17.2　勾股定理的逆定理 课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

17.2　勾股定理的逆定理 第十七章 勾股定理 17.2　勾股定理的逆定理 探究与应用 课堂小结与检测 第十七章　勾股定理 全品初中 活动1　探究勾股定理的逆定理 [问题情境] 1.据说,古埃及人用图17-2-1的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、 5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个 三角形,其中一个角便是直角.这个事实能 告诉我们什么? 图17-2-1 解:如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,它们满足关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形. 探究与应用 2.(1)画出三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm的三角形,观察这个三角形有什么特殊性?边长分别为4 cm,7.5 cm,8.5 cm的三角形呢? 解:如图①,它们都是直角三角形. 探究与应用 (2)命题:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.写出命题的已知、求证,画出图形,并给出证明过程. 已知:如图②,△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2. 求证:△ABC是直角三角形. 探究与应用 证明:如图③,画一个Rt△A'B'C',使B'C'=a,A'C'=b,∠C'=90°. 根据勾股定理,A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2. 因为a2+b2=c2,所以A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中, 所以△ABC≌△A'B'C', 因此∠C=∠C'=90°,即△ABC是直角三角形. 探究与应用 学 方法 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,即已知三角形的三边长,且满足两条较小边长的平方和等于最大边长的平方,即可判定此三角形为直角三角形,最大边所对的角为直角. 探究与应用 [归纳定理] 如果三角形的三边长a,b,c满足　　　　,那么这个三角形是 直角三角形.  a2+b2=c2 探究与应用 [理解应用] 例1 (教材典题)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形: (1)a=15,b=8,c=17; 解:因为152+82=225+64=289, 172=289, 所以152+82=172, 根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形. 探究与应用 (2)a=13,b=14,c=15. 解:因为132+142=169+196=365, 152=225, 所以132+142≠152, 根据勾股定理,这个三角形不是直角三角形. 探究与应用 变式 △ABC的三边长分别为a,b,c,三个内角分别为∠A,∠B, ∠C,则满足下列条件的△ABC是直角三角形的是 (　　) A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 B.a=1.5,b=2,c=3 C.a=1,b=2,c= D.a=32,b=42,c=52 C 探究与应用 由三边长判断一个三角形是不是直角三角形的技巧 (1)记住常见的三组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③8,15,17. (2)若将一组勾股数都扩大相同的正整数倍,则所得的三个数仍是勾股数. (3)当三个数据较大时,可将判断a2+b2=c2是否成立转化为判断c2-b2=a2(a是最小边长,左边用平方差公式计算)是否成立. 得 锦囊 探究与应用 例2 (教材典题)如图17-2-2,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东 北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方 向航行吗? 图17-2-2 探究与应用 解:如图.根据题意,PQ=16×1.5=24, 1 2 PR=12×1.5=18, QR=30. 因为242+182=302, 即PQ2+PR2=QR2, 所以∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1=45°. 因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行. 探究与应用 活动2　能写出已知命题的逆命题,并能判断它的真假 [初识概念] 题设和结论正好相反的两个命题,叫做　　　　命题,如果 把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的　　　　.  互逆 逆命题 探究与应用 [理解应用] 例3 (教材补充例题)写出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗? (1)同位角相等,两直线平行; (2)如果x=2,那么x2=4; 解:逆命题:两直线平行,同位角相等.成立. 解:逆命题:如果x2=4,那么x=2.不成立. 探究与应用 (3)等腰三角形的两底角相等; (4)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 解:逆命题:有两个角相等的三角形是等腰三角形.成立. 解:逆命题:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.成立. 探究与应用 一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理互为逆定理. 学 总结 探究与应用 [本课时认知逻辑] 古代问题 勾股定理的 逆定理 证明定理 勾股定理 互逆命题与 互逆定理 应用 课堂小结与检测 [检测] 1.分别以下列四组数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 (　　) A.,, B.,, C.2,3,4 D.6,8,10 D 课堂小结与检测 2.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假. (1)如果m是整数,那么它是有理数; (2)直角三角形的两锐角互余. 解:(1)逆命题:如果m是有理数,那么它是整数.是假命题. (2)逆命题:有两个角互余的三角形是直角三角形.是真命题. 课堂小结与检测 3.如图17-2-3,一艘在海上朝正北方向航行的轮船,从点A航行240海里到达点B后发现方位仪坏了,凭经验,船长指挥船左转一定角度后,继续航行70海里到达点C,此时 A,C之间的距离为250海里,请你判断船转弯后, 是不是沿正西方向航行的. 解:因为AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里, 所以AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°, 所以船转弯后,是沿正西方向航行的. 图17-2-3 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$