精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

厦门外国语学校2024—2025学年高二上12月月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 2. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程写出准线方程，求得双曲线一个焦点坐标，求得值，即得其方程，继而得到渐近线方程. 【详解】因的准线为， 由题意，双曲线的一个焦点为， 则有，解得，故双曲线方程为， 其渐近线方程为，即. 故选：D 4. 在数列中，，，且，则的值是（ ） A. B. 10 C. 50 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，可得数列为等差数列，设出公差，建立方程组，写出通项公式与求和公式，明确数列的单调性，可得答案. 【详解】由得，所以数列是等差数列，设公差为， 由，，可得，解得， 所以，所以， 当时，，当时，， 所以. 故选：C. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解. 【详解】由题意得，故， 如图所示： 到渐近线的距离, 则，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最小值为. 故选：D 6. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，，可推出，再利用等差数列的求和公式以及数列的单调性逐项分析，可得合适的选项. 【详解】因为，则，因为，则， 所以，，所以，，A错； ，B对； ，C错； 因为，所以数列为递减数列， 当且时，；当且时，， 所以，中最大项为，D错. 故选：B. 7. 已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ） A. B. F为的中点 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由消去并化简得， 解得， 所以， 所以，A选项正确. 直线的方程为， 令，则，故， 由于，，所以是的中点，B选项正确， ，， ，C选项正确，D选项错误. 故选：D 8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、.过向一条渐近线作垂线，垂足为.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为，则过且垂直渐近线的直线方程为，联立两直线方程求出,，再根据题意建立方程，即可求解． 【详解】根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为， 则过且垂直渐近线的直线方程为， 联立，可得,， ，又， ，， ，，又， 双曲线的方程为． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为1 C. 为递减数列 D. 为递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列及求和公式基本量运算得出及，再结合二次函数最值判断A,B,根据特殊值法判断C,作差得出数列的单调性判断D. 【详解】假设的公差为，由，所以，又，所以，， 所以，. 选项A：，故时的最小值为1，A正确； 选项B：，所以时取得最小值1，B正确； 选项C：，因为，，所以不是递减数列，C错误. 选项D：，故为递增数列，D正确； 故选：ABD. 10. 已知曲线.点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线不关于原点对称 B. 曲线存在点，使得 C. 直线与曲线没有交点 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分，的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即；不存在； ，时，曲线，即； ，时，曲线，即；画出图形如下： 对于A，由图可得曲线不关于原点对称，故A正确； 对于B，方程是以，为上下焦点的双曲线，当，时，曲线存在点，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线，则由点到直线的距离公式可得，， 所以， 又点是曲线上在第三象限内的一点，满足，即， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为和.过的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限.的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2或 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 D. 若，，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本量运算直接得出离心率判断A；结合双曲线定义判断B；结合内切圆性质判断C；结合定义及余弦定理计算可得离心率判断D． 【详解】对于A，双曲线渐近线的夹角为60°，则或者，故或，故A正确； 对于B，设，则，，， 因为，所以，即，解得， 又，，故，故B正确； 对于C，，故， 而.，故，，， 由余弦定理可知，，故，故C不正确；. 对于D，令圆切，，分别为点，，， 则，，，， 令点，而，，因此，解得， 又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线的方程为， 设直线的倾斜角为，那么，， 在中，， 在，，渐近线的斜率为.因此、均在右支上， 故，，， 如图，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出． 【详解】由等差数列的性质可得：． 对于任意的都有， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13. 抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先设，，，由题意中的光学性质可知，，再联立方程，利用韦达定理即可求直线方程，最后代入弦长公式. 【详解】由题意知，设，，，由两条平行直线之间的距离为5知． 易知AB的斜率不为0，设AB：，由得， ∴，， ∴， ∴，∴AB的方程为， ∴． 故答案为： 14. 对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为.如下，给出，，…，，在中，有，， 已知，则________，_________. 【答案】 ①. 23 ②. 【解析】 【分析】结合题意根据阶Farey数列的定义及性质分析即可求解. 【详解】分母为6的既约真分数有，，共2个； 分母为7的既约真分数有，，，，，，共6个； 分母为8的既约真分数有，，，，共4个， 由题意得，所以. 与100互质的数是不能被2和5整除的数，即个位是1，3，7，9的数都与100互质， 所以与100互质的数共有40个，即分母为100的既约真分数有40个， 又，所以， 由题意可知阶Farey数列，每一阶最中间的数都为，且关于对称的两数之和为1， 所以利用倒序相加法可得，所以. 故答案为：23； 【点睛】方法点睛：解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知动点与两个定点和满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出动点坐标，利用两点之间距离公式，根据题目中的等式，可得答案； （2）根据弦长公式求得弦心距，利用分类讨论，结合点到直线距离公式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 设点，∵，即，则， 化简得，所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，∵直线被曲线截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是1，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即：. 综上：直线的方程为或. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 连接，四边形是菱形，则，又，分别为，的中点 所以，故， 又为等边三角形，为的中点，则 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故 又，，，平面，可得平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，根据已知可得，，再由面面垂直的性质有，最后利用线面垂直的判定证结论； （2）由题设，构建空间直角坐标系，向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，为等边三角形， 是的中点，则，由（1）得平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取，所以， 由（1）得是平面的一个法向量， ， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知数列的前项和为，，. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解. 【小问1详解】 由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是： 18. 已知抛物线的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的方程为：； 【小问2详解】 （i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。 19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H的方程； （2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 【答案】（1） （2）存在使得取得最小值4，理由如下： 因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）， 所以，整理得， 即，即为曲线的方程. 设，则， ， 得， 当且仅当即时，等号成立， 所以存在使得取得最小值4. （3）证明：由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：， 如图： AI 设，则，解得， 即，所以， 代入双曲线方程，得， 整理得，即， 解得或. 当时，，若，则， ，消去得，方程有唯一的解， 同理，若，得，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点； 当时，，消去得， ，方程有唯一的解， 故直线与曲线H有且仅有一个公共点. 综上，直线与曲线H有且仅有一个公共点. 【解析】 【分析】（1）把点满足的条件用坐标表示出来，整理化简即可； （2）把点满足的条件用坐标表示出来整理可得的方程，利用两点表示斜率公式求出，进而，结合基本不等式计算即可求解； （3）由（2）得曲线：，设，求出点的坐标，进而可得的坐标，代入双曲线方程，求出的关系，联立双曲线方程，整理化简可得一元二次方程，利用即可证明. 【小问1详解】 当时，定直线：，比值为：. 设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为， 即， 两边平方，整理得：，即为曲线的方程. 【小问2详解】 存在使得取得最小值4，理由略； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2024—2025学年高二上12月月考 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，，，且，则的值是（ ） A. B. 10 C. 50 D. 70 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 7. 已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ） A. B. F为的中点 C. D. 8. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、.过向一条渐近线作垂线，垂足为.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为1 C. 为递减数列 D. 为递增数列 10. 已知曲线.点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线不关于原点对称 B. 曲线存在点，使得 C. 直线与曲线没有交点 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则 11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为和.过的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限.的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2或 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 D. 若，，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为_________. 13. 抛物线具备有趣的光学性质：由焦点射出的光线经过抛物线反射后，会沿着平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F，AB为抛物线的过点F的一条弦，若从点F发出的光线分别在点A和点B反射后得到的两条平行直线之间的距离为5，则______． 14. 对于任意给定的一个正整数，将分母小于或等于的既约（最简）真分数按照自左至右递增排列，并在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，该数列称为阶Farey数列，记为，其项数记为，各项的和记为.如下，给出，，…，，在中，有，， 已知，则________，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知动点与两个定点和满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，，. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知抛物线的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 19. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H的方程； （2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $