专题课-向量第四讲（等和线、极化恒等式、矩形大法）课件-2025届高三数学二轮复习

平面向量 二轮专题复习 （极化恒等式、等和线定理、矩形大法） 授课人： 1 目录 CATALOG 等和线问题 01 极化恒等式 02 矩形大法 03 课后练习 04 2 01 等和线 3 知识点精讲 1．平面向量系数和（等和线） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 4 知识点精讲 5 知识点精讲 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 6 知识点精讲 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 7 经典例题 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 8 经典例题 【答案】A 【法一：系数和】 分析：如图 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时，最大，此时 故选A. 9 经典例题 【法二：坐标法】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是， ，若满足， 则，，所以， 设，即，点在圆上， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A. 【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 10 经典例题 边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段 (含短点)上运动，圆上及其内部的动点，设向量则的取值范围是（ ） 11 经典例题 【答案】 C 分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知 12 经典例题 如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是__________ 13 经典例题 【答案】(1, ) 解：设圆与直线相切于点，过作于直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点 在直线上的射影长度满足：， 又， 所以 而,所以 14 经典例题 已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是 A. B. C. D. 15 经典例题 【答案】B 【解析】因为是内一点,且，所以为的重心 在内 (不含边界),且当与重合时, 最小, 此时 所以,即 当与重合时, 最大,此时 所以, ,即 因为在内内且不含边界 所以取开区间,即. 16 经典例题 如图，四边形是边长为的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 17 经典例题 【答案】D 【解析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，利用求出，将求的最大值转化为求的最大值，根据线性规划可求得结果. 【详解】以为原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系：因为四边形是边长为的正方形，， 所以，，， ，， 所以， 设，则，所以， 所以，即求的最大值， 因为点为内（含边界）的动点， 所以由图可知，平移直线到经过点时，取得最大值， 所以的最大值是. 故选：D 18 02 极化恒等式 19 知识点精讲 2．极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： 20 知识点精讲 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点）   A B C M 21 知识点精讲 极化恒等式的适用条件 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化 (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题   在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下 第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点; 第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差; 第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 22 经典例题 在中，则_________. 23 经典例题 【答案】 【分析】直接构造极化恒等式的结构，即可求解. 【解析】即为和的和向量；即为和的差向量，所以原问题可转化成两向量和向量模与两向量差向量模的比.再观察条件，若利用极化恒等式可将原条件转化如下：.所以，所以，即.所以. 故答案为：3 24 经典例题 如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为___________． 25 经典例题 在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______． 26 经典例题 【解析】取的中点O， 则． 如图所示，当点P运动到点H且使与时，等号成立，故有最小值为． 27 经典例题 设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 28 经典例题 【答案】D 【分析】取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案. 【详解】如图，取的中点D，由极化恒等式可得：， 同理，，由于， 则，所以， 因为，D是的中点，于是. 故选：D. 29 经典例题 已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________． 30 经典例题 【答案】 【解析】取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，则： ． 当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．由外接圆半径为1，可求得，从而．所以的最小值是，故所求最小值为． 31 03 矩形大法 32 知识点精讲 3．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 33 经典例题 已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 34 经典例题 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以 不妨设，，，，， ， 则，， 因为，所以， 化简为：， 所以对应的点是以为圆心，半径为的圆， 所以的最小值为， 故选：B． 35 经典例题 设向量，，满足，，，则的最小值是（       ） A． B． C． D．1 36 经典例题 【答案】B 【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别 为，，设的坐标为， 因为， 所以，化简得， 表示以为圆心，为半径的圆， 则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为， 故选：B 37 经典例题 已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 38 经典例题 【答案】C 【解析】可设，， 则， 即，则，， ， 当时，取得最大值为6， 即的最大值为6． 故选：C 39 04 课后习题 40 经典例题 在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41 经典例题 【答案】B 【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此，因，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 42 经典例题 在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43 经典例题 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求得，，，，由，得到，用表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数性质求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系： 44 经典例题 四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（   ） A． B．1 C． D． 45 经典例题 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求出，由数形结合，利用线性规划求最值即可得解. 【详解】以为原点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系，如图， 设点， ∵，则， 所以，，，由于点为内（包含边界）， 所以目标函数为 ，斜率， 因为， 所以如图示，当点为点时，取得最大值，其最大值为， 故选：D． 46 THANKS 谢谢 47 $$