江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025年江苏省镇江第一中学高二 (上)数学期末考试 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 1.椭圆 的短轴长为( ) A. 1 B. 2 C. D. 4 2. 若直线与直线平行, 则实数a的值为( ) A. 0 B. 1 C. - 1 D. ±1 3.抛物线 的焦点坐标为( ) A. (0,1) B. (1,0) 4.设 Sn为等差数列 前n项和，若 则 A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 5. 曲线 在x=1处的切线的倾斜角为α，则cos2α的值为( ) B. D. 6.已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且 则 A. 24 B. 16 C. 8 D.无法确定 7.已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为 若两圆的一条公切线的方程为 则 A. B. 2 C. D. 3 8. 已知双曲线 的右焦点为F ，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B， C两点，且|CF|=2|FB|,点B关于原点O的对称点为点A，若 则双曲线E的离心率为( ) A. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{an}的前n项和为 则下列说法正确的是 ( ) B.数列 {an}是递减数列 C. 数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D.满足 的最大正整数n=22 10. 若两定点A(-3,0), B(3,0), 动点M满足|MA|=2|MB|, 则下列说法正确的是( ) A.点M 的轨迹所围成区域的面积为16π B. △ABM 面积的最大值为24 C. 点M 到直线距离的最大值为9 D.若圆 上存在满足条件的点M ，则r的取值范围为 11.如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 (称为“Dandelin双球”).在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O₁，球O₂切于点E，F(E，F是截口椭圆C的焦点).设图中球O₁，球O₂的半径分别为4和1，球心距 则( ) A.椭圆C的中心在直线O₁O₂上 C.椭圆C上存在不同的四个点M ，使得. D.椭圆C的离心率为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分. 12.已知双曲线 的离心率为 则双曲线的渐近线方程为 13. 曲线 上的点到直线的最短距离是 . 14.若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. 的图象在点处的切线为y=1. (1) 求函数的解析式; (2) 若曲线在点P处的切线与直线垂直, 求点P 的横坐标. 16. 在数列{an}中, (1) 证明：数列{ 是等比数列. (2) 求数列{an}的前n项和 Sn. 17.已知抛物线l 的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2. (1) 求抛物线E的标准方程； (2) 已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上, 顶点B(1,2), 重心恰好是抛物线E的焦点 F.求CD所在的直线方程. 18.已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为 且 成等比数列， 数列 满足 (1) 求数列 的通项公式； (2)设数列{ 的前n项和为 Tn，若 对一切 恒成立，求实数m的取值范围. 19.已知椭圆 其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点 在椭圆M上.过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点. (1) 求椭圆M的方程； (2) 证明直线BC的斜率为定值； (3) 求 面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年江苏省镇江第一中学高二（上）数学期末考试 一、单选题 1.B 2.B3.D4.C 5.A6.B7.D8.C 二、多选题 9.AD 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y=3x 13.√5 14.(0,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f(x)=ar2-blnx的图象在点(1，f()处的切线为y=1. (1)求函数f(x)的解析式： (2)若曲线y=f(x)在点P处的切线与直线x+3y+1=0垂直，求点P的横坐标 【详解】(1)函数f(x)=ax2-blhx, ÷f()=2ar-,j0)=a, 2分 :f(x)在点(1，f()处的切线为y=1, ∫f(1)=2a-b=0 -4分 a=1 解得a=1,b=2, -6分 所以f(x)=x2-2nx -7分 (2设Pm,m,则由题可知m=3,即2m-2=3,-9分 m .m>0,∴.m=2 -12分 所以P的横坐标为2. -13分 16.在数列{a}中，=2，a1=3a。-2n+1(neN*) (I)证明：数列{an-}是等比数列. (2)求数列{a}的前n项和Sn. 【详解】(1)由a1=3an-2n+1得a1-(n+1)=3a。-3n=3(a,-n）,4分 41-1=1≠0，- -5分 所以数列{a。-川为首项为1，公比为3的等比数列.- -7分 (2)由(1)得an-n=13-,则an=3-+n, -10分 Sn=(3°+3+32++3-）+(1+2+3++n）-12分 _13-,+m四 3-1 2 3”-1,n2+n 2 2 -15分 17.己知抛物线E:y2=2x(p>0)的焦点为F,点F到抛物线准线距离为2. (1)求抛物线E的标准方程： (2)已知△BCD的三个顶点都在抛物线E上，顶点B(1,2),△BCD重心恰好是抛物线E的 焦点F.求CD所在的直线方程. 【详解】(1)由题意得p=2, -3分 .抛物线方程为：y2=4x -6分 1=+x3+1 (2)设C(x,),D(x2,y2),由重心坐标公式得 3 x+x2=2 → 0=当+当+2 (为+y2=-2' 3 -8分 .CD中点坐标为(，-)， -9分 yi=4x y2=4x 两式相减得-疗=4（名-名）户k如=人二之=4=-2，一12分 x1-x2月+y2 lco方程：y+1=-2(x-1)→2x+y-1=0, --14分 2+y-10今少+2y-2=0,4=12>0,o方程：2x+y-1=0.-15分 y2=4x 18.,已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a,a2,a成等比数列， 4 a4=ag.数列{b}满足bn= (an+1)(a1+1) (I)求数列{a}的通项公式： ②没数列}的前m项和为，若m,<T,<受对一切neN恒成立，求实数m的取值 2 3 范围。 【详解】(1)解：设等差数列{a}的公差为d,因为a,a2,a成等比，所以a=a,a, 可得a(a,+4d)=(a,+d),整理得2a,d=d, 又因为d≠0，所以2a=d, -3分 因为aa=ag,所以(a+d)(a+2d)=a,+7d, 可得a2-a,=0,解得a,=0或者a=1,- -5分 当a1=0时，d=2a=0,不合题意舍去： 当a1=1时，d=2a1=2,则an=2n-1, -7分 所以数列{an}的通项公式为an=2n-l. 4 4=11 2)由（0可得6，a,+la+02mx2(a+nn+' 9分 ∴数列6，}的前如项和7=1-+片++上-1=1-1三一n 223 nn+1n+1(n+1)' 11分 “7脚-7=+1n 1 n+2n+1(n+l)(n+2) 、>0,∴{T}单调递增， -13分 =<1,s<1, 72= -14分 n+1 2 若使得<7<兮对一切eN包立，则昌，上解得35m<6, 3 2 3 一< 22 ∴实数m的取值范围是[3,6). --17分 x2.y2 1以.已知国M:号+若-1口>6>0，其短轴的-个滑点到右焦点的距离为2且点 A(√2,1)在椭圆M上.过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B,C两点. (1)求椭圆M的方程：(2)证明直线BC的斜率为定值：(3)求△ABC面积的最大值， 21 解 ()油题意知原十京=1， 解得b=V2. a=2, 故所求精圆M的方程为号+片1。 -4分 (2) -10分 包没道线的方程为)一及十，则0 设B,y),C2,2), 把直线1的方程代入椭圆方程并化简得x2+V2r十m2-2=0, 由4=2m2-4(m2-2)=2(4-2>0, 可得0<m2<4.① 不妨取=二2m=24-m 2 a=二2m十24=m2 2 故c-V+-对 =√24-m=VB4-m, 又点A到边BC的距离为d=2刚 6 故uc分64示g方4mF记+号-反 当且仅当m2=4一m2, 即m=士V2时取等号，满足①式。 ∴.△ABC面积的最大值为V2. -17分