第一章《三角形的证明》单元测试卷 2024—2025学年北师大版数学八年级下册

一、填空题 1-5 DADCC 6-10BBCDA 二、填空题 11. 50°或80° 12.三个角都相等的三角形是等边三角形；真 13. 5 14. 100° 15. 18 三、解答题 16.证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE，即∠BAC＝∠EAD，在△ABC与△AED中，∴△ABC≌△AED(SAS) 17. 解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15° 18解：过点A作AC⊥BF于C，由题意得∠ABC＝90°－60°＝30°，∴AC＝AB＝×300＝150(km)，∵150<200，∴A市受沙尘暴影响．设从D点开始受影响，由勾股定理，得CD＝＝＝50(km)，∴受影响的距离为2CD＝100 km，受影响的时间＝100÷10＝10(h) 19.解：(1)如图，DE即为所求 (2)∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝30°，∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，∴∠CBE＝30°，∴BE＝2CE，∴AE＝2CE 20.解：(1)∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠DAE＝∠EAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形 (2)在△ABF和△CAE中，∴△ABF≌△CAE(SAS)，∴AF＝CE，∵AF＝4，∴CE＝4 21.解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，∵62＋82＝102，即AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形 (2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，∴BC＝＝3，∴S△ABC＝AB·BC＝×3×3＝，S△ACD＝AC·CD＝×6×8＝24，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋24 22.解：(1)PE＋PF＋PM＝BG.证明：连接PA，PB，PC，则S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，∴AB·PE＋AC·PF＋BC·PM＝AC·BG，∴AB·PE＋AB·PF＋AB·PM＝AB·BG，∴PE＋PF＋PM＝BG (2) PE＋PF－PM＝BG.理由如下：连接PA，PB，PC，则S△ABP＋S△ACP－S△BCP＝S△ABC，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，∴AB·PE＋AC·PF－BC·PM＝AC·BG，∴AB·PE＋AB·PF－AB·PM＝AB·BG，∴PE＋PF－PM＝BG 23.解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠NCM，∴∠B＝∠NCM＝60°，∴CN∥AB (2)①结论(ii)正确，＝2.理由如下：∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE＝∠DAC，∠DAC＝2∠DAE，∵∠ACB＝∠CAE＋∠AEC，∴∠AEC＝∠ACB－∠CAE＝60°－∠DAE，∵CN∥AB，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∵∠ACD＋∠DAC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°－(∠ACD＋∠DAC)＝180°－(60°＋2∠DAE)＝120°－2∠DAE，∴＝＝2 ②连接DE，分别延长AD，AC到点H，G，如答图②所示．∵∠ACB＝∠NCM，∠ACB＝∠MCG，∴∠NCM＝∠MCG，∴CM平分∠NCG，∵AE平分∠CAD，由阅读材料的结论，得DE平分∠CDH，∴∠EDH＝∠CDH，∵CN∥AB，∴∠CDH＝∠BAH＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋2∠DAE，∴∠EDH＝∠CDH＝30°＋∠DAE，∵∠EDH＝∠DAE＋∠AED，∴∠AED＝∠EDH－∠DAE＝30°＋∠DAE－∠DAE＝30° 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《三角形的证明》单元测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( ) A．70° B．55° C．50° D．40° 2. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是( ) A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，，2 3. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB等于( ) A．33° B．30° C．26° D．23° 　　　　 4. 已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A． B．2 C．3 D． 5. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( ) A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6. 如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( ) A．45° B．39° C．29° D．21° 7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝6 cm，且△ABD的周长为16 cm，则BC的长为( ) A．8 cm B．10 cm C．14 cm D．22 cm 　　　 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4，则BC＝( ) A．8 B．10 C．12 D．14 9. 如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢( ) A．(24－12)m B．(24－8)m C．(24－6)m D．(24－4)m 　　　　 10. 如图，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于点B，C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D，∠MON＝130°，则∠BDC＝( ) A．50° B．60° C．70° D．不确定 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是__ __． 12. 命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是____________________．这个逆命题是__ __命题．(填“真”或“假”) 13. 如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形(AB是其中一腰)，则图中符合条件的格点有______个． 14. 如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为______． 　　　 15. 如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为_____． 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD. 求证：△ABC≌△AED. 17. 如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，E在AC上，求∠EDC的度数． 18. 由于过度采伐森林和破坏植被，某些地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300 km的B处，以10 km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200 km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间． 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺规作AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE； (2)求证：AE＝2CE. 20. 如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若AF＝4，求CE的长． 21. 如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8. (1)求证：△ACD是直角三角形； (2)求四边形ABCD的面积． 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，即：AB·r1＋AC·r2＝AB·h，∴r1＋r2＝h(定值)，即PE＋PF为定值． (1)深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，M，G，有类似结论吗？请写出结论并证明； (2)理解与应用 当点P在△ABC外，(1)中结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE，PF，PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 23. 【阅读材料】 如图①，点B，C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P，则CP平分∠ECB. 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图②，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，∠ACB＝∠NCM，点D在射线CN上(点D不与点C重合)，AE平分∠CAD交射线CM于点E. (1)求证：CN∥AB； (2)当点D在射线CN上移动时， ①现给出关于∠ADC与∠AEC的数量关系的两个结论： (i)∠ADC－∠AEC的值不变； (ii)的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出这个不变的值； ②连接DE，试求∠AED的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$