6.2.3 组合 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.3 组合 作者编号:32005 学习目标 1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系. 2. 能利用计数原理推导组合数公式,并熟练掌握组合数公式 及组合数的性质,能运用组合数的性质化简、计算、证明. 3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的 应用问题,提高数学应用能力和分析问题、解决问题的 能力. 作者编号:32005 新知引入 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. 2.排列数的定义 3.排列数的计算 (1)排列数公式(1): (2)全排列数: (3)排列数公式(2): 作者编号:32005 新知引入 问题1:这两个问题有何不同? 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙,共有=6种. 甲乙、甲丙、乙丙,共有3种. 问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法? 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 将具体问题背景舍去,上述问题可以概括为: 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组 排列问题 组合问题 组合与元素顺序无关 排列与元素顺序有关 这里每一组与顺序无关,我们把这种问题称为组合问题. 作者编号:32005 新知引入 新知学习 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 1.组合定义: 注意: (1)组合的特点:组合要求n个元素是不同的,取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性:元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序,即元素没有位置的要求. 问题2:你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗? 作者编号:32005 新知引入 新知学习 排列 组合 定义 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 相同点 不同点 完成这件事步骤 从n个不同元素中取出m个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第一步、取 第二步、排 仅一步、取 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙,乙甲 甲丙,丙甲 乙丙,丙乙 排列 问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系: 排列、组合的联系与区别 作者编号:32005 新知引入 新知学习 思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢? 1)元素相同; 2)元素排列顺序相同. 元素相同 构造排列分成两步完成,先取后排;而构造组合就是其中一个步骤. 思考三:组合与排列有联系吗? 组合,元素相同、顺序不同 作者编号:32005 练一练 (1) 设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2) 某铁路线上有6个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价? (3) 4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组,共有多少种分法? (4) 5人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (5) 从3个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (6)从4个风景点中选出2个,分别在上午和下午去游览,有多少种不同的游览方法? 1.判断下列问题是组合问题还是排列问题? (7).校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色、绿色的各3辆. ①从中选3辆,有多少种不同的方法? ②从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 排列问题 组合问题 组合问题 组合问题 排列问题 组合问题 组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果. 组合问题 排列问题 组合问题 作者编号:32005 练一练 (1) 设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2) 某铁路线上有6个车站,则这条铁路线共上有多少种不同的火车票价? (3) 4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组,共有多少种分法? 2.写出下列问题中所有不同的组合种数? {a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e}共10种 设6个车站为A,B,C,D,E,F,车票种数AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种 设4名同学为A,B,C,D,选择舞蹈的同学组合有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,剩下的两名同学选书法 作者编号:32005 新知学习 典例解析 平面内有A,B,C,D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 例1 平面内有A,B,C,D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 思路点拨 在 (1)确定一条有向线段,不仅要确定两个端点,还要考虑它们的顺序,是排列问题; (2)确定一条线段,只需确定两个端点,而不需考虑它们的顺序,是组合问题 学习目标 作者编号:32005 新知学习 典例解析 平面内有A,B,C,D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 例1 平面内有A,B,C,D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 解:(1)一条有向线段的端点要分起点和端点,以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数,就是从4个元素中取出2个元素的排列数,共有 条. (2) 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数, 共有如下6条:AB, AC, AD, BC, BD, CD. 这12条有向线段分别为 学习目标 作者编号:32005 结论:取出2个元素的组合的个数是排列数的一半. 合作交流 问题:利用排列和组合之间的关系,以“元素相同”为标准分类,你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗? 进一步地,能否从这种对应关系出发,由排列数求出组合的个数? 作者编号:32005 新知学习 练习1 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方; (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解:(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 学习目标 作者编号:32005 随堂练习 解: ABC, ABD, ACD, BCD 共4个. 1. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上,写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 2. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加,可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减,可以得到多少个不相等的差? 解:(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20,共6个. (2) 不相等的差为-2, -6, -12, 2, -4, -10, 6, 4, 12, 10,共10个. 作者编号:32005 随堂练习 3.按下列条件,从甲、乙、丙、丁、戊、戌6人中选出3人,有多少种不同选法? (1)甲、乙二人必须当选; (2)甲、乙二人不能当选; (3)甲必须当选,乙不能当选; (4)甲、乙二人中只有一人当选; 解:(1) 从剩下的4人中选出1人,有丙、丁,戊,戌共4种结果. (2) 从剩下的4人中选出3人,有丙丁戊、丙丁戌,丙戊戌,丁戊戌共4种结果. (3) 从除甲乙之外剩下的4人中选出2人,有丙丁、丙戊,丙戌,丁戊,丁戌,戊戌共6种结果. 作者编号:32005 随堂练习 3.按下列条件,从甲、乙、丙、丁、戊、戌6人中选出3人,有多少种不同选法? (1)甲、乙二人必须当选; (2)甲、乙二人不能当选; (3)甲必须当选,乙不能当选; (4)甲、乙二人中只有一人当选; (4)分两类情况: 第一类情况 甲当选乙没有当选,从除甲乙之外剩下的4人中选出2人,有丙丁、丙戊,丙戌,丁戊,丁戌,戊戌共6种结果, 第二类情况 乙当选甲没有当选,从除甲乙之外剩下的4人中选出2人,有丙丁、丙戊,丙戌,丁戊,丁戌,戊戌共6种结果, 由分类加法计数原理,共有6+6=12种. 作者编号:32005 课堂小结 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 1.组合定义: 2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法: 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响,则是排列问题,即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取的顺序无关. (1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解. 3.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法: 作者编号:32005 课时作业 作业 1.《选择性必修第三册》P26“复习巩固” 4、7 2.“综合运用” 14, *3.现有1,3,7,13这4个数. (1)从这4个数中任取2个相加,可以得到多少个不相等的和? (2)从这4个数中任取2个相减,可以得到多少个不相等的差? 拓展:校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色、绿色的各3辆.如何快速计算下列各问题? ①.从中选3辆,有多少种不同的方法? ②.从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法? 作者编号:32005 课时作业 *3.现有1,3,7,13这4个数. (1)从这4个数中任取2个相加,可以得到多少个不相等的和? (2)从这4个数中任取2个相减,可以得到多少个不相等的差? 作者编号:32005 $$