精品解析：山东省青岛第一中学2024-2025学年高三上学期阶段性练习（12月）数学试题

青岛一中2024-2025学年度阶段性练习 高三数学试题 2024.12 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 第I卷客观题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部. 【详解】由， 则，的虚部为2. 故选：D. 2. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数. 【详解】因为， ， 所以，所以的子集个数为． 故选：D． 3. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 4. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例. 【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用对极差及中位数的概念理解，就可解得. 【详解】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是， 根据六个数的中位数是：，解得， 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求. 【详解】设直线与轴交于点，连接， 因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为， 则，因为是等边三角形，的中点为， 则轴，所以准线为，为矩形，则， 故是边长为4的等边三角形， 易知，则. 因为，所以直线的斜率为, 直线的方程为. 故选：B 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，解得和，分，和三种情况，结合函数不等式恒成立得到，从而求出的最大值，得到答案. 【详解】由，解得，令，解得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 所以，即，则， 当时等号成立,的最大值为. 故选：C. 8. 记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再通过余弦定理得到，对向量式整理得，通过平方，将向量关系转化为数量关系即，利用基本不等式即可求解. 【详解】由及正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，，∵，∴． 由，， 两边平方，得 即 ， 当且仅当，即时取等号，即， ∴线段CD长度的最小值为． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 定义在上的函数的值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法及基本不等式结合选项可得答案. 【详解】A：令，则，解得或， 因为函数的值域为，所以，故A正确； B：令，则，即， 令，则，即，故B不正确； C：令，则， 所以，即，故C正确； D：因为，所以，， 所以， 当且仅当时，取到等号， 所以，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题正确的是（ ） A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 已知，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用象限角的定义判断即可；B选项利用二倍角公式化简即可判断；C选项利用同角三角函数基本关系式中的商数关系及两角的和差公式即可判断；D选项利用二倍角公式，将转化为用正切表示，解方程即可判断. 【详解】对于A，若是第二象限角或第三象限角，则， 若，则取，，此时不是第二象限角或第三象限角， 则是的充分不必要条件，故A选项正确； 对于B，因为为第一象限角，所以，，所以 ,故B选项错误； 对于C，在中，若，则，只能是锐角， 所以，， 所以，所以， 所以， 所以，所以也是锐角，所以是锐角三角形，故C选项正确； 对于D，因为， 所以，所以， 因为，所以，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，到定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点.已知曲线：是一条伯努利双纽线，点是曲线上一点，则（ ） A. B. C. 当时， D. 上存在两个点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：通过赋值求得曲线上一个特殊点，根据其定义，即可求得；对B：对曲线方程，令，求解可知方程无解，即可判断；对C：△中，由曲线定义，结合余弦定理，即可求得结果；对D：设出方程，联立曲线方程，求得斜率范围，同理可得斜率范围，即可判断. 【详解】对A：对伯努利双纽线， 令，则，即，解得或， 故点在该曲线上，根据双纽线定义可得：， 故，则，或（舍去），故，又，故，故A正确； 对B：对伯努利双纽线，令， 则，即， 即，该方程无解，，故B错误； 对C：在△中，不妨设， 由A可知，；由据双纽线定义可得：； 则由余弦定理可得：， 即，， 故（舍）或， 即当时，，故C正确； 对D：对方程，令，则，解得， 故斜率存在，设为，则直线对应方程为； 联立与可得：， 即，因为异于，故， 则，则，解得，同理； 若，则，由范围可知，显然不成立，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是，充分利用其定义，以及结合圆锥曲线中对曲线的研究方法，进而解决问题，属困难题. 第II卷主观题 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，则， 所以，即. 故答案为：. 13. 一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态. 【答案】10 【解析】 【分析】将最终“灯开”转化为“当且仅当的正约数个数为奇数”，由此求得开启的路灯数量. 【详解】固定每个，考察路灯. 根据题意，被第名行人改变开关状态， 当且仅当为的正约数（注意的正约数都不超过100，故每个正约数均可对应到某一名行人）. 所以最终为开，当且仅当的正约数个数为奇数.以下证明这等价于为平方数. 事实上，的每个正约数均可对应到正约数， 其中，对应到自身当且仅当，即， 这意味着，的正约数个数为奇数当且仅当是的正约数，即为平方数. 因此，当所有人都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9，…，100的路灯是开着的， 所以共有10个路灯处于开着状态. 故答案为： 【点睛】思路点睛：将路灯最终是开着的，转化为“的正约数个数为奇数”；重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用题意. 14. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得周长的取值范围． 【详解】过点在平面内作，垂足为，如下图 易知，， 由勾股定理可得，则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面，取最大值，即，所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为． 由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为， 如图： 则，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，所以周长的取值范围为． 故答案为：； 【点睛】方法点睛：选择填空题中，遇到求函数的最小值问题，常见的方法有： 1.转化为二次函数的值域问题求解； 2.利用基本（均值）不等式求最值； 3.通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； 4.利用导数分析函数单调性，求函数的最值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦求解出，从而求解出. （2）利用三角形的面积公式求解出，结合和余弦定理求解出，从而求解出的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 可得， 即， 因为，可得，所以，即， 所以 【小问2详解】 由（1）知，因为的面积为， 可得，即，解得， 又因为，由余弦定理得 ， 整理得，解得， 所以，所以的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，，平面， 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求函数的极值； （2）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据求出的值，利用导数判断的单调性即可求出极值； （2）根据可得，从而得到对恒成立，令，利用导数判断的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，依题意，即， 所以，定义域为，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 因为，恒成立， 当时，，，所以， 所以对恒成立， 令，则当时，恒成立， 因为， 设， 当，即时，，所以， 即在上单调递减，所以，符合题意； 当，即时，，， 所以，由零点存在性定理可知存在，使得， 又二次函数开口向下，对称轴为， 则当时，，即， 所以在上单调递增，即存在，使得， 这与当时，恒成立矛盾，故舍去； 综上可得， 所以实数的取值范围为. 18. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点.过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； 【答案】（1） （2）证明： 由相似比可知，，解得， 所以椭圆， 设，直线的方程为，则， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 又代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以， 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆相似的定义可得，即可得离心率； （2）由相似比可得方程，分别将，与椭圆联立，可得，为方程的两根，结合韦达定理可得解. 【小问1详解】 对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． （1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； （3）若为连续可表数列，且，求证：． 【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列． （2）证明：若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，，，，，， ． （3）证明：若数列为连续可表数列， 则，这不可能！因而满足题设的． 若，得整数数列中的连续若干项（至少一项，下同）的和， ； ， ； ； 最多能表示（下简称数列的连续项和表示）出21个两两互异的正整数， 且题设是能表示出这20个正整数． ①若数列的六项均是自然数，由题设， 可得数列的连续项和均小于20（没有表示出20），与题设矛盾！ 所以数列中有负项且负项的项数是1（若存在两个负项，则数列的连续项和表示中会少两个正整数，至多能表示个正整数，不满足题设）． 若数列的项中还有0，则数列的连续项和表示中会少两个正整数（负项与0），不满足题设，因而数列的项是一项负五项正（且这五个正项两两互异）． 还可得：数列的连续项和表示中除负项这个和外组成的集合是． 因为其中最大的是20，所以20的连续项和表示是最多的连续若干个正项之和（即对数列的连续正项全部求和）． ②因为＂若数列满足题设，则数列 满足题设＂， 所以可只考虑数列或或的情形． 若且数列的其余五项都是正项，则或．若，则由， 可得，得数列的连续项和表示中的均不是正整数；若， 则由，可得， 得数列的连续项和表示中的均不是正整数．均不满足题设． 同理，可证得也不满足题设．因而， 且． ③若两两互异的五个正整数中没有1，则． 因而． 再由数列的连续项和表示中最小的正数是1，可得． 若，则 得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数，不满足题设， 因而． 而，所以． 再由，可得， ， 再得数列的连续项和表示中17的表示只可能是， 进而可得. 又由数列的连续项和表示中有14，可得， ，得数列是（但或但，均不可能，因而中有1． ④由数列的连续项和表示中有19及， 可得或（得或． 若，则，得数列的连续项和表示中会少表示一个正整数； 若，可得（否则，数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）， 所以，得， 数列的连续项和表示中会少表示一个正整数．均不满足题设． 所以． ⑤由数列的连续项和表示中有18及和为19的两两互异的四个数均大于1及， 可得得或（得， 数列的连续项和表示中会少表示一个正整数）. 所以． ⑥由数列的连续项和表示中有16及和为19的两两互异的四个数均大于1， （且4：因为及， 可得（得）或得或， （得，与矛盾）或得，与矛盾）． （i）． 由数列的连续项和表示中有15（可证得15的表示中没有也没有），可得得， 这不可能）或（得，，这不可能）或（得，与矛盾）或得，再得，这不可能）． （ii）． 由数列的连续项和表示中有14，可得 得与或重复，这不可能）， 或（得， 这不可能）或（得，， 进而可得数列是，（此时，这不可能）或，3，2，1（此时，这不可能））或得， 再由数列的连续项和表示中有13， 可得数列是（但，这不可能）或（但，这不可能）） 或（得，这不可能）． 综上所述，可得欲证结论成立． 【解析】 【分析】（1）直接利用定义验证即可； （2）先考虑不符合，再列举一个合题即可； （3）先证明，再说明时不合题意，找出且满足题意的数列即可得解． 【小问1详解】 ，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛一中2024-2025学年度阶段性练习 高三数学试题 2024.12 本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 第I卷客观题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 3. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别是，已知，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分 9. 定义在上的函数的值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件 B. 若为第一象限角，则 C. 在中，若，则为锐角三角形 D. 已知，且，则 11. 在平面直角坐标系中，到定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点.已知曲线：是一条伯努利双纽线，点是曲线上一点，则（ ） A. B. C. 当时， D. 上存在两个点，使得 第II卷主观题 二､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________. 13. 一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态. 14. 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为. （1）求的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求函数的极值； （2）若，，求实数的取值范围. 18. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点.过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； 19. 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． （1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； （3）若为连续可表数列，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $