7.1.1 条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.1 条件概率 作者编号：32100 1.结合古典概型,了解条件概率的概念.. 2.掌握求条件概率的两种方法. 3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法. 学习目标 作者编号：32100 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 2.古典概型： 3.古典概型概率计算公式： 复习回顾 作者编号：32100 相互独立事件 互斥事件 对立事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即A∩B= . 两个事件不可能同时发生，但必有其中一个发生，即 ， . 概率公式 若事件A与B相互独立， 若事件A与B互斥，则 若事件A与B互为对立事件，则 互斥、对立、独立事件 思考： 如果事件A与B不相互独立 ，如何求P(AB)呢？ 事件A发生会影响事件B发生的概率 复习回顾 作者编号：32100 分析： 随机选择一人做代表 ，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.用B表示事件“ 选到男生” ， 由上表可知 ， n(Ω)=45 ， n(B)=25 问题1： 某个班级有45名学生 ， 其中男生、 女生的人数及团员的人数如下表所示， 在班级里随机选择一人做代表： 根据古典概型知识可知 ， 选到男生的概率为： （1） 选到男生的概率是多大？ 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 P(B)=== 新知讲授 作者编号：32100 分析： 用A表示事件“选到团员” ， “在选到团员的条件下 ， 选到男生”的概率就是 “在事件A发生的条件下 ， 事件B发生”的概率 ， 记为P(B|A).此时相当于以A为样本 空间来考虑事件B发生的概率 ， 而在新的样本空间中事件B就是积事件AB ，包含的样本点数n(AB)=16 ，根据古典概型知识可知， 条件概率 P(B|A)=== 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 （2）如果已知选到的是团员 ，那么选到的是男生的概率是多大？ 新知讲授 作者编号：32100 分析： 用b表示男孩 ， g表示女孩 ，则样本空间Ω ={bb,bg,gb,gg} ，且所有样 本点是等可能的. 用A表示事件“选择的家庭中有女孩” ， B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩” ，则A ={bg,gb,gg} ， B ={gg} 问题2： 假设生男孩与生女孩是等可能的 ，现考虑有两个小孩的家庭 ， 随机选择一个家庭 ，那么： （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩 ，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ （1）根据古典概型知识可知 ，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为： P(B)== 新知讲授 作者编号：32100 问题2： 假设生男孩与生女孩是等可能的 ，现考虑有两个小孩的家庭 ， 随机选择一个家庭 ，那么： （2）如果已经知道这个家庭有女孩 ，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ 条件概率 （2） ”在选择的家庭有女孩的条件下 ， 两个小孩都是女孩”的概率就是 “在事件A发生的条件下 ， 事件B发生”的概率 ， 记为P(B|A). 此时 ，A成为样本空间 , 事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知： P(B|A)== 新知讲授 作者编号：32100 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过 来计算. 在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 这个结论对于一般的古典概型仍然成立. 事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间. 此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值， AB A B Ω 新知讲授 作者编号：32100 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 一般地，设A ，B为两个随机事件，且P(A)>0 ，我们称 概率的乘法公式 条件概率 由这个定义可知，对任意两个事件A ，B ，若P(A)>0 ，则有 知识归纳 P(B | A) = P(AB) =P(A)P(B|A) 作者编号：32100 当P(A) >0时 ， 当且仅当事件A与B相互独立时 ，有P(B|A) =P(B) 若事件A与B相互独立 ， 即P(AB) =P(A)P(B) ，且P(A) >0 ，则 反之 ，若P(B|A) =P(B) ，且P(A) >0 ，则 即事件A与B相互独立. P(B|A)===P(B) P(B)==>=P(AB)=P(A)P(B) 新知讲授 作者编号：32100 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率. 新知讲授 作者编号：32100 设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 方法1：（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即。因为n(AB)= ∴P（AB） （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率. 显然P（A）=.利用条件概率公式，得 P（B|A） 新知讲授 作者编号：32100 方法2：（1）在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 P（B|A）= 又P（A）= ，利用乘法公式可得 P（AB）=P（A） P（B|A）= = 新知讲授 作者编号：32100 ② 是根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率. 求条件概率的两种方法 ① 是基于样本空间Ω , 先计算P(A)和P(AB) ，再利用条件概率公式求P(B|A)； 条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 方法归纳 P(B|A)= P(B|A)= 作者编号：32100 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. （4）相互独立. 条件概率的性质： 新知讲授 作者编号：32100 例2 已知3张奖券中只有1张有奖， 甲、 乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=. 分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等 . 因为只有1张有奖, 所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”, “丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率. 因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关. 新知讲授 作者编号：32100 例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成. 某人在银行自助取款机上取钱 时，忘记了密码的最后1位数字. 求: (1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. 分析: 最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率性质求解. 新知讲授 作者编号：32100 解：（1）设Ai=“第i次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1U A2. 事件A1与事件 A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 P（A）=P（A1）+P（ A2 ）= P（A1） +P ） P（ A2 | ） = 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为. （2）设B=“最后1位密码为偶数”，则 P（A|B）=P（A1|B）+P（A2|B）== ； 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为. 新知讲授 作者编号：32100 变式：某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. (1)求选到的是共青团员的概率； (2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率； 解：设“选到的是共青团员 ”为事件A ， “选到的是第一小组学生 ”为事件B ，则 “选到的既是共青团员又是第一小组学生 ”为事件AB. (1)P(A)==. (2)P(AB)==. 练一练 作者编号：32100 (3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率. 法二.由题意知，事件A所包含的基本事件个数为15，事件AB所包含的基本事件个数为4， 变式：某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作学生代表. 解法(3)：法一.P(B|A)===. ∴ P(B|A)== 练一练 作者编号：32100 1.条件概率定义. 针对以下内容谈谈你的收获： 2.条件概率的公式及性质 . 课堂小结 作者编号：32100 2.下列说法正确的是( ) A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)>1 C.P(AB)=P(A)·P(B|A) D.P((AB)|A)=P(B) 1. 已知P(AB) = ,P(A)= ,则P(B|A)等于( ) C A. B. C. D. A 当堂检测 作者编号：32100 3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为 ,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为 , 则事件A发生的概率为 . 4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以 上的风又下雨的概率为 .设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A). 解:由题意知 P(AB)=,P(B|A)=.由P(B|A)=. 解:由题意知 P(A)=,P(AB)=.故P(B|A)===. 当堂检测 作者编号：32100 $$