(新课预习衔接)第4单元 比例高频易错培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

比例 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：在一张比例尺为1∶500的图纸上，量得一块长方形土地的周长是50厘米，已知这块土地的宽是长的，这块地的实际面积是多少？ 【答案】3750平方米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出这块土地的实际周长，并求出长与宽的和，再根据比的应用求出这块土地实际的长和宽，最后利用“长方形的面积＝长×宽”，求出这块地的实际面积。 【详解】实际周长：50÷＝25000（厘米） 25000厘米＝250米 长与宽的和：250÷2＝125（米） 长：125×＝75（米） 宽：125×＝50（米） 实际面积：75×50＝3750（平方米） 答：这块地的实际面积是3750平方米。 【点睛】掌握图上距离和实际距离的换算方法以及按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 例题2：一辆汽车2小时行驶164千米，用这样的速度从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地之间的公路长多少千米？（用比例方法解答） 【答案】410千米 【分析】设甲乙两地之间的公路长x千米，因为速度一定，路程和时间成正比例，进而列出比例式，解答即可。 【详解】解：设甲乙两地之间的公路长x千米。 164∶2＝x∶5 2x＝820 x＝410 答：甲乙两地之间的公路长410千米。 【点睛】考查学生对正比例概念的理解以及对列比例式的掌握情况，此题列式依据是汽车速度一定。 例题3：在一幅比例尺为50∶1的精密零件的图纸上，量得一个仪表零件长35厘米，这个仪表零件的实际长是多少毫米？ 【答案】7毫米 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，代入数据计算即可。 【详解】35÷50＝0.7（厘米） 0.7厘米＝7毫米 答：这个仪表零件的实际长是7毫米 【点睛】本题考查比例尺的应用，在比例尺问题中，往往图上距离和实际距离单位不统一，因此解题时要注意单位名称的统一。 例题4：在比例尺是1∶20000000的地图上，量得A、B两地的距离是12厘米，甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，75小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？ 【答案】甲车每小时19.2千米，乙车每小时12.8千米 【分析】先依据“图上距离÷比例尺=实际距离”求出两地的实际距离，再根据“路程÷相遇时间=速度和”求出二者的速度和，最后根据甲乙两车的速度比，按比例分配可以求得甲、乙的速度。 【详解】12÷＝240000000（厘米） 240000000厘米＝2400千米 2400÷75＝32（千米） 32×＝19.2（千米） 32﹣19.2＝12.8（千米） 答：甲车的速度是每小时19.2千米，乙车的速度是每小时12.8千米。 【点睛】此题解题过程较为复杂，需根据问题一步步分析，注意用比例尺算实际距离时0的个数。例题5：一根2米长的电线杆，某一时刻测得它在阳光下的影长是1.4米，同一时刻测得旁边一棵大树的影长为8.4米。这棵树高多少米？（用比例解） 【答案】12米 【分析】同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是一定的，即物体的实际高度和它的影长成正比例。设这棵树高x米，根据题意，树的高度∶树的影长＝电线杆的高度∶电线杆的影长，据此列出比例并解答。 【详解】解：这棵树高x米。 x∶8.4＝2∶1.4 1.4x＝16.8 x＝12 答：这棵树高12米。 【点睛】本题考查正比例的应用。明确“同一时刻，物体的实际高度和它的影长成正比例”是解题的关键。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．比例的意义和基本性质 【知识点归纳】 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16 2．正比例和反比例的意义 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 3．辨识成正比例的量与成反比例的量 【知识点归纳】 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 4．解比例 【知识点归纳】 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项 （2）求未知内项 5．比例的应用 【知识点归纳】 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 6．比例尺 【知识点归纳】 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离＝实际距离×比例尺 实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺＝图上距离÷实际距离． 第四部分 高频真题 1．小明家的客厅是正方形的，用边长0.5米的方砖铺地，正好需要144块。如果改用边长0.6米的方砖铺地，需要多少块？（用方程解） 2．小明从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用4小时，小明去时用了多长时间？ 3．一个比例的两个内项都是质数，它们的积是10，一个外项是0.4，这个比例是多少？（用比例知识解答） 4．一堆煤，原计划每天烧3吨，可以烧96天，实际每天节约了0.6吨，实际可烧几天？（用比例知识解答） 5．爸爸的平均步长是0.75米，小娟的平均步长是0.5米，从小娟家到街心公园爸爸走了240步，小娟要走多少步？（用比例方法解答） 6．文具店备有一些红纸和蓝纸，上午卖出16包红纸后，红纸剩下的包数是蓝纸的；下午卖出24包蓝纸后，这时蓝纸剩下包数与红纸剩下的包数的比是2∶5，这两种纸原来各有多少包？ 7．科学研究表明：人体身高与脚长的比大约是7∶1，一个人的脚长25厘米，这个人的身高约是多少厘米？ 8．在比例尺为1∶4000000的地图上量得甲乙两地相距8厘米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，3.2小时相遇。客车每小时行60千米，货车每小时行多少千米？ 9．测量小组测量教学楼的影子长是22.5米。同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高多少米？（用比例知识解答） 10．设一个量x与另一个量y成正比例，已知当X=6时，y=4． （1）写出y和x的关系式． （2）求出当x=6.9时，y的值． 11．狗跑10步与马跑4步的长度相等．照这样计算，狗跑125步，马要跑多少步？（用比例解） 12．甲地到乙地实际距离是950千米，在比例尺是1∶5000000的地图上，甲地到乙地的图上距离是多少厘米？ 13．小明家装修客厅，准备用面积为8平方分米的方砖铺，需要240块。如果改用10平方分米的方砖铺，需要多少块？ 14．挖一条长1800米的水渠，7天挖了840米，照这样的速度，完成这样的工程还需多少天？ 15．王瑞看一本故事书，3天看了54页，照这样计算，要看完225页的这本书，还需几天？（用比例解答） 16．学校食堂运来一批面粉，原计划每天吃0.4吨，可以吃63天，因提倡节约粮食，实际每天只吃0.28吨，这批面粉实际能吃多少天？（用比例解决问题） 17．一间教室用方砖铺地，用边长3分米的方砖铺，要用960块，现改用边长4分米的方砖铺，要多少块？（用比例解答） 18．在比例尺为1:12000000的地图上，量的上海到北京的距离是9厘米。在比例尺是1:9000000的地图上，上海到北京的距离是多少厘米？ 19．石家庄环城绿道通过架设桥梁、提升景观和完善绿地等措施，供市民无障碍自由步行、骑行。早上8：30王叔叔骑自行车从起点出发，行驶1.5小时后，已经行了30千米。照这样的速度，王叔叔在路上共需要行驶5小时才能到达终点。 （1）这条环城绿道全程是多少千米？（用比例解） （2）王叔叔在何时能到达终点？ 20．某台机器上有两个相互咬合的齿轮，主动轮有80个齿，每分钟转100周，从动轮有50个齿，从动轮每分钟比主动轮多转多少周？ 21．小丽读一本书，如果每天读30页，8天可以读完。小丽想6天读完，那么平均每天要读多少页？ 22．小明看一本故事书，已看的页数和未看的页数之比是3∶5，他已看了45页，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 23．在某城市的公交路线图上，2路公交车从火车站到终点站的实际距离是20千米，已知这幅图的比例尺是1∶50000，从火车站到终点站的图上距离是多少厘米？ 24．A城到B城，如果每时行54千米，需要行8小时，一列火车从A城到B城，前2小时行驶了96千米，照这样的速度，再过几小时才能到达？（分别用正、反比例解答） 25．糖果店用奶糖和巧克力配制一种礼品糖，每个礼盒中奶糖和巧克力的质量比是4：3．如果有奶糖和巧克力各72千克，奶糖用完时，巧克力还剩多少千克？再有多少千克奶糖，就可以把巧克力全部用完？ 26．在比例尺是1∶2000的图纸上，量得长方形花园的长是4厘米、宽是2.8厘米。这个花园的实际面积是多少平方米？ 27．一间卧室用边长为0.3米的正方形的地砖铺地，需要640块，如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要地砖多少块？（用比例解） 28．在一幅比例尺是1∶8000000的图上，量得甲乙两城的距离是5厘米，一辆汽车从甲城开往乙城，每小时行60千米，多少小时后能到达乙城？ 29．为驰援上海抗疫，货运列车从福州出发向路程约760km的上海运送一批物资，前2小时行驶了160km。照这样的速度，大约几小时能够到达上海？（用比例知识解答） 30．一幅地图的比例尺是1∶4000000，这幅地图上两个城市之间的距离是35厘米，那么这两个城市之间的实际距离是多少千米？ 31．萌萌和同学们在操场上测量出一棵树的影长是4m，同时测得直立的米尺影子长是40cm。这棵树高多少米？ 32．两同学需托运行李。托运收费标准为10公斤以下6元/公斤，超出10公斤部分每公斤收费标准略低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5元、78元，甲的行李比乙重了50%。那么，超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了多少元？ 33．无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计要求。坡度是指每段坡道的垂直高度与水平长度的比（如图）。一条轮椅坡道的坡度是1∶16，水平长度是12.8m。这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？ 34．京广高铁北起首都北京，南到广州，经过河北、河南、湖北、湖南、广东5省，全程2298千米，是世界上运营里程最长的高速铁路。在一幅比例尺是1∶6000000的地图上，京广高铁的长度是多少？ 35．一项工程，由12个工人来做，需要15天完成．如果要提前5天完成，需要几个工人来做？（用比例解） 36．在比例尺是1∶1000的长方形操场平面图上，量得操场的长是20cm，宽是18cm。如果把这个操场的面积按5∶4划出篮球场地和排球场地，排球场地的面积有多大？ 37．世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥，在一幅比例尺是1∶50000的地图上量得它的长度是11厘米，港珠澳大桥的实际长度是多少千米？ 38．爸爸某天13：40坐高铁从吉安出发，当天22：40到达北京，全程高铁平均每小时行180km，把吉安到北京的高铁路线画在比例尺是1∶10000000的地图上，应画多长？ 39．中华人民共和国国旗的旗面是长方形，其长和宽的比是3∶2，某种通用尺度的国旗的长是96厘米，这种尺度的国旗的宽是多少厘米？（请至少用两种方法解答） 40．我们知道，圆的周长与圆的半径成正比例，一同学经过测量发现，当圆的半径是1时，圆的周长约是6，当圆的半径是2时，圆的周长约是12。那么当圆的周长约是27时，圆的半径是多少？ 41．幸福村要修建一条长5600米的水泥路，工程队4天修了640米，照这样计算，修建这条水泥路一共需要多少天？（用比例解答） 42．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是12cm。 （1）一列火车的速度是每小时120千米，从甲地到乙地需要几小时？ （2）如果把它画在比例尺是1∶6000000的另一幅地图上，要画多少厘米？ 43．在比例尺1∶2000000的地图上，量得A、B两地的距离是10.5厘米。甲、乙两车同时从两地相向开出，2小时后相遇。甲车与乙车的速度之比为3∶4，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 44．科学兴趣小组在操场同一时间观察实验，当竹竿高3米，测量竿影长1.2米，如果影长3.2米，竹竿的高度应该是多少米？（用比例解答） 45．刘叔叔测得一个手表零件的长度是0.2厘米，他打算把这个零件画在图纸上，有10∶1和30∶1两种比例尺可以选择。刘叔叔选择哪种比例尺画出的图纸更清晰？画出的零件长多少厘米？ 46．修路队修一条长750米的路，前2天修了150米．照这样计算，余下的600米还需要几天完成？（比例解） 47．在一幅比例尺是1:20000000的地图上,量得甲、乙两地之间的距离是5cm,如果把它们画在比例尺1:250000000的地图上,它们的图上距离是多少厘米? 48．一天，笑笑步行去文化宫，去时每分钟走75米，返回时每分钟走60米。笑笑往返在路上共用了36分钟。笑笑家到文化宫有多少米?(用比例解) 49．一幅地图的比例尺是1∶2000000，在图上量得A、B两个港口的距离是8厘米，一艘货轮于上午8时从A港口出发，平均速度为每小时40千米，这艘货轮到达B港口的时间为多少时？ 50．市政公司计划修一条公路，4天修了328米，照这样的速度，这条公路一共需要修20天。这条公路全长多少米？（用比例解） 51．学校用方砖铺会议室的地面。原来打算用边长是0.5米的方砖，需要540块。现在改用面积0.36平方米的方砖，需要多少块？ 52．学校要挖一个长方体泳池，在比例尺是1∶200的设计图上，水池的长为5厘米，宽为3厘米，深为1厘米。 （1）按图施工，这个水池的长、宽、深各应挖多少米？ （2）沿泳池内壁距池口0.6米处用红漆画一条警戒水位线，警戒水位线全长多少米？ （3）池底有根排水管，内直径2分米，放水时，水流速度平均每秒4.5米。放完池中警戒水位以下的水大约需要多少分钟？（结果保留整数） 53．张同周末去爬山，上山时每小时大约走3.5千米，用了2.4小时，下山时按原路返回，比上山少用了0.3小时，他下山时每小时走多少千米？（用比例解） 54．学校准备修建一个长为200米，宽为150米的操场，画在比例尺是1∶5000的图纸上，图上的长为多少厘米，宽为多少厘米？ 参考答案： 1．100块 【分析】根据题意可知，客厅的面积不变，方砖的面积与铺地砖的数量成反比例，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出边长是0.5米的方砖的面积；设需要x块，列比例：0.6×0.6x＝0.5×0.5×144，解比例，即可解答。 【详解】解：设需要x块。 0.6×0.6x＝0.5×0.5×144 0.36x＝0.25×144 0.36x＝36 x＝36÷0.36 x＝100 答：需要100块。 2．小时 【分析】小明从甲地到乙地，来回共用4小时，因此可将去时所花的时间设为未知数，回来时花的时间用含有未知数的式子表示，由于总路程是一定的，花费的时间与速度成反比，因此来回的速度和时间的乘积相等。已知去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，列出方程式求解，即可得到小明去时用了多长时间。 【详解】解：设小明去时所花的时间为小时，回来时花的时间为（4－）小时。 5＝7（4－） 5＝7×4－7x 5＋7＝28 12＝28 ＝28÷12 ＝ ＝ ＝ 答：小明去时用了小时。 3．0.4∶2＝5∶25（答案不唯一） 【分析】设另一个外项是x，根据比例的基本性质，两内项积＝两外项积，列出反比例算式，求出另一个外项，再确定两个内项，写出比例即可。 【详解】解：设另一个外项是x。 0.4x＝10 0.4x÷0.4＝10÷0.4 x＝25 10＝2×5 答：这个比例可能是0.4∶2＝5∶25 【点睛】本题考查了质数、比例的基本性质及反比例应用题，积一定是反比例关系。 4．120天 【分析】这堆煤的重量一定，则每天烧的吨数和天数成反比例，据此列比例解答即可。 【详解】解：设实际可烧x天。 3×96＝（3－0.6）x 2.4x＝288 x＝120 答：实际可烧120天。 【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确每天烧的吨数和天数成反比例是解题的关键。 5．360步 【分析】设小娟要走x步，根据平均步长×步数＝小娟家到街心公园的距离（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设小娟要走x步。 0.5x＝240×0.75 0.5x÷0.5＝180÷0.5 x＝360 答：小娟要走360步。 【点睛】本题考查了反比例应用题，积一定是反比例关系。 6．蓝纸原来有30包，红纸原来有31包 【分析】由题意可知，设蓝纸有x包，则红纸剩下的包数是包，根据卖出24包蓝纸后，这时蓝纸剩下包数与红纸剩下的包数的比是2∶5，据此列比例解答即可。 【详解】解：设蓝纸有x包，则红纸剩下的包数是包。 （x－24）∶＝2∶5 x＝5x－120 4x＝120 x＝30 30×＋16 ＝15＋16 ＝31（包） 答：蓝纸原来有30包，红纸原来有31包。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确蓝纸和红纸剩下的包数是解题的关键。 7．175厘米 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设这个人的身高约是x厘米，根据人体身高∶脚长＝7∶1，列出比例解答即可。 【详解】解：设这个人的身高约是x厘米。 x∶25＝7∶1 1x＝25×7 x＝175 答：这个人的身高约是175厘米。 8．40千米 【分析】由于甲乙两地相距8厘米，根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，把数代入即可求出甲乙两地的实际距离，由于一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，属于相遇问题，根据相遇问题的公式：路程÷时间＝速度和，再用速度和－客车速度＝货车速度。 【详解】8÷＝32000000（厘米） 32000000厘米＝320千米 320÷3.2＝100（千米/时） 100－60＝40（千米/时） 答：货车每小时行40千米。 【点睛】此题解答关键是根据比例尺和图上距离求出实际距离，然后根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 9．15米 【分析】同一时间同一地点，物体实际高度与影子长度的比值是一定的，据此列比例式解答即可。 【详解】解：设教学楼高x米。 x∶22.5＝3∶4.5 4.5x＝22.5×3 4.5x÷4.5＝67.5÷4.5 x＝15 答：教学楼高15米。 【点睛】正确判断出实际高度与影子长度成正比例是解答本题的关键。 10．（1）x：y=6：4 （2）y=4.6 【分析】（1）因为一个量x与另一个量y成正比例，所以x与y的比值一定，即x：y=6：4；（2）把x=6.9代入（1）即可求出y的值． 【详解】（1）因为一个量x与另一个量y成正比例，所以x与y的比值一定，即x：y=6：4； （2）把x=6.9代入x：y=6：4， 即6.9：y=6：4， 6y=6.9×4， 6y=27.6， y=4.6． 11．50步 【详解】略 12．19厘米 【详解】950千米=95000000厘米 95000000×=19（厘米） 答：甲地到乙地的图上距离是19厘米． 13．192块 【分析】小明家客厅的总面积是一定的，因此方砖面积与所需块数成反比，即方砖面积×块数＝客厅面积（一定），据此求解。 【详解】240×8÷10＝192（块） 答：需要192块。 【点睛】本题考查反比例的简单应用，当两种相关联的量，一种量变化，另一重量也随着变化，当它们对应的乘积一定时，这两种量成反比例关系，用式子表示为（一定）。 14．完成这样的工程还需8天 【详解】试题分析：根据题意知道工作效率一定，工作时间和工作量才正比例，由此列式解答即可． 解：设完成这样的工程还需x天． 840：7=（1800﹣840）：x 840x=7×960 x=8； 答：完成这样的工程还需8天． 点评：解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即． 15．9.5天 【分析】“照这样计算”，说明每天读书的页数是一个定值，说明读的页数与读的天数的比值是一定的，即读的页数与读的天数成正比例，由此设出未知数，列比例解答即可。 【详解】解：设还需要x天， 54∶3＝（225－54）∶x 54x＝3×171 54x÷54＝513÷54 x＝9.5 答：还需要9.5天。 【点睛】此题首先判定相关联的两个量成什么比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可。 16．90天 【分析】由题意可知：这批面粉的总量是一定的，每天吃的吨数与天数成反比例；等量关系：原计划每天吃的吨数×计划吃的天数＝实际每天吃的吨数×实际吃的天数，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设这批面粉实际能吃天。 0.28＝0.4×63 0.28＝25.2 0.28÷0.28＝25.2÷0.28 ＝90 答：这批面粉实际能吃90天。 【点睛】先根据正、反比例的意义判断每天吃的吨数与天数成什么比例，再列出相应的比例方程。 17．540块 【详解】解：设要用x块。 4×4x＝3×3×960 16 x＝9×960 x＝540 答：需要540块。 18．12厘米 【详解】12000000厘米=120千米   9000000厘米=90千米 9×120÷90=12（厘米） 答：上海到北京的距离是12厘米。 19．（1）100千米；（2）13时30分 【分析】（1）根据题意可知，速度＝路程÷时间，速度一定，路程和时间成正比例，据此设这条环城绿道全程是x千米，列方程为：x∶5＝30∶1.5，然后解出比例即可； （2）用起点时间加上经过时间，即可求出结束时间，代入数据解答即可。 【详解】（1）解：设这条环城绿道全程是x千米。 x∶5＝30∶1.5 1.5x＝5×30 1.5x＝150 x＝150÷1.5 x＝100 答：这条环城绿道全程是100千米。 （2）8时30分＋5时＝13时30分 答：王叔叔在13时30分能到达终点。 20．60周 【分析】由于是齿轮传动，主动轮转过一个齿，从动轮跟着转过一个齿。主动轮每分钟转过的齿数和从动轮每分钟转过的齿数相同；由此求出从动轮的转速，再减去主动轮的转速即可。 【详解】80×100÷50－100＝60（周） 答：从动轮每分钟比主动轮多转60周。 【点睛】本题主要考查反比例的应用，解答本题的关键是求出从动轮的转速。 21．40页 【分析】总页数一定，每天读的页数和需要读的天数成反比例。据此列方程解答。 【详解】解：设平均每天要读x页。 6x＝30×8 6x＝240 x＝40 答：平均每天要读40页。 【点睛】本题考查反比例的应用，理解题目中的比例关系是解题的关键。 22．120页 【分析】设未看的页数是x页，已知已看的页数和未看的页数之比是3∶5，据此可得：45∶x＝3∶5，根据比例的基本性质解出比例，求出未看的页数，再加上已看的页数，即可求出这本故事书一共有多少页。 【详解】解：设未看的页数是x页。 45∶x＝3∶5 3x＝45×5 3x＝225 x＝225÷3 x＝75 45＋75＝120（页） 答：这本故事书一共有120页。 23．40厘米 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此进行计算即可。 【详解】20千米＝2000000厘米 2000000×＝40（厘米） 答：从火车站到终点站的图上距离是40厘米。 【点睛】本题考查比例尺，明确图上距离、实际距离和比例尺之间的关系是解题的关键。 24．7小时 【分析】根据速度×时间＝路程，用54×8即可求出A、B两地的距离；如果前2小时行驶了96千米，速度不变，根据速度＝路程÷时间，可知路程和时间成正比例，据此设再过x小时才能到达，列方程为：（54×8－96）∶x＝96∶2，然后解出方程即可； 根据速度×时间＝路程，总路程一定，所以时间和速度成反比例，设再过y小时才能到达，则照这样的速度，列方程为（y＋2）×（96÷2）＝54×8，然后解出方程即可。 【详解】①速度一定，路程和时间成正比例； 解：设再过x小时到达。 （54×8－96）∶x＝96∶2 （432－96）∶x＝96∶2 336∶x＝96∶2 96x＝336×2 96x＝672 x＝672÷96 x＝7 ②总路程一定，时间和速度成反比例； 解：设再过y小时到达。 （y＋2）×（96÷2）＝54×8 （y＋2）×48＝54×8 （y＋2）×48＝432 y＋2＝432÷48 y＋2＝9 y＝9－2 y＝7 答：再过7小时才能到达。 【点睛】本题考查了正、反比例的应用，找到相关联的量是解答本题的关键。 25．巧克力还剩18千克，再有24千克奶糖，就可以把巧克力全部用完． 【详解】试题分析：设用去的巧克力是x千克，由“配制一种礼品糖，所需奶糖和巧克力的质量比为4：3”可得：用去的奶糖数与巧克力的重量之比是4：3，可得比例式72：x=4：3，即可求出用去的巧克力数，从而用72减去用去的巧克力的质量就是剩下的巧克力的质量． 设再有y千克奶糖，就可以把巧克力全部用完，再根据用去的奶糖数与巧克力的重量之比是4：3，可得比例式y：18=4：3，据此即可解答． 解：设用去的巧克力是x千克， 72：x=4：3 4x=72×3 4x=216 x=54， 72﹣54=18（千克）； 设再有y千克奶糖，就可以把巧克力全部用完， y：18=4：3 3y=18×4 3y=72 y=24， 答：奶糖用完时，巧克力还剩18千克，再有24千克奶糖，就可以把巧克力全部用完． 【点评】此题关键是根据题干已知比的关系得出用掉的奶糖与巧克力的重量之比，从而列出比例式解答问题． 26．4480平方米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出长方形花园的长和宽的实际长度，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】4÷ ＝4×2000 ＝8000（厘米） 8000厘米＝80米 2.8÷ ＝2.8×2000 ＝5600（厘米） 5600厘米＝56米 80×56＝4480（平方米） 答：这个花园的实际面积是4480平方米。 27．360块 【分析】可以设如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要地砖x块，正方形地砖的大小改变，但卧室的总面积没变，利用地砖面积和地砖的块数之间的反比例关系，列式计算。 【详解】解：设如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要地砖x块。 （0.3×0.3）∶（0.4×0.4）＝x∶640 0.09：0.16＝x∶640 0.16x＝57.6 x＝360 答：如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要地砖360块。 【点睛】本题利用比例求解，关键是弄清每块地砖面积和地砖的块数之间的反比例关系。 28．6小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际距离，再根据时间＝路程÷速度，代入数据求出时间；据此解答。 【详解】5÷ ＝5×8000000 ＝40000000（厘米） 40000000厘米＝400千米 400÷60＝6（小时） 答：6小时后能到达乙城。 【点睛】本题主要考查比例尺与行程问题的综合应用，求出两地的实际距离是解题的关键。 29．9.5小时 【分析】设大约x小时能够到达上海，根据路程∶时间＝速度（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设大约x小时能够到达上海。 760∶x＝160∶2 160x＝760×2 160x÷160＝1520÷160 x＝9.5 答：大约9.5小时能够到达上海。 【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。 30．1400千米 【分析】要求这两个城市之间的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。 【详解】35÷ ＝35×4000000 ＝140000000（厘米） 140000000厘米＝1400千米 答：这两个城市之间的实际距离是1400千米。 【点睛】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 31．10米 【分析】设这棵树高x米，在同一时刻，同一地点，物体的高度与影长成正比例，树的高度∶树的影长＝米尺的长∶米尺的影长，由此即可列比例求出这棵树的高。 【详解】解：设这棵树高x米。 40cm＝0.4m x∶4＝1∶0.4 0.4x＝4 x＝10 答：这棵树高10米。 【点睛】解答此题的关键是弄清物体的高度与影长两种量成正比例关系，注意1米长的尺子叫米尺。 32．1.5元 【分析】根据单价×数量＝总价，用10×6即可求出10公斤的总价，经过比较可知，甲、乙两人的行李都超过10公斤，设乙的行李有x公斤，甲的行李比乙重了50%，则把乙的行李看作单位“1”，甲的行李是乙的（1＋50%），则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤，甲超过10公斤部分的总价是（109.5－60）元，乙超过10公斤部分的总价是（78－60）元；根据超过10公斤的总价÷超过10公斤部分的公斤数＝超过10公斤部分的单价（一定）；列比例为（109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10），然后解出比例，进而求出超过10公斤部分的单价，然后用减法求出超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低多少元。 【详解】10×6＝60（元） 109.5＞60 78＞60 甲、乙两人的行李都超过10公斤； 解：设乙的行李有x公斤，则甲的行李有[（1＋50%）x]公斤。 （109.5－60）∶[（1＋50%）x－10]＝（78－60）∶（x－10） （109.5－60）∶[1.5x－10]＝（78－60）∶（x－10） 49.5∶[1.5x－10]＝18∶（x－10） 49.5×（x－10）＝18 ×[1.5x－10] 49.5x－495＝27x－180 49.5x－27x＝495－180 22.5x＝315 x＝315÷22.5 x＝14 （78－60）÷（14－10） ＝18÷4 ＝4.5（元） 6－4.5＝1.5（元） 答：超出10公斤部分每公斤收费标准比10公斤以内的低了1.5元。 【点睛】本题比较复杂，需要一步步分析，然后根据正比例解决问题。 33．0.8米 【分析】坡度是1∶16，即垂直高度与水平长度的比，设这条轮椅坡道的垂直高度是x米，即可列比例“x∶12.8＝1∶16”解答。 【详解】解：设这条轮椅坡道的垂直高度是x米。 x∶12.8＝1∶16 16x＝12.8×1 16x÷16＝12.8×1÷16 x＝0.8 答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。 【点睛】列比例解答应用题的关键是先设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。 34．38.3厘米 【详解】2298×100000×=38.3（厘米） 35．18个 【分析】工作效率×工作时间=工作总量（一定），所以工作效率和工作时间成反比例． 【详解】解：设需要x个工人来做． （15-5）x=12×15 10x=180 x=18 答：需要18个工人来做． 36．16000平方米 【分析】解答本题首先要根据图上距离和比例尺求出实际距离，然后再利用长方形的面积公式求出这个操场的面积，最后按照排球场地所占的比例，求出排球场地的面积即可。注意实际距离＝图上距离÷比例尺，长方形的面积＝长×宽。 【详解】20÷÷100 ＝20000÷100 ＝200（米） 18÷÷100 ＝18000÷100 ＝180（米） 200×180× ＝36000× ＝16000（平方米） 答：排球场地的面积有16000平方米。 【点睛】解答此类题型首先要认真审题，弄清题意，牢记比例尺的关系式及长方形的面积公式是解答本题的关键。 37．5.5千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。 【详解】11÷＝550000（厘米）＝5.5（千米） 答：港珠澳大桥的实际长度是5.5千米。 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法。 38．16.2厘米 【分析】终点时间－起点时间＝经过时间，求出高铁行驶时间，根据速度×时间＝路程，求出吉安到北京的路程，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，进行换算即可。 【详解】22－13＝9（小时） 180×9＝1620（千米）＝162000000（厘米） 162000000÷10000000＝16.2（厘米） 答：应画16.2厘米长。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，掌握图上距离与实际距离的换算方法。 39．64厘米 【分析】方法一：根据题意，长和宽的比是3∶2，长占3份，宽占2份，则宽是长的，把国旗的长看作单位“1”，宽是长的，用国旗的长×，即可求出国旗的宽； 方法二：设这种尺度的国旗的宽是x厘米；根据长和宽的比是3∶2，已知这种尺度的国旗的长是96厘米，列比例为96∶x＝3∶2，解比例，即可解答。 【详解】方法一： 96×＝64（厘米） 方法二： 解：设这种尺度的国旗的宽是x厘米。 96∶x＝3∶2 3x＝96×2 3x＝192 x＝192÷3 x＝64 答：这种国旗的宽是64厘米。 40．4.5 【解析】略 41．35天 【分析】由题意可知：工程队4天修了640米，工程队每天修路的进度是一定的，即修路的长度与时间的比值是一定的，则修路的长度与时间成正比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设修建这条水泥路一共需要x天。 640∶4＝5600∶x 640×x＝4×5600 640x＝22400 x＝22400÷640 x＝35 答：修建这条水泥路一共需要35天。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 42．（1）3小时 （2）6厘米 【分析】（1）首先根据比例尺的定义求出甲、乙两地的实际距离，然后根据数量关系式：时间＝路程÷速度，解答即可。 （2） 再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求出在另一幅图上的图上距离。 【详解】（1）12÷ ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 360÷120＝3（小时） 答：从甲地到乙地需要3小时。 （2）36000000× ＝6（厘米） 答：要画6厘米。 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 43．45千米；60千米 【分析】利用实际距离＝图上距离÷比例尺，由此计算出两地的实际距离，利用相遇时间＝两地距离÷速度和，由此计算出两车的速度和，利用两车的速度比，分别计算两车的速度即可。 【详解】10.5÷ ＝10.5×2000000 ＝21000000（厘米） 21000000厘米＝210千米 210÷2＝105（千米/时） 105÷（3＋4）×3 ＝105÷7×3 ＝15×3 ＝45（千米/时） 105÷（3＋4）×4 ＝105÷7×4 ＝15×4 ＝60（千米/时） 答：甲车每小时行45千米，乙车每小时行60千米。 44．应该是8米 【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设竹竿的高度是x米 3∶1.2＝x∶3.2 1.2x＝3×3.2 1.2x＝9.6 1.2x÷1.2＝9.6÷1.2 x＝9.6÷1.2 x＝8 答：竹竿的高度应该是8米。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即。 45．30∶1；6厘米 【分析】已知手表零件的实际长度和比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”分别求出这两种比例尺画出的这个手表零件的图上距离，实际距离相等时，图上距离越大比例尺越清晰，据此解答。 【详解】0.2×10＝2（厘米） 0.2×30＝6（厘米） 因为6厘米＞2厘米，所以30∶1这种比例尺画出的图纸更清晰。 答：刘叔叔选择30∶1的比例尺画出的图纸更清晰，画出的零件长6厘米。 【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。 46．8 【详解】试题分析：照这样计算，说明工作效率一定；工作效率不变，工作量和工作时间成正比例，由此列出比例求解． 解：设剩下的还需要x天完成，由题意得： 150：2=600：x， 150x=600×2， 150x=1200， 150x÷150=1200÷150， x=8； 答：余下的600米还需要8天完成． 点评：本题关键是找出比例关系：工作效率一定，工作量和工作时间成正比例关系． 47．4厘米 【详解】5÷×=4(厘米) 48．1200米 【详解】往返所用时间比:60:75＝4:5        去时用的时间:36×＝16(分) 距离:75×16＝1200(米) 49．12时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出A、B两个港口的实际距离，根据进率1千米＝100000厘米将单位换算成千米；再根据时间＝路程÷速度，求出这艘货轮到达B港口需用的时间；最后根据结束时刻＝开始时刻＋经过的时间，求出到达B港的时刻。 【详解】8÷＝16000000（厘米） 16000000厘米＝160千米 160÷40＝4（小时） 8＋4＝12（时） 答：这艘货轮到达B港口的时间为12时。 【点睛】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 50．1640米 【分析】由题意可知，工作效率不变，则工作总量和工作时间成正比例，据此列比例解答即可。 【详解】解：设这条公路全长x米。 x∶20＝328∶4 4x＝328×20 4x＝6560 x＝6560÷4 x＝1640 答：这条公路全长1640米。 【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确工作总量和工作时间成正比例是解题的关键。 51．375块 【分析】会议室地面的面积是不变的，也就是每一块方砖的面积×所需块数＝会议室地面的面积（一定），即两种量成反比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可。 【详解】解：设改用面积0.36平方米的方砖，需要x块，根据题意得： 0.36x＝0.5×0.5×540 x＝135÷0.36 x＝375 答：改用面积0.36平方米的方砖，需要375块。 【点睛】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以列比例求解；解答时关键不要把边长当做面积进行计算。 52．（1）10米、6米和2米 （2）32米 （3）10分钟 【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此进行计算即可； （2）由题意可知，警戒水位线的长度就是长方体的底面周长，根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此进行计算即可； （3）根据题意，可依据长方体的体积公式：V＝abh计算出这个水的体积，再依据圆柱的体积公式：V＝πr2h计算出这根放水管的每秒钟放水的体积，再用水管的每秒钟放水的体积乘60即可得到水管每分钟放水的体积，用水的体积除以出水管每分钟放水的体积，注意结果要保留整数即可。 【详解】（1）5÷＝5×200＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 3÷＝3×200＝600（厘米） 600厘米＝6米 1÷＝1×200＝200（厘米） 200厘米＝2米 答：这个水池的长、宽、深各应挖10米、6米和2米。 （2）（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（米） 答：警戒水位线全长32米。 （3）10×6×（2－0.6） ＝10×6×1.4 ＝60×1.4 ＝84（立方米） 2分米＝0.2米 3.14×（0.2÷2）2×4.5 ＝3.14×0.12×4.5 ＝3.14×0.01×4.5 ＝0.0314×4.5 ＝0.1413（立方米） 0.1413×60＝8.478（立方米/分） 84÷8.478≈10（分钟） 答：放完池中警戒水位以下的水大约需要10分钟。 53．4千米 【分析】设下山时每小时走x千米。当路程一定时，速度与时间成反比例关系，即上山的速度×上山的时间＝下山的速度×下山的时间。根据这个数量关系可有（2.4－0.3）x＝3.5×2.4。 【详解】解：设他下山时每小时走x千米。 （2.4－0.3）x＝3.5×2.4 2.1x＝8.4 x＝8.4÷2.1     x＝4 答：他下山时每小时走4千米。 【点睛】用比例知识解决问题关键是找到不变的量，只要两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，就可以用正比例知识解答；只要两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，就可以用反比例知识解答。 54．长：4厘米；宽：3厘米 【分析】已知比例尺和实际距离，求图上距离，可根据“图上距离＝实际距离×比例尺”直接列式计算，再转换单位即可。 【详解】200×＝0.04（米） 0.04米＝4厘米 150×＝0.03（米） 0.03米＝3厘米 答：图上的长为4厘米，宽为3厘米。 【点睛】明确图上距离、实际距离、比例尺三者的关系是解决此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$