陕西省西安博爱国际学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

西安市博爱学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学 一、单选题 1．已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 4．已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 6．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（    ） A．398 B．388 C．189 D．199 7．函数的单调减区间为（    ）． A．， B．， C． D．， 8．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（    ） A． B．1 C． D．－1 二、多选题 9．棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知点到直线的距离相等，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 11．已知数列的通项公式为，则下列各数中，是数列中的项的是（    ） A．0 B．3 C．5 D．7 三、填空题 12．抛物线的焦点到准线的距离是 . 13. 若，则数列的前21项和 . 14.已知，则a 的值为 . 四、解答题 15．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 16．如图所示，在长方体中，，，，为上一点且，点在线段上，.    (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17．设为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值及此时的值. 18．已知椭圆C：的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离. 19．设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点. （1）确定a的值； （2）求函数的单调区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A B C C A C C AB BCD 1．C 【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可. 【详解】由直线的两点式方程可得， 直线l的方程为，即． 故选：C． 2．A 【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 3．A 【分析】将题中两等式作差可得出，整理得出，由此可计算出的值. 【详解】将等式与作差得，， 因此，该等比数列的公比， 故选：A. 4．B 【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故选：B. 5．C 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 6．C 【分析】数列是等差数列，，其中公差，由 是和的等比中项，可得，解得即可得出． 【详解】解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项， ， 化为，． 所以， 则． 故选：C． 7．A 【分析】对函数求导，令导数小于零，解不等式可求出此函数的单调减区间 【详解】由题意可得： 令，即 解得：或 故该函数的单调减区间为和， 故选：A 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，考查高次不等式的解法，属于基础题. 8．C 【分析】对函数求导，由导数几何意义及垂直关系有，即可求参数. 【详解】由题设，则， 又在点处的切线与直线垂直， 所以，所以. 故选：C 9．ABC 【分析】根据正方体的几何特征，利用空间向量的运算求解判断. 【详解】如图所示： 由图形知：因为    ，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为平面，所以，所以，故C正确； 因为四边形是矩形，所以与不垂直，则，故D错误. 故选：ABC 10．AB 【分析】根据题意，分直线的中点和直线两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由点，可得的中点坐标，且， 因为点到直线的距离相等， 当直线过点的中点，可得，解得； 当直线时，可得，即， 综上可得，实数的值为或， 故选：AB. 11.BCD 12．抛物线的焦点到准线的距离是 13. 【解析】利用分组求和法求出答案即可. 【详解】 故答案为： 14. 已知，则a 的值为2 15．(1) (2) 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程． 【详解】（1）由已知得解得， ∴两直线交点为. 设直线的斜率为， ∵直线与垂直，∴， ∵直线过点， ∴直线的方程为，即. （2）设圆的半径为，依题意，得圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得，∴， ∴圆的标准方程为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解即可. 【详解】（1）依题意，建立以为坐标原点，、、为、、轴的空间直角坐标系， 如图：    则，，， 则，， 所以，则， 所以. （2）因为，，又，，平面， 所以⊥平面，所以是平面的一个法向量， 又， 所以， 所以直线AD与平面ANM夹角的正弦值为； （3）因为平面的一个法向量是， 平面ABCD一个法向量为， 所以， 所以平面 ANM 与平面ABCD夹角的余弦值为. 17．(1) (2)，， 【分析】（1）根据等差数列求和公式列式求得公差，然后求解通项公式即可. （2）先求出，再利用二次函数性质求解最小值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知， 所以，当时，取最小值. 18．(1) (2)， 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可； （2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程，利用判别式求解； 方法二：设点，求得点P到直线l：的距离的表达式，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）由题意可知，∴，， 将点A的坐标代入，解得，则， 故椭圆方程为. （2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得， 由其根的判别式，解得. 当时，直线l与直线的距离； 当时，直线l与直线的距离. 由可知，符合题意. 将代入可解得， 将代入可得， 则点P的坐标为，此时距离的最小值为. 方法二：设点，， 则点P到直线l：的距离， 当，即时，d取最小值，最小值为，此时点P的坐标为. 19．（1）； （2）增区间是，减区间是. 【解析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可； （2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间． 【详解】(1)因为， 所以. 令，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 由点在切线上，可得，解得. (2)由(1)知，， . 令，解得或. 当或时，； 当时，， 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$