第17章勾股定理本章总结提升 课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

本章总结提升 第十七章 勾股定理 本章总结提升 知识结构关系 重点模块总结 综合能力提升 第十七章　勾股定理 全品初中 勾股定理 定理：a2+b2=c2 拼图法 验证 证明方法 直角三角形 边长的计算 应用 勾股定理 的逆定理 逆定理 判断勾股数 判定直角三角形 应 用 定理 逆定理 互逆命题 解析 知识结构关系 例1 学习勾股定理之后,同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法:如图17-T-1①,B是正方形ACDE的边CD上一点,连接AB,得到直角三角形ACB,三边长分别为a,b,c,将△ACB裁剪拼接至△AEF 的位置,如图②所示.该同学用图①、 图②的面积相等证明了勾股定理, 请你写出用该方法证明勾股定理 的过程. 模块1　勾股定理的验证 图17-T-1 解析 重点模块总结 证明:连接BF. 由题意,得正方形ACDE的面积为b2,CD=DE=AC=b,EF=BC=a,AF=AB=c, ∴BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b. ∵∠CAE=90°, ∴∠BAC+∠BAE=90°. 解析 重点模块总结 又∵∠BAC=∠FAE, ∴∠FAE+∠BAE=90°, ∴△BAF为等腰直角三角形, ∴四边形ABDF的面积为 S△ABF+S△BDF=c2+(b-a)(a+b) =c2+(b2-a2). 解析 重点模块总结 ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等, ∴b2=c2+(b2-a2), ∴b2=c2+b2-a2, ∴a2+b2=c2, ∴a2+b2=c2. 解析 重点模块总结 模块2　运用勾股定理进行计算 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 　　　　　,即两直角边的平方和等于　　　　　　.  a2+b2=c2 斜边的平方 解析 重点模块总结 例2 如图17-T-2,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,∠BDE= ∠C,BD=3,CD=1. (1)求证:∠CBD=∠EDA; 解:证明:∵BD⊥AC, ∴∠BDC=∠BDA=90°, ∴∠C+∠CBD=∠EDA+∠BDE=90°. 又∵∠BDE=∠C,∴∠CBD=∠EDA. 图17-T-2 解析 重点模块总结 (2)求AB的长. 图17-T-2 解:设AD=x,则AC=AD+CD=x+1, ∴AB=AC=x+1. 在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2+AD2=AB2,即32+x2=(x+1)2, 解得x=4, ∴AB=x+1=5. 解析 重点模块总结 模块3　利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 如果三角形的三边长a,b,c满足　　　　　,那么这个三角形 是　　　　三角形.  a2+b2=c2 直角 解析 重点模块总结 例3 如图17-T-3,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC交AB于点E,且BE2-AE2=AC2. (1)求证:∠A=90°; 图17-T-3 解:证明:如图,连接CE. ∵D是BC的中点,DE⊥BC, ∴BE=CE. ∵BE2-AE2=AC2,∴CE2-AE2=AC2, ∴CE2=AE2+AC2,∴∠A=90°.  解析 重点模块总结 (2)若AC=3,BD=2.5,求AE的长. 图17-T-3 解:∵D是BC的中点,BD=2.5,∴BC=2BD=5. ∵∠A=90°,AC=3, ∴AB==4. 设BE=CE=x,则AE=4-x. 在Rt△EAC中,由勾股定理,得AE2+AC2=CE2, 即(4-x)2+32=x2, 解得x=,∴AE=4-x=. 解析 重点模块总结 模块4　勾股定理及其逆定理的综合应用 例4 如图17-T-4,在四边形ABCD中,∠B=90°,AC为对角线, DE⊥AC于点E,AB=8,BC=6,CD=2,AD=2,求线段DE的长. 图17-T-4 解析 重点模块总结 解:在Rt△ABC中,∵∠B=90°,AB=8,BC=6, ∴AC==10. ∵CD=2,AD=2, ∴CD2+AD2=(2)2+(2)2=60+40=100=AC2, ∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°. ∵S△ACD=AC·DE=AD·CD, ∴DE==2. 解析 重点模块总结 模块5　勾股定理及其逆定理在实际生活中的应用 例5 如图17-T-5,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中BA=CA.由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水, 决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在 同一条直线上),并新修一条路CH,测得BC =1.5千米,CH=1.2千米,BH=0.9千米. 图17-T-5 解析 重点模块总结 (1)CH是不是从村庄C到河边最近的路?请通过计算加以说明; 图17-T-5 解:是. 在△CHB中,∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25,BC2=2.25, ∴CH2+BH2=BC2, ∴∠CHB=90°,即CH⊥AB, ∴CH是从村庄C到河边最近的路. 解析 重点模块总结 (2)求新路CH比原路CA少多少千米. 图17-T-5 解:设CA=x千米,则BA=x千米,AH=(x-0.9)千米. 在Rt△ACH中,由勾股定理,得CA2=AH2+CH2,即x2=(x-0.9)2+1.22, 解得x=1.25, 1.25-1.2=0.05(千米). 答:新路CH比原路CA少0.05千米. 解析 重点模块总结 例6 【问题情境】如图17-T-6,某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度. 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现:系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知. 图17-T-6 解析 综合能力提升 【实践探究】设计测量方案: 第一步:先测量绳子比旗杆多出的部分的长度,测得绳子多出部分的长度是1米; 第二步:把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点C,再测量点C与旗杆底部点B 之间的距离,测得距离为 5米. 图17-T-6 解析 综合能力提升 【问题解决】设旗杆的高度为x米,通过计算即可求得旗杆的高度. (1)依题意知BC=　　 　米,用含有x的式子表示AC的长为 　　　　米;  图17-T-6 5 (x+1) 解析 综合能力提升 (2)请你求出旗杆的高度. 图17-T-6 解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得 BC2+AB2=AC2, 即52+x2=(x+1)2, 解得x=12. 答:旗杆的高度为12米. 解析 综合能力提升 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$