1.2整式的乘法(2)课件 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.2 整式的乘法(2) 温故知新 单项式乘法的法则: 单项式与单项式相乘,把它们的 、 分别相乘,其余字母连同它的指数 ,作为积的因式. 系数 相同字母的幂 不变 情境引入 (1)如图,在计算操场面积的问题中,如何计算A和B组成的长方形区域的 面积?你是怎么计算的? (2)小明认为,这个长方形的面积既可以表示为a(2b+3a),也可以表示为 2ab+3a2,于是 a(2b+3a) = 2ab+3a2 。你能用运算律解释吗? [方法一] 整体求面积: a(2b+3a); [方法二] 长方形A的面积为2ab,长方形B的面积为 3a2, 所以由A和B组成的长方形区域的面积 2ab+3a2 。 事实上,我们发现根据乘法对加法的分配律可得: a(2b+3a) = a 2b + a 3a = 2ab+3a2 。 操作 交流 (1)你能计算ab (abc+2x),c2 (m+n-p),(x2y+xy2) (-xy)吗? 解:根据分配律可得 ab (abc+2x) = ab abc+ab 2x = a2b2c+2abx ; c2 (m+n-p) = c2 m+c2 n-c2 p = c2m+c2n-c2p ; (x2y+xy2) (-xy) = x2y (-xy)+xy2 (-xy) = -x3y2-x2y3 。 (2)一般地,如何进行单项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘法则 议一议 如何进行单项式与多项式相乘的运算? 计算: (1) 2ab (5ab2+3a2b ) ; (3) 5m2n (2n+3m-n2 ) ; (4) 2( x+y2z+xy2z3 ) xyz。 例2 例题学习 解:(1)2ab(5ab2+3a2b ) = 2ab 5ab2+3a2b 2ab =10a2b3+6a3b2 ; (3)5m2n (2n+3m-n2) =5m2n 2n+5m2n 3m-5m2n n2 =10m2n2+15m3n-5m2n3 ; (4)2(x+y2z+xy2z3 ) xyz =(2x+2y2z+2xy2z3 ) xyz =2x xyz+2y2z xyz+2xy2z3 xyz =2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4 。 随堂练习 1.计算: (1) a(a2m+n) ; (2) b2(b+3a-a2) ; (3) x3y( xy3-1) ; (4) 4(e+f2d) ef2d。 解:(1)a(a2m+n) = a a2m+a n = a3m+an ; (2)b2(b+3a-a2) = b2 b+b2 3a-b2 a2 = b3+3ab2-a2b2 ; (4)4(e+f2d) ef2d = (4e+4f2d) ef2d = 4e ef2d+4f2d ef2d = 4e2f2d+4f4d2e 。 尝试 交流 (1)如何计算(2a+b)(a+2b),(x+y)(x-1),(a2-b2)(a-b)?你是怎么做的? (2)一般地,如何进行多项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 (2a+b)(a+2b) = 2a(a+2b)+b(a+2b) = 2a2+4ab+ab+2b2 = 2a2+5ab+2b2。 (x+y)(x-1) = x(x-1)+y(x-1) = x2-x+xy-y。 (a2-b2)(a-b) = a2(a-b)-b2(a-b) = a3-a2b-ab2+b3 。 a b m n am an bn bm 长方形的面积从整体看可表示为: (a+b)(m+n) 。 长方形的面积可看作四个小长方形面积之和: am+am+bm+bn 。 则有(a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) = am+am+bm+bn。 怎样进行多项式乘多项式的运算? 尝试 交流 我们还可以借助下面的图形来理解这一算法: 长方形的面积可看作两个小长方形面积之和: a(m+n)+b(m+n) 。 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 怎样进行多项式乘多项式的运算? 尝试 交流 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 多项式乘多项式法则 注意:①两个多项式相乘时,不要漏乘每一项(一般m项乘n项时, 在合并之前,共m n项); ②要注意相乘时的符号问题。 10 例题学习 计算: (1)(1-x)(0.6-x); (2)(2x+y)(x-y). 例3 解:(1)(1-x)(0.6-x) = 1 0.6-1 x-x 0.6+x x = 0.6-x-0.6x+x2 = 0.6-1.6x+x2 ; (2)(2x+y)(x-y) = 2x x-2x y+y x-y y = 2x2-2xy+xy-y2 = 2x2-xy-y2 。 观察 思考 (1)如图,一幅边长为am的正方形风景画,左右各留有宽为xm的长方形 空白区域作装饰,中间画面的面积是多少平方米? (2)如图,一幅长为am、宽为bm的长方形风景画,画面 的四周留有空白区域作装饰,其中四角均是边长为 xm的正方形,正中间画面的面积是多少平方米? 解:a(a-x-x)= a2-ax-ax = (a2-ax)m2。 答:中间画面的面积是(a2-ax)平方米 。 解:(ab-4x2)m2。 答:中间画面的面积是(ab-4x2)平方米 。 随堂练习 2.计算: (1)(x+y)(a+2b); (2)(2a+3)( b+5); (3)(2x+3)(-x-1)。 解:(1)(x+y)(a+2b) = x a+x 2b+y a+y 2b = ax+2bx+ay+2by。 (3)(2x+3)(-x-1) = 2x (-x)-2x 1-3 x-3 1 = -2x2-2x-3x-3 = -2x2-5x-3。 (2)(2a+3)( b+5) = 2a b+2a 5+3 b+3 5 = 3ab+10a+ b+15 。 最后的计算结果要化简 二、在进行多项式与多项式的乘法运算时,要注意什么? 课堂小结 单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 一、怎样进行单项式与多项式乘法运算? 多项式乘多项式,积的项数有规律:在合并同类项之前, 积的项数恰好等于两个多项式的项数的积。 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 合并同类项. 14 习题1.2 3.分别计算下面图中阴影部分的面积。 解:[方法一] at+t(b-t) = at+bt-t2。 [方法二] ab-(b-t)(a-t) = ab-(ab-bt-at+t2) = ab-ab+bt+at-t2 = bt+at-t2 。 习题1.2 4.请你用图形直观解释 a(b-c) = ab-ac。 b c a 解:阴影部分面积可以表示为:a(b-c), 也可以表示为 ab-ac, 所以 a(b-c) = ab-ac。 5.(2)已知(1)中房屋的高度为hm,现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸, 那么至少需要多少平方米的壁纸?如果某种壁纸的价格是b元/m2,那 么购买所需壁纸至少需要少元?(计算时不扣除门、窗所占的面积)? 随堂练习 解:(2)2xh 2+4yh 2+2xh 2+2yh 2 = (8xh+12yh) m2 。 (8xh+12yh) b = (8bxh+12byh)元。 所以至少需要(8xh+12yh)m2的壁纸, 至少需要(8bxh+12byh)元。 随堂练习 6.下图是用棋子摆成的,按照这种摆法,第n个图形中共有多少枚棋子? 序号 ① ② ③ ④ … n 棋子数 … 1 2 2 3 3 4 4 5 n (n+1) 解:由图形排列规律可知,第n个图形的棋子数为: n (n+1) = (n2+n)枚. ① ② ③ ④ 7.(1)观察:4 6 = 24,14 16 = 224,24 26 = 624,34 36 = 1224,… 你发现其中的规律了吗?你能借助代数式表示这一规律吗? 习题1.2 (3)你还能找到哪些类似的规律?试举两例。 (2)利用(1)中的规律计算124 126 (1)解:设两个数分别为10a+4和10a+6 则(10a+4)(10a+6) =10a 10a+10a 6+4 10a+4 6 =100a2+60a+40a+24 =100a2+100a+24。 实际上100a2+100a+24 =100a(a+1)+24。 即十位数相同,且个位数之和为10的两个正整数的积,等于十位数乘比其大1的整数的100倍再加上24。 因为124 = 10 12+4,126 = 10 12+6,所以a = 12。 5 5 = 25,15 15 = 225,25 25 = 625,35 35 = 1225,… 3 7 = 21,13 17 = 221,23 27 = 621,33 37 = 1221,… 则100a(a+1)+24 = 100 12 13+24 = 15624。 3.计算:(a+b+c)(c+d+e) 习题1.2 解:(a+b+c)(c+d+e) = ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce。 20 提升训练 作 业 教材16页习题1.2第2题. 22 再 见 $$