18.2.1 矩形第2课时（课件）-2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.1 矩形第2课时　矩形的判定 第十八章 平行四边形 第2课时　矩形的判定 探究与应用 课堂小结与检测 第十八章　平行四边形 全品初中 活动1　对角线相等的平行四边形是矩形的探究以及应用 [推理证明] 已知:如图18-2-10,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB.求证:▱ABCD是矩形. 图18-2-10 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC. 在△ABC和△DCB中, 探究与应用 ∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°, ∴∠ABC=90°, ∴▱ABCD是矩形. 图18-2-10 探究与应用 矩形的判定的误区 对角线相等的四边形不一定是矩形,只有对角线互相平分且相等的四边形才是矩形. 辨 易错 探究与应用 [概括定理] 矩形的判定定理:　　　　相等的　　　　　　是矩形.  对角线 平行四边形 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)如图18-2-11,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数. 图18-2-11 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD. 又OA=OD,∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90°. 又∠OAD=50°,∴∠OAB=40°. 探究与应用 变式 如图18-2-12,在▱ABCD中,∠1=∠2,则此时四边形ABCD是矩形吗?为什么? 图18-2-12 解:四边形ABCD是矩形.理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=AC,OB=BD. ∵∠1=∠2,∴OA=OB,∴AC=BD, ∴▱ABCD是矩形. 探究与应用 拓展 已知:如图18-2-13,四边形ABCD是平行四边形,延长BA至点E,使AE=AB,连接CE,DE,AC,CE与AD相交于点F. (1)求证:四边形ACDE是平行四边形; 图18-2-13 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD. 又∵AE=AB,∴AE=CD. 又∵AE∥CD, ∴四边形ACDE是平行四边形. 探究与应用 (2)若∠AFC=2∠B,求证:四边形ACDE是矩形. 图18-2-13 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ADC=∠B. ∵∠AFC=∠ADC+∠FCD,∠AFC=2∠B, ∴∠ADC=∠FCD,∴CF=DF. 又∵在▱ACDE中,AD=2DF,EC=2CF, ∴AD=EC,∴▱ACDE是矩形. 探究与应用 活动2　有三个角是直角的四边形是矩形的探究以及应用 [猜想证明] 前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角.它的逆命题成立吗?即四个角都是直角的四边形是矩形吗?进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形?为什么?试着证明一下. 解:逆命题成立.即四个角都是直角的四边形是矩形. 至少有三个角是直角的四边形是矩形.因为由四边形的内角和定理可知,这时第四个角也是直角.证明如下: 探究与应用 已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. 证明:∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°, ∴AD∥BC,AB∥DC(同旁内角互补,两直线平行), ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90°, ∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 探究与应用 [归纳定理] 矩形的判定定理:有　　　　　　　的四边形是矩形.  三个角是直角 探究与应用 [应用迁移] 例2 (教材补充例题)如图18-2-14,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BC于点E,AD平分△ABC的外角∠FAC,CD⊥AD于点D.求证:四边形AECD是矩形. 图18-2-14 证明:∵AB=AC,AE⊥BC, ∴∠AEC=90°,AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAC. ∵AD平分∠FAC,∴∠DAC=∠FAC, 探究与应用 ∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=∠BAC+∠FAC=(∠BAC+∠FAC)=×180°=90°. ∵CD⊥AD, ∴∠ADC=90°, ∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°, ∴四边形AECD是矩形. 图18-2-14 探究与应用 变式 如图18-2-15,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形. 图18-2-15 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°. ∵BH,CH分别平分∠ABC,∠BCD, ∴∠HBC=∠ABC,∠HCB=∠BCD, ∴∠HBC+∠HCB=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°, 探究与应用 ∴∠H=90°. 同理可得∠AEB=∠F=90°, ∴∠HEF=∠AEB=90°, ∴四边形EFGH是矩形. 图18-2-15 探究与应用 [本课时认知逻辑] 四边形 对角线相等→矩形 有一个角是直角→矩形 有三个角是直角→矩形 平行四边形 课堂小结与检测 [检测] 1.如图18-2-16,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,若添加一个条件,使四边形ABCD是矩形,甲、乙两名同学给出的条件如下: 甲同学给出的条件是AD∥BC; 乙同学给出的条件是AB∥CD. 图18-2-16 课堂小结与检测 对于甲、乙两名同学给出的条件,下列说法中正确的是 (　　) A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 图18-2-16 B 课堂小结与检测 2.如图18-2-17,工人师傅砌门时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即检验门框是不是矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC,BD的长度,然后看它们是否相等就可以了. (1)当AC　　　　(填“=”或“≠”)BD时, 门框符合要求; (2)这种做法的依据是            . 图18-2-17 = 平行四边形是矩形 对角线相等的 课堂小结与检测 3.如图18-2-18,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,且DF=BE,连接BF.求证:四边形BFDE是矩形. 图18-2-18  证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,即BE∥DF. 又∵BE=DF, ∴四边形BFDE是平行四边形. 又∵DE⊥AB, 即∠DEB=90°, ∴四边形BFDE是矩形. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$