平面向量（范围与最值问题）课件-2025届高三数学二轮复习

平面向量 二轮专题复习 （平面向量中的范围与最值问题） 授课人： 1 目录 CATALOG 利用基本不等式 01 构造目标函数 02 建立坐标系 03 利用几何意义 04 课后练习 05 2 知识点精讲 平面向量的最值和范围问题是高中数学的热点问题，该类问题往往给出相应的条件，求相关量的最值或范围.由于问题中涉及平面向量，因此问题具有了“数”与“形”的双重特性，可从几何、函数视角进行问题突破.同时，化归转化、数形结合是问题求解的核心思想，具体求解可把握平面向量的几何意义，利用运算法则进行函数转化. 往往问题的切入视角不同，解题的方法也不同，深入探究问题的解法具有极大的意义.平面向量的最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，故方法也可分为代数与几何两大类，其中代数类方法有基本不等式法、构造目标函数法，几何法包括直角坐标系法、几何意义法. 3 01 利用基本不等式 4 知识点精讲 方法一：利用基本不等式 利用基本不等式平面向量中的最值和范围问题可转化为相应的不等式问题，从而可利用不等式性质来求解，同时可借助基本不等式来加以简化.实际解题时可按照如下步骤进行；第一步，结合向量的基本概念及其运算法则将问题转化为相应的等式关系；第二步，找到等式中的不等关系，并利用基本不等式的性质求最值. 5 经典例题 已知平面向量的夹角为，且，则的最大值为________． 6 经典例题 【答案】2 【解题思路】对两边平方后得到，利用基本不等式求出. 【解题过程】，两边平方得：， 即， 变形为， 其中，当且仅当时等号成立， 所以， 解得：故答案为：2 7 经典例题 在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8 经典例题 【答案】D 【解题思路】由已知可求，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求的最大值． 【解题过程】解：如图，在中，边的中点为D 由，可得： ， ，可得：， ， ，可得：，（当且仅当时等号成立） 则的最大值为4. 故选：D. 9 经典例题 已知是边长为2的等边三角形，若点在边上，则的最小值为___________；若点是区域内一点(不包括边界)，且，则的取值范围是___________. 10 经典例题 【答案】          【解题思路】①令，，则，，，有基本不等式求出mn的最大值，再由可求的最小值； ②以所在的直线为轴，以为原点建立直角坐标系，求出各点坐标，设，则，根据表示出x和y的关系，根据向量数量积的坐标表示计算，将式子内x替换为y，根据y的范围即可求的范围. 【解题过程】 令，，则，，， ，， ，当且仅当m＝n时取等号， 即当E是AB时，取最小值； 11 经典例题 (2)以所在的直线为轴，以为原点建立直角坐标系，如图所示， 则，，，设， 是区域内一点(不包括边界)，且， ， ，， ，， ， ， 的取值范围是. 故答案为：－1；﹒   12 02 构造目标函数 13 知识点精讲 方法二：构造目标函数 求解平面中的最值或范围问题时也可以采用构造目标函数的方法，即根据向量的几何关系设定变量，由向量运算建立关于问题的函数关系，通过函数特性分析来求解.该方法的代数属性较强，运算过程相对较为复杂.具体流程如下：由题设条件来设定变量；第二步，利用平面向量的运算法则进行函数关系式推导；第三步，利用函数性质分析最值. 14 经典例题 在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，，且.若函数f(m)(m∈R)的最小值为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 15 经典例题 【答案】C 【解题思路】由题意可得||的最小值为AB边上的高，由函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为，可求出∠ACB＝120°，即可求出||的最小值. 【解题过程】法一：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线， 所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点， 且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为. 又AC＝1，所以∠ACB＝120°，在中，， 从而可得||的最小值为. 故选：C. 16 经典例题 法二：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线， 所以||的最小值为AB边上的高. 设的夹角为，所以 依题，可得，因为是钝角，所以. 在中，， 从而可得||的最小值为. 故选：C. 17 经典例题 在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18 经典例题 【答案】D 【解题思路】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解 【解题过程】设为斜边上的高，则圆的半径， 设为斜边的中点，，因为，， 则 ， 所以的最大值为 故选：D 19 经典例题 已知正方形ABCD的边长为4，中心为O，圆O的半径为1，MN为圆O的直径．若点P在正方形ABCD的边上运动，则的取值范围是_____． 20 经典例题 【答案】 【解题思路】求出、， 利用和 的取值范围计算可得答案. 【解题过程】如图，因为正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为1，所以， 即，，， 所以 ， 所以，即. 故答案为：. 21 经典例题 中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为___________. 22 经典例题 【答案】6 【解题思路】首先根据平面图形的几何性质求出外接圆半径长度与，然后将向量，，用向量，，线性表示. 再根据数量积运算得，最后根据的取值范围求得的最大值即可 【解题过程】中，，是外接圆圆心，如图所示： 则，又因为，所以，即外接圆的半径. ，，即. 故得， 因为、不重合，所以向量与的夹角范围为，所以， 所以，即为的中点时， 取得最大值为. 故答案为： 23 03 建立坐标系 24 知识点精讲 方法三：建立直角坐标系 建立直角坐标系直角坐标系法，即建立直角坐标系将平面向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来求最值或范围，尤其在向量的数量积问题中可利用该方法.使用直角坐标系法求解平面向量的最值或范围问题的流程如下： 第一步，根据题设建立直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第二步，将平面向量的数量积运算坐标化； 第三步，综合数学的性质方法进行简化求解，如函数性质、不等式性质等. 注意：求解的核心有三点：一是建系，求解时要充分利用图形特点，精简坐标；二是求坐标，坐标推导要充分利用几何条件、位置关系；三是最值分析，往往将向量最值问题转化为函数或不等式问题，求解时要充分利用对应特性进行分析，关注参数取值. 25 经典例题 在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 26 经典例题 【答案】C 【解题思路】以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，利用坐标法进行求解. 【解题过程】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)， 设P(x，y)，则，， ∴，当且仅当P在原点时，取等号﹒ 故选：C. 27 经典例题 已知平面向量，，满足，且，则最小值为（    ） A． B． C． D． 28 经典例题 【答案】D 【解题思路】根据，得到，不妨设，利用坐标法求解. 【解题过程】解：因为， 所以，又， 所以， 如图所示： 不妨设， 则， 所以， 因为， 所以，即， 表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上， 所以最小值为， 故选：D 29 经典例题 为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________. 30 经典例题 【答案】 【解题思路】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值. 【解题过程】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为.故答案为：. 31 经典例题 已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 32 经典例题 【答案】D 【解题思路】如图以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，则，然后表示出，求其最小值即可， 【解题过程】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 因为，，，， 所以，不妨设，， 则， 所以当时，取得最小值， 故选：D 33 04 利用几何意义 34 知识点精讲 方法四：利用几何意义 平面向量具有几何属性，向量具有一定的几何意义.求解向量最值或范围时可以采用数形结合的方法，巧妙利用向量的几何意义.具体求解时可按照如下流程进行： 第一步，结合条件进行向量关系推导； 第二步，利用向量之间的关系进行几何关系分析； 第三步，结合数形方法进行最值求解. 35 经典例题 已知平面向量，满足，，则的取值范围为________. 36 经典例题 【答案】 【解题思路】利用向量的模的计算公式，化简即可得到向量的终点的轨迹方程，进而利用数形结合，即可求解. 【解题过程】设，则，，即为，则在平面坐标系中向量的终点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的距离为，则. 故答案为： 37 经典例题 已知向量、、，且，，，，则的最小值为______． 38 经典例题 【答案】 【解题思路】根据题意，建立直角坐标系，写出、、坐标，求出终点轨迹，数形结合即可求解. 【解题过程】不妨设，，， ，则起点在原点，终点轨迹为单位圆， ∴当与同向时，最小，为. 故答案为：. 39 经典例题 已知点在单位圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 40 经典例题 【答案】B 【解题思路】先由圆周角定理得是单位圆直径两端，可知为定值，再使与同向即可取得原式的最大值. 【解题过程】因为点在单位圆上且， 所以点是单位圆直径两端， 故O为中点，所以 而当B点在PO连线的延长线上时取得最大值， 此时， 所以. 故选：B. 41 经典例题 已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 42 经典例题 【答案】C 【解题思路】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【解题过程】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示， 不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴，设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时，故选：C 43 05 课后练习 44 经典例题 已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________. 45 经典例题 【答案】 【解题思路】以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解. 【解题过程】 如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系. 因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,. 因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中. 所以,, 所以. 因为，所以. 故答案为： 46 经典例题 是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 47 经典例题 【答案】D 【解题思路】根据条件建立平面直角坐标系，表示出各点坐标，将向量转化为坐标运算，进而求出最小值. 【解题过程】 以所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则，， 则， 所以， 则 则的最小值为， 故选：D. 48 经典例题 设是内的一点，且，，，则的最小值为_________. 49 经典例题 【答案】24 【解题思路】通过建立平面直角坐标系，利用坐标法、点点到直线的距离公式进行求解. 【解题过程】 如图，以AB中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，， 所以，，，设，则 ，，， 所以 ，当时，取到等号. 故答案为：24. 50 THANKS 谢谢 51 $$