(新课预习衔接)第4单元 比例高频易错培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

比例 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：下面是两个游泳池的平面图，比例尺是1∶1000，请你先量一量图中游泳池长、宽的数据，再计算这两个游泳池实际水面面积各是多少平方米。如果甲池中有40人，乙池中有200人，哪个游泳池更拥挤？ 【答案】200平方米；600平方米；乙 【分析】先测量两个游泳池图上的长和宽，再根据比例尺分别求出它们实际的长和宽，最后算出它们的实际水面面积；要想知道哪个游泳池更拥挤，可以先算出单位面积的人数或平均每人的占地面积，再比较大小。 【详解】甲游泳池图上的长、宽分别是2厘米，1厘米；乙游泳池图上的长、宽分别是3厘米、2厘米。 1000厘米＝10米 （2×10）×（1×10） ＝20×10 ＝200（平方米） （3×10）×（2×10） ＝30×20 ＝600（平方米） 40÷200＝（人） 200÷600＝（人） ＜ 答：甲游泳池实际水面面积是200平方米，乙游泳池实际水面面积是600平方米。乙游泳池更拥挤。 【点睛】此题主要考查学生对比例尺和长方形面积的应用。 例题2：科技小组制作了一个弹簧秤，弹簧的长度是8厘米。经验证，弹簧的长度与所挂钩码的质量存在如下关系： 弹簧长度/cm 8 9 10 11 钩码质量/kg 0 2 4 6 （1）钩码的质量和弹簧伸长的长度成什么比例关系？ （2）小亮用科技小组制作的这个弹簧秤称一个物体，弹簧的长度是14.8cm，这个物体的质量是多少千克？（用比例知识解答） 【答案】（1）正比例关系； （2）13.6千克 【分析】（1）由表格可知，（弹簧的实际长度－弹簧本身的长度）与对应的钩码质量的比值一定，如果这两种相关联的量对应的比值一定，那么这两种量成正比例； （2）把这个物体的质量设为未知数，，把题中数据代入等量关系式，利用比例的性质求出未知数即可。 【详解】（1）＝＝＝（一定），则钩码的质量和弹簧伸长的长度成正比例关系。 答：钩码的质量和弹簧伸长的长度成正比例关系。 （2）解：设这个物体的质量是x千克。 答：这个物体的质量是13.6千克。 【点睛】本题主要考查正比例关系的辨识以及应用正比例关系解决实际问题。 例题3：小刚6分钟走了400米，照这样的速度，他从家到学校用了12分钟，小刚家离学校有多远？（用比例知识解答） 【答案】800米 【分析】根据题意，6分钟走了400米，则可以求出小刚的速度，速度一定，路程与时间成正比例，由此列出比例解答即可。 【详解】解：设小刚家离学校有x米。 400∶6=x∶12 6x=400×12 x=800 答：小刚家离学校有800米远。 【点睛】解答此题的关键是，根据速度、路程与时间的关系结合题意，判断出哪两个相关联的量成何比例，由此列出比例解决问题。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．比例的意义和基本性质 【知识点归纳】 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16 2．正比例和反比例的意义 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 3．辨识成正比例的量与成反比例的量 【知识点归纳】 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 4．解比例 【知识点归纳】 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项 （2）求未知内项 5．比例的应用 【知识点归纳】 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 6．比例尺 【知识点归纳】 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离＝实际距离×比例尺 实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺＝图上距离÷实际距离． 第四部分 高频真题 1．在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得A、B两地的距离是15厘米。有两辆汽车同时从A、B两地开出，相向而行，速度分别是50千米/时、70千米/时，几小时后两车相遇？ 2．在比例尺是1：200的地图上量得一条线段的长度为5厘米，如果把这条线段以4厘米的长度画在另一幅地图上，这幅地图的比例尺是多少？ 3．正在上体育课的小聪，测得自己的影子长40厘米，同时测得操场的红旗旗杆的影长为3米，已知小聪的身高为160厘米，学校旗杆的高度是多少米？（用比例解） 4．在一幅比例尺是1∶200000的地图上，量得甲乙两地的距离是6厘米。一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，需要几小时？ 5．在比例尺是1∶1000000的地图上，量得潼南到成都的高速公路约长21厘米。刘小微的爸爸驾车从潼南入口驶入前往成都，1小时后，剩下的高速路程是全程的。此时，他已经行驶了多少千米？ 6．一列货车运送物资，2小时行驶了160千米。按照这样的速度，驶完400千米需要多少小时？ 7．将一批纸装订成同样大小的练习本，如果每本18张，可以装订200本。如果每本少装2张，可以装订多少本？ 8．一堆煤，计划每天用去8吨，12天刚好用完，提倡节约，现在要多用4天，现在每天用去多少吨？ 9．某供暖公司购进一些煤，计划每天用量18吨，能用40天。若更换新锅炉，每天能节约用煤2吨。更换新锅炉，这些煤能用多少天？（用比例解） 10．从儿童节那天开始看书，前5天看了90页，照这样计算，这个月明明一共可以看多少页？ 11．甲乙仓库堆放货物的质量比为3∶7，甲运进9吨，乙仓库运出4吨后，甲乙堆放的货物质量比为3∶5，甲乙两仓库原来各有多少吨？（用解比例） 12．在一幅比例尺是1∶1000000的地图上，量得某两地的距离是4厘米，画在1∶200000的地图上的图上距离是多少厘米？ 13．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地相距9厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是7∶5， 甲、乙两车每小时各行驶多少千米？ 14．世界上最大的鸟是鸵鸟。鸵鸟身高约2.75米，身长约2米，重达155千克，颈长几乎占身长的一半。鸵鸟善奔跑，一步可跨8米，平均速度可达70千米/时，世界上最小的鸟是蜂鸟，身长约2厘米，体重仅2克左右，飞行速度是50千米/时。 （1）若鸵鸟画在比例尺是1∶50的图上，鸵鸟的身长应画多少厘米？（用比例解答） （2）鸵鸟从甲地到乙地需奔跑2小时，则蜂鸟从甲地到乙地需飞行多少小时？（空中与陆地路程一致，用比例解答） 15．一间教室长8米，宽6米，用1∶200的比例尺在下面画出它的平面图，并算出在平面图上这间教室的面积是多少平方厘米。 16．一棵树高12米，如果某个时刻它的高度与影长的比是2.5∶1，那么这个时刻它的影长是多少米？ 17．玩具厂要生产智力玩具计划每天生产250套，12天完成；实际每天完成300套，实际多少天完成？（用比例解） 18．修一条全长2400米的水渠，前6天完成了，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？（用比例知识解） 19．一个精密电子元件长4mm，在一张图纸上量出它的长是1.6dm，这张图纸的比例尺是多少？ 20．玲玲从家去学校，每分走60米，15分可以走到学校。如果每分走75米，可以提前几分走到学校？（用比例解） 21．从六一儿童节那天开始，淘气前4天看了72页书，照这样计算，这个月淘气一共可以看多少页书？（用比例知识解） 22．街心公园要建一个长方形的花坛，长120米，宽80米。请你按的比例尺计算出花坛长和宽的图上距离。 23．芝麻出油情况如下表。 芝麻（千克） 20 34 180 46 … 油（千克） 10 17 90 23 … （1）你的发现是： （2）如果出油x千克，需要芝麻多少千克？ 参考答案： 1．7.5小时 【分析】要求几小时后两车相遇，先求出甲、乙两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算求出甲、乙两地之间的总路程，进而根据“路程÷速度之和＝相遇时间”，代入数值，解答即可。 【详解】15÷＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 900÷（50＋70） ＝900÷120 ＝7.5（小时） 答：7.5小时后两车相遇。 【点睛】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，先求出两地间的总路程，进而根据路程、速度之和、相遇时间之间的关系解答即可。 2．200×5=1000（厘米）  4:1000=1:250 3．12米 【分析】设学校旗杆的高度是x米，根据旗杆高度∶旗杆影长＝小聪身高∶小聪影长，列出比例解答即可。 【详解】40厘米＝0.4米 160厘米＝1.6米 解：设学校旗杆的高度是x米。 x∶3＝1.6∶0.4 0.4x＝3×1.6 0.4x÷0.4＝4.8÷0.4 x＝12 答：学校旗杆的高度是12米。 【点睛】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。 4．0.15小时 【分析】比例尺1∶200000，表示图上1厘米代表实际距离200000厘米，即2千米。已知甲乙两地的图上距离是6厘米，用2乘6即可求出两地的实际距离。根据“时间＝路程÷速度”，用两地的实际距离除以80即可求出需要的时间。 【详解】200000厘米＝2千米 2×6＝12（千米） 12÷80＝0.15（小时） 答：需要0.15小时。 【点睛】本题考查了比例尺和路程问题的综合应用。根据比例尺的意义，求出两地的实际距离是解题的关键。 5．60千米 【分析】根据：图上距离÷比例尺＝实际距离，求出总路程的长度；从剩下的高速路程是全程的，可知已行驶了全程的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，总路程的长度乘（1－）即可求出刘小微的爸爸已经行驶了多少千米，据此解答。 【详解】21÷＝21000000（厘米） 21000000（厘米）＝210（千米） 210×（1－） ＝210× ＝60（千米） 答：他已经行驶了60千米。 【点睛】此题考查了比例尺的应用以及分数乘法的计算，关键能够熟记公式计算出总路程。 6．5小时 【分析】根据速度＝路程÷时间，计算出速度，再把公式变形，用路程除以速度得到驶完400千米需要多少小时，据此解答。 【详解】 （小时） 答：驶完400千米需要5小时。 7．225本 【分析】根据题意知道一批纸的总数量一定，即每本的页数和装订的本数的乘积一定，所以每本的页数和装订的本数成反比例，可以设如果每本少装2张，可以装订x本，由此列出比例解答即可。 【详解】解：设如果每本少装2张，可以装订x本。 （18－2）x＝200×18 16x＝3600 x＝3600÷16 x＝225 答：可以装订225本。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例然后找准对应量，列式解答即可。 8．6吨 【分析】 可以用比例的方法解决，这堆煤的总质量是一定的，每天用的吨数乘用的天数就是这堆煤的总质量。 【详解】 解：设现在每天用去吨 答：现在每天用去6吨。 【点睛】重点考查反比例的应用。 9．45天 【分析】每天用量×所用天数＝煤的总量（一定），所以每天用量与所用天数的乘积一定，成反比例关系，由此列方程计算。 【详解】解：设更换新锅炉，这些煤能用x天。 （18－2）x＝18×40 16x＝720 16x÷16＝720÷16 x＝45 答：更换新锅炉，这些煤能用45天。 【点睛】本题考查反比例的应用，两个相关联的量，乘积一定，这两个量成反比例关系。 10．这个月明明一共可以看540页 【详解】试题分析：根据明明每天看书的页数一定，看书的天数与看书的页数成正比例，由此列出比例解答即可． 解：设这个月明明一共可以看x页， 因为儿童节是六月一日，所以这个月有30天 x：30=90：5， 5x=90×30， x=， x=540； 答：这个月明明一共可以看540页． 点评：解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可． 11．甲仓库原来有28.5吨，乙仓库原来有66.5吨 【分析】由题意，设甲仓库原来有货物3x吨，乙仓库原来有货物7 x吨，甲仓库运进9吨，此时甲仓库有3x＋9吨，乙仓库运出4吨，此时乙仓库有7 x－4吨，列出关系是（3x＋9）∶（7 x－4）＝3∶5，求出结果即可。 【详解】解：设甲仓库原来有货物3x吨，乙仓库原来有货物7 x吨， （3x＋9）∶（7 x－4）＝3∶5 （3x＋9）×5＝（7 x－4）×3 15 x＋45＝21 x－12 15 x＋45－45＝21 x－12－45 15 x＝21 x－57 21 x－15 x＝57 6 x＝57 6 x÷6＝57÷6 x＝9.5 9.5×3＝28.5（吨），9.5×7＝66.5（吨） 答：甲仓库原来有28.5吨，乙仓库原来有66.5吨。 【点睛】本题是有关比例的复杂应用题，关键是明确题目中给出的数量关系，然后列出方程解答即可。 12．20厘米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，先算出两地的实际距离，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，算出比例尺是1∶200000的地图上的距离，代入数据解答即可。 【详解】4÷×＝20（厘米） 答：画在1∶200000的地图上的图上距离是20厘米。 【点睛】比例尺不同，对应的图上距离也不相同，但实际距离是不变的，抓住不变量是解题的关键。 13．甲车速度：84千米/时；乙车速度：60千米/时 【分析】根据比例尺公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出A、B两地的实际距离，然后根据速度和＝路程÷相遇时间，求出的速度和，再根据速度比进行求解。 【详解】A、B两地实际距离：9÷＝9×8000000＝72000000（厘米）＝720千米 甲、乙的速度和：720÷5＝144（千米/时） 甲的速度：144×＝84（千米/时） 乙的速度：144×＝60（千米/时） 答：甲车每小时行驶84千米，乙车每小时行驶60千米。 【点睛】此题考查了学生对路程问题中相遇时间＝总路程÷速度和的理解与应用。 14．（1）4厘米 （2）2.8小时 【分析】（1）根据图上距离∶实际距离＝比例尺，据此列出比例方程，并求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）根据题意，从甲地到乙地的空中与陆地路程一致，可知：速度×时间＝路程（一定），积一定，则速度和时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）解：设鸵鸟的身长应画米。 ∶2＝1∶50 50＝2×1 ＝2÷50 ＝0.04 0.04米＝4厘米 答：鸵鸟的身长应画4厘米。 （2）解：设蜂鸟从甲地到乙地需飞行小时。 50＝70×2 50＝140 ＝140÷50 ＝2.8 答：蜂鸟从甲地到乙地需飞行2.8小时。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 15．12平方厘米； 画图如下： 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上的长与宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出图上面积即可。 【详解】8米＝800厘米，6米＝600厘米 图上的长：800×＝4（厘米） 图上的宽：600×＝3（厘米） 图上面积：4×3＝12（平方厘米） 画图如下： 答：平面图上这间教室的面积是12平方厘米。 【点睛】本题主要考查比例尺应用题，解题的关键是求出平面图上这间教室的长与宽。 16．4.8米 【分析】同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是一定的，即物体的实际高度和它的影长成正比例。设这个时刻它的影长是x米，根据题意，某个时刻树的高度∶树的影长＝这个时刻树的高度∶树的影长，据此列出比例并解答。 【详解】解：设影长是x米， 12∶x＝2.5∶1 2.5x＝12×1 2.5x＝12 x＝12÷2.5 x＝4.8 答：影长4.8米。 【点睛】本题考查正比例的应用。明确“同一时刻，物体的实际高度和它的影长成正比例”是解题的关键。 17．实际10天完成 【详解】试题分析：根据题意知道，工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，由此列出比例解答即可． 解：设实际x天完成， 300x=250×12， x=， x=10； 答：实际10天完成． 点评：关键是根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可． 18．9天 【分析】根据题意可知，把全长看作单位“1”，前6天完成了，还剩下（1－），根据工作效率＝工作总量÷工作时间，工作效率一定，则工作总量和工作时间成正比例；据此设修完这条水渠还需x天，列方程为：∶6＝（1－）∶x，然后解出方程即可。 【详解】解：设修完这条水渠还需x天。 ∶6＝（1－）∶x ∶6＝∶x x＝6× x＝ x＝÷ x＝× x＝9 答：修完这条水渠还需9天。 【点睛】本题考查了正比例的应用，判断相关联的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 19．40∶1 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此解答。 【详解】1.6dm＝160mm 160∶4＝40∶1 【点睛】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 20．3分 【分析】根据题意知道玲玲家到学校的路程一定，玲玲行走的速度与时间成反比例，设x分钟走到学校，列方程：75x＝60×15，求出x的值，再用15分钟减去每分钟走75米的时间，即可解答。 【详解】75x＝60×15 75x＝900 x＝900÷75 x＝12 15－12＝3（分） 答：可以提前3分钟走到学校。 【点睛】关键是根据速度×时间＝路程（一定），判断出速度与时间成反比例，进而设出未知数，列方程解方程。 21．540页 【分析】根据题目可知，淘气前4天看了72页，后面照这样计算，即淘气平均每天看的页数是一定的，看的页数与看的时间的比的比值是一定的；看书的页数与看的时间成正比例关系。 【详解】解：设淘气这个月一共可以看x页书。 4∶72＝30∶x 解：4x＝72×30 4x＝2160 x＝2160÷4 x＝540 答：这个月淘气一共可以看540页书。 【点睛】两种相关联的量成正比例还是成反比列：如果是比值一定，那么这两种相关联的量就成正比例，如果是积一定，那么这两种相关联的量就成反比列 22．长6厘米，宽4厘米 【分析】用实际距离乘比例尺，求出相应的图上距离即可。 【详解】120米＝12000厘米，80米＝8000厘米 12000×＝6（厘米），8000×＝4（厘米） 答：花坛长和宽的图上距离分别是6厘米和4厘米。 【点睛】本题考查了比例尺的应用，比例尺等于图上距离比实际距离。 23．（1）芝麻的出油率一定 （2）2x千克 【分析】（1）根据出油率＝出油的千克数÷作物的千克数×100%，可分别代入数据，进行解答； （2）根据（1）发现芝麻的出油率是一定，由此列出比例求出需要芝麻的质量。 【详解】（1）因为10÷20×100%＝17÷34×100%＝90÷180×100%＝23÷46×100%＝50%； 所以发现是：芝麻的出油率一定。 （2）设出油x千克，需要芝麻y千克。 则x：y＝50% y＝x÷50% y＝2x 答：需要芝麻2x千克。 【点睛】本题考查了学生对出油率公式的灵活掌握情况及正比例知识的运用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$