精品解析：重庆市松树桥中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

重庆市松树桥中学中学2024-2025学年上期高2026届 第三次段考数学试卷 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知椭圆的一个焦点，则（ ） A. B. 5 C. 5或3 D. 3 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量是 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（ ） A. 8.5尺 B. 30尺 C. 66尺 D. 96尺 6. 已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 是递增数列 B. 的前项和中最小 C. D. 数列的前10项和为 10. 已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 线段的中点到x轴的距离为2 11. 在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过，，三点的正方体的截面面积为3 C. 当在线段上运动时，的最小值为3 D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知数列满足，则______，通项公式______. 13. 过点向圆作切线，切点为，则______. 14. 如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求三角形的外接圆方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面和夹角的余弦值. 17. 已知正项数列的前项和为，且和满足：， （1）求证：数列是等差数列； （2）设，记，求和的值. 18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，，平面平面，点，分别是，的中点. （1）证明：； （2）设平面与棱的延长线交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为. （1）求曲线的方程； （2）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值. （3）求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市松树桥中学中学2024-2025学年上期高2026届 第三次段考数学试卷 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知椭圆的一个焦点，则（ ） A. B. 5 C. 5或3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程及焦点坐标有，即可得答案. 【详解】由题设可知焦点在轴上,，可得. 故选：D 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出抛物线标准方程，再确定准线方程即可. 【详解】由题设，抛物线标准方程为，故其准线为. 故选：D 3. 已知数列满足，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知确定为等差数列，再应用等差数列的性质求得、，进而求. 【详解】由，易知为等差数列， 所以，可得，且，可得， 所以. 故选：B 4. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量减法坐标运算、数量积的坐标运算求、夹角坐标运算及投影向量的定义和求法，判断各项正误. 【详解】A：由题设，错； B：，错； C：，错； D：向量在向量上的投影向量是，对. 故选：D 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至芒种）日影长之和为（ ） A. 8.5尺 B. 30尺 C. 66尺 D. 96尺 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列基本量列方程组、方程求解. 【详解】设这个等差数列为，公差为，首项为冬至日最短日影长，根据题意有 即，解得 所以. 故选:B 6. 已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与双曲线得，根据已知结合韦达定理得，可得，即得答案. 【详解】将直线代入双曲线有，则， 由题设，易知，故，则渐近线为. 故选：A 7. 在棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离. 【详解】由题意，构建如图示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，则点到平面的距离， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离，即直线到平面的距离，为. 故选：D 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. 是递增数列 B. 的前项和中最小 C. D. 数列的前10项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；对于A：由公差，即可判断；对于B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；对于C：由通项公式计算即可判断；对于D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和即可判断. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 等差数列的前项和为， 所以，解得， 所以，， 对于A：等差数列中，所以是递增数列，故A正确； 对于B：， 由二次函数的性质可知当时最小，故B正确； 对于C：由，得，故C错误； 对于D：因为，则， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 线段的中点到x轴的距离为2 【答案】AC 【解析】 【分析】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，则直线过抛物线的焦点， 联立方程组，整理得到，显然， 设，可得， 对于A中，由抛物线的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由 ， 所以与不垂直，所以B错误； 对于C中，由，可得， 由抛物线定义，可得， 则，所以C正确； 对于D中，线段的中点的到轴的距离为，所以D错误. 故选：AC. 11. 在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 过，，三点的正方体的截面面积为3 C. 当在线段上运动时，的最小值为3 D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A, 取的中点，连接，，，确定即为截面即可判断B，由对称性得到进而可判断C, 设点关于平面的对称点为，连接，可判断当与平面的交点为时，最小，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，， ∴， ∴与所成角的余弦值为，故A正确； 取的中点，连接，，， 则， 故梯形为过点，，的该正方体的截面， ∵，，， ∴梯形的高为， ∴梯形的面积为，故B错误； 由对称性可知，，故， 又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确， 设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时， 最小， 过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误. 故选:AC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知数列满足，则______，通项公式______. 【答案】 ①. ##0.2 ②. 【解析】 【分析】根据已知递推式直接求，且、，应用等差数列的定义写出通项公式. 【详解】由题设， 由，且，则， 所以. 故答案为：， 13. 过点向圆作切线，切点为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆切线的性质求切线长即可. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 14. 如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时___________.秒 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可，得根据椭圆的和双曲线的定义可得，整理得到，从而结合路程速度时间之间的关系可得，求得答案. 【详解】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为， 而与的离心率之比为，即，即， 在图③， 两式相减得：， 即. 在图④中，， 设图④，光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时t秒， 由题意可知：，则， 故（秒）， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求三角形的外接圆方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出及的中点坐标，由两直线垂直求出，再由点斜式计算可得； （2）设三角形的外接圆方程为，将点的坐标代入方程，即可得到、、的方程组，解得即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，的中点坐标为， 又，所以， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 设三角形的外接圆方程为， 依题意可得，解得， 所以三角形的外接圆方程为，即. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1） 记为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. （2）. 【解析】 【分析】（1）记为中点，连接，易知是平行四边形，则，利用线面平行的判定即可证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面， 所以，又，所以建立如图所示空间直角坐标系， 由，，得， 则， 显然面的一个法向量为，且， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 17. 已知正项数列的前项和为，且和满足：， （1）求证：数列是等差数列； （2）设，记，求和的值. 【答案】（1） 证明：当时，，解得， 因为①，所以②， ①②得， 所以，化简得， 因为，所以， 所以以1为首项，2为公差的等差数列. （2），. 【解析】 【分析】（1）根据递推式及的关系得，结合等差数列的定义证明结论； （2）根据（1）得，易知时，时，结合等差数列的前项和及分组求和求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则，令，得， 即时，时，则， . 18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，，平面平面，点，分别是，的中点. （1）证明：； （2）设平面与棱的延长线交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1）连接.∵四边形是边长为2的菱形，，∴是等边三角形. 取的中点，连接，，则. 又平面平面，平面平面， ∴平面. 又平面，∴. ∵，分别为，的中点，∴∥，. ∵，∴. 又，∴平面. ∵平面，∴. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，由已知可得是等边三角形，取的中点，连接，，则由等到边三角形的性质可得，再由平面平面，可得到，由已知可得，从而可得平面，进而有； （2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 【详解】（1）略 （2）延长与相交于点，则点即为平面与棱的延长线的交点.点是的中点， ∴，则. 如图，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，，， . 设平面的法向量为， 则取，得. ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查线面､面面垂直的判定定理与性质定理的应用，线线垂直的证明，线面角的求解，解题的关键是正确建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查推理能力和计算能力，属于中档题 19. 已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为. （1）求曲线的方程； （2）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值. （3）求的取值范围； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及椭圆的定义写出曲线的方程； （2）讨论直线与轴的位置关系，设直线为或并联立椭圆方程，点，应用斜率的两点式及韦达定理求； （3）由（2）及弦长公式或向量数量积的坐标表示得到关于参数m的表示，即可求范围. 【小问1详解】 连接，则，设点，圆的圆心，半径为4，， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距， ，则曲线的方程为. 【小问2详解】 （法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，点都在轴上，， ②若直线不与轴重合，令直线为，， 联立，消去，得， 则， 由韦达定理得， ， 综上所述：. （法二）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，； ②若直线不与轴垂直，令直线为，， 联立，消去，得，则， 由韦达定理得， 设 ， 综上所述：. 【小问3详解】 （法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点， 由（1）中方法一及弦长公式得， 由，则， 综上所述，的取值范围是. （法二）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，不妨设，则； ②当直线的斜率存在时，设直线为，， 由（2）方法二及弦长公式得 ， 由， 综上所述，的取值范围是. （法三）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则 ②若直线不与轴重合，设直线为，， 则，结合（1）中方法一， 由，则， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，设直线与椭圆并应用韦达定理，由斜率两点式、弦长公式或向量数量积的坐标表示，求值或列方程为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $