18.2.1 矩形第1课时（课件）-2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.2.1 矩形　第1课时　矩形的性质 第十八章 平行四边形 18.2.1　第1课时　矩形的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第十八章　平行四边形 全品初中 活动1　理解矩形的定义,能证明矩形的性质,并运用性质进行计算和证明 [认识概念] 有一个角是　　　　的平行四边形叫做矩形.  直角 探究与应用 矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形,且相对的两个等腰三角形全等. 记 重点 探究与应用 [操作尝试] 测量身边的矩形(如教科书封面、书桌面、地砖等)的四个角的度数和对角线的长度,并记录测量结果. [猜想证明] 根据测量结果,你有什么猜想?请进行证明. 解:猜想1:矩形的四个角都是直角; 猜想2:矩形的对角线相等. 探究与应用 已知:如图①,已知四边形ABCD是矩形,∠B=90°. 求证:∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D,∠C=∠A,AB∥DC, ∴∠B+∠C=180°. 又∵∠B=90°,∴∠C=90°, ∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°. 探究与应用 已知:如图②,已知四边形ABCD是矩形,对角线AC与DB相交于点O. 求证:AC=DB. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. 在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB,∴AC=DB. 探究与应用 [概括新知] 矩形的四个角都是　　　　;矩形的对角线　　　　.  直角 相等 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)如图18-2-1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长. 图18-2-1 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC与BD相等且互相平分, ∴OA=OB. 又∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形, ∴OA=AB=4,∴AC=BD=2OA=8. 探究与应用 矩形的性质的分类归纳 (1)从边上看,矩形的对边平行且相等,邻边互相垂直; (2)从角上看,矩形的四个角都是直角; (3)从对角线上看,矩形的对角线互相平分且相等. 记 重点 探究与应用 变式1 如图18-2-2,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AB=5 cm,∠BOC=120°,求AD的长. 图18-2-2 解:∵∠BOC=120°, ∴∠AOB=180°-120°=60°. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC与BD相等且互相平分, ∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形, ∴OB=AB=5 cm, 探究与应用 ∴BD=2OB=10 cm, 图18-2-2 ∴AD==5(cm). 探究与应用 变式2 已知:如图18-2-3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,BC=4. (1)求证:∠AOD=120°; 图18-2-3 解:证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC与BD相等且互相平分, ∴BO=CO,∴∠OBC=∠ACB=30°, ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠ACB=120°, ∴∠AOD=∠BOC=120°. 探究与应用 (2)求AC的长. 图18-2-3 解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°. ∵∠ACB=30°,∴AB=AC,即AC=2AB. ∵AB2+BC2=AC2,BC=4, ∴AB2+42=(2AB)2,∴AB=, ∴AC=. 探究与应用 矩形性质的应用 因为矩形的每个内角都是90°,所以通常将矩形问题转化为直角三角形问题,利用勾股定理等知识解决. 得 锦囊 探究与应用 活动2　探究直角三角形斜边上中线的性质以及应用 [操作尝试] 如图18-2-4,一张矩形纸片ABCD,画出两条对角线AC,BD,且交点为O,沿着对角线AC剪去一半. 图18-2-4 探究与应用 1.“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用 此性质与“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”都是解决线段倍分关系的重要依据,但后者只在特殊的直角三角形中才成立,而“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”适用于所有的直角三角形,更具一般性. 得 锦囊 探究与应用 2.与直角三角形斜边上的中线有关的两个正确命题 (1)直角三角形中,若斜边上一点到两个顶点的距离相等,则这个点到三个顶点的距离都相等. (2)三角形中,若一边上的中线等于这一边的一半,则这个三角形是直角三角形. 得 锦囊 探究与应用 [引发思考] 我们观察图中的Rt△ABC,在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,则BO与AC有什么关系? 图18-2-4 解:根据矩形的性质“对角线互相平分且相等”,可以得到BO=BD=AC. 探究与应用 [概括新知] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的　　　　.  一半 探究与应用 [理解应用] 例2 (教材补充例题)如图18-2-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CD是斜边AB上的中线,AC=4,CD=3.求直角边BC的长. 图18-2-5 解:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, ∴AB=2CD=6. 由勾股定理,得BC==2. 探究与应用 变式 如图18-2-6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点,若AB=AO,求∠ABO的度数. 图18-2-6 解:在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,O是AC的中点, ∴BO=AC=AO. 又∵AB=AO,∴BO=AB=AO, ∴△ABO为等边三角形, ∴∠ABO=60°. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 平行四边形 有一个角 是直角 矩形 性质 转化 对称性 角 对角线 直角三角形 等腰三角形 课堂小结与检测 [检测] 1.已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,则下列结论不一定正确的是 (　　) A.AC⊥BD B.AC=BD C.OA=OB D.∠ABC=∠BAD A 课堂小结与检测 2.如图18-2-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若∠OAD=40°,则∠COD的度数为 (　　) A.20° B.40° C.80° D.100° 图18-2-7 C 课堂小结与检测 3.如图18-2-8,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,且CD+AB=12,则AB的长为　　　　. 图18-2-8 8 课堂小结与检测 4.如图18-2-9,四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.若AC=EC,求证:四边形BECD为平行四边形. 图18-2-9  证明:∵四边形ABCD为矩形, ∴AB∥CD,AB=CD,∠ABC=90°, ∴CB⊥AE. 又∵AC=EC,∴AB=BE, ∴BE=CD, ∴四边形BECD为平行四边形. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$