7.4.1二项分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 作者编号：32100 1.通过具体实例，了解伯努利试验与n重伯努利试验. 2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 3.会求服从二项分布的随机变量的均值与方差. 学习目标 作者编号：32100 国庆节即将来临，某商家拟推出一项抽奖优惠活动：在一个不透明的盒子里放有外观相同颜色不同的10个乒乓球，其中有8个白球、2个黄球，顾客每次从盒中任意摸取一个球，记录好颜色后放回盒子里 …… 想一想： 1、顾客摸取一次有几种可能结果？ 2、顾客最多可以取几次？ 3、每次取的结果会影响下一次吗？ 1、2、3 …… n 各次试验的结果相互独立 抽 奖 箱 情景导入 作者编号：32100 在实际问题中，有许多试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能的结果.例如 1.伯努利试验的概念 掷一枚硬币结果为正面向上或反面向上； 检验一件产品结果为合格或不合格； 飞碟运动员射击时中靶或脱靶； 医学检验结果为阳性或阴性； …… 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 雅各布·伯努利 新知讲授 作者编号：32100 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.例如：将一枚硬币掷n次. n重伯努利试验具有如下共同特征: (1)同一个伯努利试验重复做n次; (2)各次试验的结果相互独立. 2.n重伯努利试验的概念 新知讲授 作者编号：32100 解: 随机试验 是否是n重伯努利试验 伯努利试验 重复试验的次数 (1) (2) (3) 填一填：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少? (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，看正面向上的次数. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.研究中靶次数 (3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20次.观察取出的次品数 新知讲授 作者编号：32100 在n重伯努利试验中,"在相同条件下"等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响,即, (1)每次试验是在同样的条件下进行的; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验都只有两种结果:发生与不发生; (4)每次试验,某事件发生的概率是相同的. n重伯努利试验的特征： 知识归纳 作者编号：32100 练习1 判断下列试验是否为n重伯努利试验. (2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; (3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽 取5个球,恰好抽出4个白球; (4)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球. 不是 不是 是 是 (1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 练一练 作者编号：32100 而在n重伯努利试验中,我们关注某个事件A发生的次数X. 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生. 探究：在n重伯努利试验中，随机变量X具有怎样的特征？ 进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列. 显然X∈{ 0,1,2,3，…… n } 思考: (1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？ (2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？ 新知讲授 作者编号：32100 例 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 解：X的可能取值为0,1,2,3. 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3)， 则A1，A2，A3相互独立， 中靶次数X的分布列： 例题讲解 作者编号：32100 追问1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击5次，中靶次数X=2的概率是多少？ 追问2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击n次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 追问3：在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X的概率分布列是怎样的？ 新知讲授 作者编号：32100 （其中k = 0，1，2，···，n ） 实验总次数n 事件 A 发生的次数 事件 A 发生的概率 事件 发生的概率 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为: 伯努利分布（二项分布）的概念 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 新知讲授 作者编号：32100 二项分布 (a+b)n=+b+...++...+(n∈N*) 二项式定理： 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？ 思考 新知讲授 作者编号：32100 例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5. 用X表示事件A发生的次数，则X~B(10，0.5). (2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6， 其中的伯努利试验是什么？ 重复试验的次数是多少？ 若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？ 例题讲解 作者编号：32100 趣味数学：设诸葛亮解出某个题目的概率是0.9，三个臭皮匠各自独立解出该题目的概率都是0.6，问诸葛亮和臭皮匠团队哪个解出这一题目的可能性大？（臭皮匠团队成员每人独立解题，且只要有人解出即可） 设事件A:“臭皮匠团队解出该题” 解1：（间接法） 解2：（直接法） 因为0.936＞0.9 ，所以臭皮匠胜出的可能性较大 练一练 作者编号：32100 高尔顿板 弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton，1822年2月16日－1911年1月17日），是英国人类学家、生物统计学家、英国探险家、优生学家、心理学家、差异心理学之父，也是心理测量学上生理计量法的创始人，遗传决定论的代表人物，晚年受封为爵士。他是查尔斯·达尔文的表弟，深受其进化论思想的影响，把该思想引入到人类研究。 新知讲授 作者编号：32100 例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 其中的伯努利试验是__________________________________. 重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立? 定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________. A发生的概率是________. 事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么? 观察小球碰撞到小木钉后下落的方向 10 小球碰撞到小木钉后向右落下 0.5 例题讲解 作者编号：32100 小球最后落入格子的号码X 等于向右下落的次数 新知讲授 作者编号：32100 X的概率分布图如下图： 则小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数， ∴X~B(10, 0.5)， 例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 例题讲解 作者编号：32100 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： (1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)； (2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p). 方法归纳 作者编号：32100 问题：假设随机变量XB(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？ 证明：若X~B(n，p)，则E(X)=np 二项分布的期望（均值）与方差 直接熟记：若X~B(n，p)，D(X)=np(1−p). 尝试证明这个恒等式 新知讲授 作者编号：32100 练习：已知X是一个随机变量，若X～B(6,)，则P(X＝2）等于(　　） A. B. C. D. D 练一练 作者编号：32100 例4 一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是. ①求这位司机遇到红灯数的期望与方差； ②若遇上红灯，则需要等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差. 例3 抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差． 例题讲解 作者编号：32100 1.n重伯努利试验的概念及特征. 2.二项分布的概念及表示. 3.二项分布的均值与方差. 针对以下内容回顾本节课所学知识： 课堂小结 作者编号：32100 BC 1.（多选）下列随机变量X服从二项分布的是（ ） A. 运动员甲射击5次，记甲每次击中的环数为X B. 运动员甲射击5次，记甲击中10环的次数为X C. 口袋中装有5个白球，3个红球，有放回地依次随机抽取3个球，记抽到红球次数为X D. 口袋中装有5个白球，3个红球，不放回地依次随机抽取3个球，记抽到红球次数为X 当堂检测 作者编号：32100 2.中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率； (2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 当堂检测 作者编号：32100 3.（提升练习）中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0 暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率； (2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 所以X的数学期望 当堂检测 作者编号：32100 Lavf58.46.101 $$