋CF＝AD,∴CF＝1－ . 25 返回首页 ②当点F在点C右侧时,如答图3－2,作DH⊥BC于点H. 由①可知AD＝DH＝CH＝1. ∵∠CDF＝15°,∴∠CFD＝30°. ∵∠DHF＝90°,∴DF＝2DH＝2. ∴FH＝ . ∴CF＝FH－CH＝ －1. 综上所述,线段CF的长度为1－ －1. 由①可知AD＝DH＝CH＝1. ∵∠CDF＝15°,∴∠CFD＝30°. ∵∠DHF＝90°,∴DF＝2DH＝2. ∴FH＝ . ∴CF＝FH－CH＝ －1. 综上所述,线段CF的长度为1－ －1. 25 返回首页 $$