平面向量（奔驰定理与三角形四心）课件-2025届高三数学二轮复习

平面向量 二轮专题复习 （奔驰定理与三角形四心） 授课人： 1 目录 CATALOG 奔驰定理与四心知识点讲解 01 奔驰定理与四心综合 02 奔驰定理与其他知识点结合 03 课后练习 04 2 知识点精讲 平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本节我们学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。 奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。 3 01 奔驰定理与四心知识点讲解 4 知识点精讲 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 5 知识点精讲 三角形的内心 1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量 ()所在直线过内心（是角平分线所在直线） 常见内心的向量表示： 6 知识点精讲 破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P 满足证明P的轨迹一定通过的内心． 7 知识点精讲 三角形的外心 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 8 知识点精讲 破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 9 知识点精讲 10 知识点精讲 11 知识点精讲 12 知识点精讲 三角形的“重心” 重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 13 知识点精讲 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； 3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 14 知识点精讲 注：高线与对应边垂直 常见垂心的向量表示 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 （2） 15 02 奔驰定理与四心综合 16 经典例题 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ） （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 17 经典例题 【答案】C 【解析】试题分析：因为，所以到定点A,B,C的距离相等，所以为的外心，由，则 ，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得 ，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 18 经典例题 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 19 经典例题 【答案】B 【解析】∵ = 令= 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ∵ =，∴ ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 20 经典例题 在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 21 经典例题 【答案】 A 【解析】因为，则， 所以，即点H在边的高线所在直线上， 同理可得：， 所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心. 故选：A. 22 经典例题 已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 23 经典例题 【答案】B 【解析】分别表示方向的单位向量， 令，， 则，即， 又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上， 所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心. 故选：B. 24 经典例题 已知是所在平面内一点，且点满足 则点一定的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 25 经典例题 【答案】C 【解析】因为，所以， 即， 即可得，即是的角平分线； 同理可得是的角平分线，是的角平分线, 所以点为三条角平分线的交点，即点是的内心. 故选：C 26 03 奔驰定理与其他知识点结合 27 经典例题 已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 28 经典例题 【答案】A 【解析】 是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即=，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，， 即， 所以.故选：A 29 经典例题 奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 30 经典例题 【答案】B 【解析】延长交于点P， 是的垂心,∴ ． 同理可得，． 又， ． 又， ． 不妨设，其中． 31 经典例题 （多选）如图.为内任意一点，角A,B,C的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，，则 32 经典例题 【答案】AB 【解析】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以=， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 33 经典例题 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 34 04 课后习题 35 经典例题 点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 36 经典例题 【答案】A 【详解】由，得， 即， 则，得 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得，设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即，又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上，即是三边垂直平分线的交点，故是的外心， 故选：A 37 经典例题 (多选题)已知，在所在的平面内，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．为的外心 B．为的垂心 C．为的内心 D．为的重心 38 经典例题 【答案】BD 【详解】由题意， 所以， 即＝0，所以， 同理可得：，， 所以M为的垂心；A错误,B正确； 因为所以， 所以 设AB的中点D，则2 所以， 所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且， 所以N为的重心,C错误,D正确.故选:BD. 39 THANKS 谢谢 40 $$