预习专题07 平面向量的正交分解及坐标表示5题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题07 平面向量的正交分解及坐标表示5题型分类 一、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 二、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型1：平面向量正交分解的理解 1．（2024高一下·全国·课前预习）正交基底与正交分解：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为 ，在正交基底下向量的分解称为 . 2．（24-25高一上·上海·课前预习）将向量的起点置于坐标原点O，作，，则叫做位置向量，如果点A的坐标为，它在x轴、y轴上的投影分别为M，N，那么， . 3．（2024高一下·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 4．（2024高二·全国·课后作业）向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 5．（2024高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 6．（2024高一·全国·课后作业）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 题型2：平面向量的坐标表示概念辨析 7．（2024高一下·全国·专题练习）判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”． （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) （4）终点的坐标与向量的坐标相同.( ) 8．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，向量和是平面内的向量，且点坐标为，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①向量可以表示为； ②只有当的起点在原点时； ③若，则终点的坐标就是向量的坐标． 10．（2024高一·全国·课后作业）已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型3：求向量的坐标 11．（沪教版（2020）必修第二册同步跟踪练习第8章8.3.2向量的正交分解与坐标表示）如图，、、的坐标分别为 、 、 ． 12．（2024高一下·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点分别是，D为BC的中点，求向量的坐标 13．（2024高一·全国·课后作业）已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ． 14．（2024高一下·全国·专题练习）设点A(1,2)，B(3,5)，将向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到为（    ） A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7) （三） 求点的坐标 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 题型4：求点的坐标 15．（2024高一·全国·课后作业）已知，且点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一·全国·课后作业）已知，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一下·福建厦门·阶段练习）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． （四） 求向量的模 求向量的模长： 题型5：求向量的模 19．（2024高一下·河北邯郸·阶段练习）写出一个模为2的向量 .（用坐标表示） 20．（2024高一下·广东东莞·阶段练习）若向量的始点为，终点为，则向量的模为 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·课后作业）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024高一下·四川德阳·阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则(    ) A． B．4 C． D． 4．（2024高一下·浙江温州·期中）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（    ） A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 5．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024高一下·广西梧州·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一下·吉林四平·阶段练习）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 11．（2024高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一·全国·课后作业）已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2024高一下·浙江·期末）如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 15．（2024高一·全国·专题练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·海南·模拟预测）用下列，能表示向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（2024高一·全国·课后作业）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 三、填空题 18．（2024高一·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，若，则的坐标为 ． 19．（2024高一·全国·课后作业）若向量与向量相等，则 ， ． 20．（2024高一·全国·课后作业）已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是 ． 四、解答题 21．（2024高一·全国·课后作业）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 22．（2024高一·全国·随堂练习）如图，在基底下，分解下列向量：，，，．    23．（2024高一·全国·课后作业）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且． (1)若C点坐标为，求D点坐标； (2)原点为O，，求P点坐标． 24．（2024高一下·重庆綦江·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，．    (1)求点B和点C的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． 25．（2024高二上·上海·课后作业）如图，（1）写出的坐标； （2）设，求和的单位向量. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题07 平面向量的正交分解及坐标表示5题型分类 一、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 二、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型1：平面向量正交分解的理解 1．（2024高一下·全国·课前预习）正交基底与正交分解：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为 ，在正交基底下向量的分解称为 . 【答案】 正交基底 正交分解 【分析】略 【详解】略 2．（24-25高一上·上海·课前预习）将向量的起点置于坐标原点O，作，，则叫做位置向量，如果点A的坐标为，它在x轴、y轴上的投影分别为M，N，那么， . 【答案】 x y 【分析】略 【详解】略 3．（2024高一下·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 4．（2024高二·全国·课后作业）向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案. 【详解】根据向量的坐标表示，可得向量的坐标表示为， 坐标为的向量为，即坐标为的向量的正交分解为. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5．（2024高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【详解】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 6．（2024高一·全国·课后作业）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【答案】C 【分析】逐项判断两向量是否垂直即可求解 【详解】选项A中，与的夹角为60°； 选项B中，与的夹角为锐角； 选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意. 选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查基底的概念与判断，是基础题 题型2：平面向量的坐标表示概念辨析 7．（2024高一下·全国·专题练习）判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”． （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) （4）终点的坐标与向量的坐标相同.( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 【分析】根据向量的坐标表示逐一判断. 【详解】（1）两个向量的终点不同，这两个向量的坐标也有可能相同，（1）错误； （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标，（2）正确； （3）两向量差的坐标跟两向量的顺序有关，（3）错误； （4）终点的坐标与向量的坐标可能相同，可能不同.（4）错误. 故答案为：错误；正确；错误；错误. 8．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 9．（2024高一下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，向量和是平面内的向量，且点坐标为，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①向量可以表示为； ②只有当的起点在原点时； ③若，则终点的坐标就是向量的坐标． 【答案】①③ 【分析】根据题意，结合平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示，即可求解. 【详解】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数，使得，所以①正确； 当时，均有所以②错误，③正确． 故答案为：①③. 10．（2024高一·全国·课后作业）已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误. 【详解】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，①正确； 举反例，=(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误； 由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，③错误； 当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，④错误． 故选：A （二） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型3：求向量的坐标 11．（沪教版（2020）必修第二册同步跟踪练习第8章8.3.2向量的正交分解与坐标表示）如图，、、的坐标分别为 、 、 ． 【答案】 ； ； . 【分析】根据图象，得到向量的起点与终点坐标，即可得出结果. 【详解】由图可得，，，. 故答案为：；；. 12．（2024高一下·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点分别是，D为BC的中点，求向量的坐标 【答案】 【分析】由向量坐标表示概念及中点坐标公式可得答案. 【详解】，D是BC的中点，，即. 又，则. 13．（2024高一·全国·课后作业）已知为坐标原点，点在第二象限，，则向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】由向量的模长和夹角即可求解. 【详解】由可得，由于，所以, 故. 故答案为：    14．（2024高一下·全国·专题练习）设点A(1,2)，B(3,5)，将向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到为（    ） A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7) 【答案】B 【分析】 向量是可以平移的，由向量平移后相等得解. 【详解】因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)，向量是可以平移的，因为向量平移后仍是,故向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到为(2,3)， 故选：B （三） 求点的坐标 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 题型4：求点的坐标 15．（2024高一·全国·课后作业）已知，且点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点B的坐标为，化简即得解. 【详解】解：设点B的坐标为，则， 所以，即点B的坐标为． 故选：B 16．（2024高一·全国·课后作业）已知，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】设点的坐标为，则, 故，解得, 故点的坐标为. 故选:B. 17．（2024高一下·福建厦门·阶段练习）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据题意可得出，结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点的坐标为，则，即，解得，即. 故选：C. 18．（2024高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A （四） 求向量的模 求向量的模长： 题型5：求向量的模 19．（2024高一下·河北邯郸·阶段练习）写出一个模为2的向量 .（用坐标表示） 【答案】（答案不唯一） 【分析】设向量，得到，只需满足即可，即可求解. 【详解】设向量，可得，即， 故只需满足即可，例如向量. 故答案为：（答案不唯一） 20．（2024高一下·广东东莞·阶段练习）若向量的始点为，终点为，则向量的模为 【答案】5 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为向量的始点为，终点为，所以，所以 故答案为： 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（2024高一下·全国·课后作业）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限. 【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限. 故选：D 3．（2024高一下·四川德阳·阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则(    ) A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由知，根据题意，作出图像，根据几何关系即可求解. 【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形， ∵，∴. ∵，故可分别作向量在方向上的分向量，， 其中. ∵点在内，且，∴，即. 又，∴，∴. 故选：C. 4．（2024高一下·浙江温州·期中）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（    ） A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 【答案】B 【分析】应用向量的可分解性质，将分解到，所在直线上，结合图形判断参数的符号. 【详解】如图所示，利用平行四边形法则，将分解到，上，有， ∴=m=n， 显然方向相同，则m>0；方向相反，则n<0． 故选：B 5．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 6．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 7．（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 8．（2024高一下·广西梧州·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】， 故选：C 9．（2024高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量的坐标. 【详解】根据题意可知，，把向量按向量平移后，与原向量相等， 所得向量仍然为. 故选：C. 10．（2024高一下·吉林四平·阶段练习）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 11．（2024高一下·天津·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 12．（2024高一·全国·课后作业）已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得,所以, 故选：B 13．（2024高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因此向量在基下的坐标为. 故选：D. 二、多选题 14．（2024高一下·浙江·期末）如图所示设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确. 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：由于，故在上的投影为，故D正确。 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义，关键在于紧扣新定义，进行向量的坐标运算和模的计算，向量的投影的计算，以及向量的数量积的计算. 15．（2024高一·全国·专题练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为， 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得，此时第四个顶点的坐标为． ∴第四个顶点的坐标为或或． 故选:ABC. 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题. 16．（2024·海南·模拟预测）用下列，能表示向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【分析】 根据题意，设，利用向量的坐标运算，得到关于的方程组，结合方程组的解，即可求解. 【详解】对于A中，设，可得， 则，方程组有无数组解，例如时，，所以A成立； 对于B中，设，可得， 则，解得时，，所以B成立； 对于C中，设，可得， 则，此时方程组无解，所以不能表示，所以C不成立； 对于D中，设，可得， 则，此时方程组无解，所以不能表示，所以D不成立. 故选：AB. 17．（2024高一·全国·课后作业）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关， 所以点的坐标不一定是，故A错误； 同理点的坐标不一定是，故B错误； 当是原点时，点的坐标是，故C错误； 当是原点时，点的坐标是，故D正确. 故选：ABC 三、填空题 18．（2024高一·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，若，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合，即可求得答案. 【详解】由题意可得，则的坐标为. 故答案为：. 19．（2024高一·全国·课后作业）若向量与向量相等，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】利用平面向量相等，列出方程组并求解作答. 【详解】向量，，而，于是得，解得， 所以. 故答案为：3；1 20．（2024高一·全国·课后作业）已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据正交分解与坐标表示的关系求解. 【详解】由题可得， 因为的坐标所表示的点在第四象限， 所以解得， 故答案为: . 四、解答题 21．（2024高一·全国·课后作业）已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 【答案】， 【分析】由题得，即得的坐标. 再根据求的坐标． 【详解】由题图知，轴，轴． ∵，，∴， ∴． ∵， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查平面向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．（2024高一·全国·随堂练习）如图，在基底下，分解下列向量：，，，．    【答案】，，， 【分析】根据向量的线性运算即可结合图形求解. 【详解】，，，    23．（2024高一·全国·课后作业）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，，且． (1)若C点坐标为，求D点坐标； (2)原点为O，，求P点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】应用已知坐标表示出，再设、，结合题设写出、的坐标，最后根据向量相等求参数值，即可写出D、P坐标； 【详解】（1）由题设，，若，则， ∴，即，可得， ∴. （2）若，则，又， ∴，即， ∴ 24．（2024高一下·重庆綦江·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，．    (1)求点B和点C的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据坐标系中角度和线段长度大小，分别作垂线即可求得点B和点C的坐标； （2）利用（1）中结论可得，再利用投影向量定义即可求得结果. 【详解】（1）过作轴，垂足为，作轴，垂足为，过作，垂足为，如下图所示：    根据题意可知，； 所以，; 所以，即的坐标为； ， 所以，的纵坐标为； 所以的坐标为; 即， （2）由（1）知,； 则向量在向量上的投影向量为； 即向量在向量上的投影向量是 25．（2024高二上·上海·课后作业）如图，（1）写出的坐标； （2）设，求和的单位向量. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）根据图象，求得，结合向量的坐标表示，即可求解； （2）根据向量的坐标运算，求得，再利用向量的模的坐标运算公式和向量的单位向量计算方法. 【详解】（1）如图所示，可得， 可得； （2）由（1）可得， 所以， 则向量的单位向量为. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示及运算，以及向量的模坐标运算和向量的单位向量的计算，着重考查运算与求解能力. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$