福建省龙岩市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检查数学试题

龙岩市20242025学年第一学期期木高二教学质量检查 数学试题 (考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 曲 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2. 答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点(2，-3)和点(0,4④)，则该直线的方向向量可以是 A.(2,1D B.(2,-1D D.(-1,2) C.1,2) 装 2. 设{a,}是等差数列，且4=2,4，+4，=5√2，则{a}的通项公式为 A.an=√n+1 B.an=√2n C.a,=2n D.an=√n+1 3.若直线：amr+3y-1=0与直线12：3x+y+1=0平行，则实数a为 A.-3 B.3 C.3或-3 D.1或-1 4. 二次函数y=x2-2mr+3m2(m∈R)图象的顶点的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 5. 设Sn为正项等比数列{a,}的前n项和，a,3a,a成等差数列， 则受的值为 A 我 品 B. C.16 D.17 6. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程 表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节， 则不同的排法共有 A.75种 B.144种 C.288种 D.360种 高二数学 第1页（共6页） 7.中国传统乐器“埙”是汉族特有的闭口吹奏乐器，音色朴拙抱素独为地籁。有 一种“损”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆。已知半椭圆二+云1 （y20,a>b>0)和半圆x2+y2=b0y≤0)组成的曲线C如图所示，曲线C交x 轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点G,点M是半圆上任意一点.当点M 的坐标为停？时，△1GM的面积最大，则该半椭圆的方程是 A +4=020 +31(y≥0 9y2x2 64+4=10≥0 D. 9x2 464 =10y≥0) 8. 已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,过点A(7,作直线1：x+四y-2y-7a+4=0的 垂线，垂足为B,点P是抛物线C上的动点，则PF+PB的最小值为 A.14 35 B. 25 2 C.14 D. 25-3√5 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知n是正整数，则 AA3=30 B.C+C=C4 C.Aio=Afo D. C+C号+C+…+C=2" 10.已知直线：(m+2)x+(m-3)y+5=0(m∈R),圆P:(x-1)2+0y+2)2=16,点M 是圆P上的动点，则 A直线1与圆P有2个不同的交点 B.点M到直线x+y+11=0距离的最小值为5√2 C.若直线1与圆P相交于A,B两点，则AB的最小值为2√5 D.若直线I是圆P的对称轴，点N(-4,m),则MN的最大值为4+5而 高二数学第2页（共6页） 11. 已知数列a}的潘项公式为a方片5-(51，数列伍}满足么=4， 6=4,b,>b1+b2n23),则 A.a3=2 B. 数列{b,}是递增数列 C.b0>2025 D.满足不等式1og,[1+V5°-1-⑤]>n+5的最小正整数n为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知△4BC的三个顶点分别是AL,2),B(5,4),C(2,7),则边AB上的中线所在直 线方程为 已知椭圆C。+1的左焦点为F,点A,B是椭圆上关于原点对称的两点， 13. 则4AF+BF的最小值为 14. 已知双曲线c:号-若-a>06>0的右焦点为F,焦距为2c(c>0),点A的 坐标为(2C,0).若在双曲线C的右支上存在点B,使得OB=OF,且 ∠OBA≥3∠OAB,则双曲线C的离心率取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.(本题满分13分) 已知(x-2)(x+1)°=a+ax+a2x2+…+anx(n∈N), 满足a6+4+a2+…+an1=-32. (1)求n的值； (2)求4的值 高二数学第3页（共6页） 16.(本题满分15分)】 已知圆C2+y2-2x-3=0,圆C:x2+y+4x-6y+3=0. (1)证明：圆G与圆C,相交； (2)若圆M经过圆C与圆C,的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程 17.(本题满分15分) 已知正项数列{a,}的前n项和为S,满足a,2=4S。-2a.-1(neN) (1)求数列{a}的通项公式； (2)若b.= +2a,+少，记数列私，}的前n项和为7.证明：对于任意 n+1 neN,都有I,< 4 高二数学第4页（共6页） 折纸起源于大约公元1世纪或2世纪时的中国。折纸与自然科学结合在一起， 18.(本题满分17分) 不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支.某 些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，可按如下步骤折纸。 步骤1：设圆心是F,在圆内不是圆心处取一点，标记为E: 步骤2：把纸片翻折，使翻折上去的圆弧经过点E,此时圆弧上与点E重合的 点标记为G; 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时GF与折痕交于点P; 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P. 现取半径为4的圆形纸片，定点E到圆心F的距离为2，按上述方法折纸。以 线段EF的中点O为原点，线段F所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,记点 P的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的标准方程； (2)设直线：y=:+m(k≠0)与曲线r交于A、B两点。 ①若直线1过点F,且△MBB的面积为85，求实数k的值； ②若直线I过定点T(O,),N为坐标平面上的动点，直线NA、NT、NB斜 率的倒数成等差数列，试探究点N是否在某定直线上，若存在，求出该 定直线的方程，若不存在，请说明理由 高二数学 第5页（共6页） 19. (本题满分17分) a+aL6+),定 已知有穷数列A:a,a,,a(n2),满足a,e-1D,记6，=1+aa 义如下操作过程T:从A中任取两项a,a,将，的值添在A的最后，然后别除a,a 这样得到一个刀一1项的新数列4，继续实施一次操作过程了，得到的新数列记作 A,…,如此经过k次操作后得到的新数列记作A, )设数列4：0 求A的所有可能的结果； (2)证明：-1<b<1; : (3)设数列4：-2-1-1，-1_111111 33436'2'34'56 求A,的可能结果，并说明 理由 高二数学第6页（共6页） 龙岩市2024~2025学年第一学期期末高二教学质量检查 数学试题参考答案 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A B B c D C D 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 选项 AB ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.4x+y-15=0 13.20 14.01+V5 7【详解】由点M(修？在半圆上， 所以b=oM=5+2 64,36 =2 由椭圆可知图中G(0,a),4(-2,0), 要使AM4GN的面积最大，当与4G平行的直线且与半圆相切于点M,?时， M到直线AG的距离最大， 此时OM14G,即kowk6=-1,-g=-1,解得a= 82 1 所以半椭圆的方程为二+少 4+64=1020 8.【详解】由：x+ay-2y-7a+4=0得x-2y+4+a0-)=0, 由儿二-0，得=07所以数定夜M07. 连接AM,则AM=√9+36=35，由题易知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为-+0-4-号（不孢含点4小，Q4四） 记圆x-马y+0-4=5的圆心为N号利， 过点P,N分别作准线x=4的垂线，垂足分别为D,H, 高二数学答案 第1页（共6页） PF+IP+IPrr5N-55 当且仅当P,D,N,月四点共线且点2在PN之间时等号同时成立，所以 PF+P网的最小值为25-35 2 山.【详解】由a方-与州得4=4-4=2，所以A正确 因为b=a,=l,b2=a2=1,所以B错误； 因为4=a,b=a2,b,>b1+b-2(n23),所以 4>4+4=26>3,6>5,b>8,4>13,4>21,4>34,4。>55,41>89, >14,4>23,4>37,4s>610,4。>987,4,>1597,4>1597+987>2025 所以C正确； 由因为1og,0+5y-0-5y]>nm+5,所以1og,l0+5y-0-5yr]-m>5, 6e0+y5r-0-5]-b,2r>5.即sa45r-51>5,故 5-5>2 2 故4方-刀若所以G号，易知a>0且a,单调通地 由a方25-5n可知a=1,421, 则G>号G<号，所以：的最小值为8所以D错误 13.【详解】由对称性和椭圆定义可知：c=√9-5=2，F(-2,0),4F+BF=2a=6 设BF=m,则1≤m≤5，AF=6-m 故4,4F+BF=m2+4(6-m)=m2-4m+24, 则当m=2时，4AF+BF取得最小值，最小值为20. 14.【详解】因为O8=oF, 所以B是以O为圆心，OF为半径的圆O与双曲线C的交点 设C的左焦点为F, 则∠EOB=∠OBA+∠OAB≥4∠OAB, ∠EOB=2∠OFB,,∠OFB≥2∠OAB 又'∠OFB=∠FBA+∠OAB,∴.∠FBA≥∠OAB 则FBS FA=c. :B在双曲线的右支上 BF-BF =2a 高二数学答案第2页（共6页） .BEP=(8F+2a)'s(c+2a) 又在RtAB5F中B5=4c2-BF .c'+4ac+4a'z 4c2-BF23c2 2c2-4ac-4a2s0,即c2-2e-2s0,又e>1, ..ce(L,1+V3]. 15.解：(1)八(x-2x+1y°=a+ax+a2x+…+ax,a+a+4++a4=-32 令x=1时，a0+41+a2+…+a州=-32=-2”…4分 n=5……6分 (2)由(1)知(x-2x+1°=(x-2)(Cgx3+Cgx+…+C)…8分 a3x3=xCx2+(-2)Cgx3=-10x .12分 43=-10 13分 16.证明：（1)圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心C(10),半径1=2； 2分 圆C,的标准方程为(x+2)2+0y-3)2=10, 圆心C(-2,3),半径，=√0； 4分 lC,C=V10-2≤3v2≤10+2 6分 5-5<GC<5+h ·圆C,与圆C,相交 …7分 (2)法一：联立圆C,与圆C,: [x2+y2-2x-3=0 x2+y2+4x-6y+3=0 解得：y=x+1, 将y=x+1代人圆C得：x=1 当x=1时，y=2,当x=-1时，y=0, ∴圆C,与圆C的交点为A,2),B(-1,0) 10分 AB的中点坐标为(O,1) 11分 圆心M在y轴上，所以圆心M为(0,1)…12分 圆M的方程为x2+y-1)=2… 15分 法二：设圆M的方程为 x2+y2-2x-3+2x2+y2+4x-6y+3)=0,1*-1, 即+品 =0 1+1 …10分 :圆心M在y轴上 4机-2=0，解得元=) …13分 1+1 圆M的方程为x2+y2-2y-1=0 15分 高二数学答案 第3页（共6页） 17.解：（1)a,2=4S.-2a-1 当n≥2时a2=45-2a-1 1分 心两式相减并化简称得a,+0Xa.-4一2)=0 2分 当n=1时(a-1)2=0,a,=1 4分 数列{如，}是以1为首项，2为公差的等差数列 5分 .a =2n-1(nEN). 6分 (2)证明：当n=1时，28-4-1，所以a,=1 .7分 设等差数列{a,}的公差为d,因为4，=4+4d=9,所以d=2, 所以an=1+2(n-1)=2n-1 8分 n+1 又6a+2a,+ 则6= n+1 1115 oi 5分 18.解： (1)以EF所在的直线为x轴，即的中点O为原点建立平面直角坐标系， 设P(x,y)为椭圆上一点，由题意可知PE+PF=G=4且EF=2, 则曲线r是以E,F为左右焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆， 2分 其中c=1,a=2,b2=a2-c=3, 所以曲线Γ的标准方程为+号=1 4分 (2)①油（1)知F0,0),直线1：y=+m(k≠0)过F0,0), 可得：0=k+m,即m=-k, 所以由直线：y=k(:-)与曲线Γ的标准方程号+二=1联立方程组， 4t3 消去y得(42+3)x2-8k2x+4W-12=0,△=48(3+3)=1442+1)>0. 5分 设两交点心小，则有头+ 82 42-12 4+3 所小-g-岩 4+3 4k+3 6分 高二数学答案第4须（共6页）