7.3 定义、命题、定理（讲练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

类别 内容 示例 定义 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 命题的定义 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 对顶角相等 命题的组词 命题由题设与结论两部分组成。题设是已知事项，结论 是由已知事项推出的事项。 “对顶角相等”中题设是“两个角是对顶角”结论是“两个角相等” 命题的表达形式（改写） 通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” 命题的分类 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 对顶角相等 假命题 命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 相等的角是对顶角 注意： （1）命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定判断的句子。 （2）有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么…”的形式时,要适当地补充修饰成分，使改后的语言通顺、严谨，且意义保持不变。 【基础练习】 【练习1-1】下列句子中，属于命题的是（　　） A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线 C．同旁内角互补，两直线平行 D．已知，求a的值 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键．对一件事情作出判断的语句叫做命题，注意，假命题也是命题．根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A．是问句，不是命题，故该选项不符合题意， B．是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意， C．对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意， D．没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 【练习1-2】下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两直线平行，那么同旁内角相等 B．三角形的三个内角一定都是锐角 C．如果，那么 D．对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果两直线平行，那么同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项不符合题意； B、三角形的三个内角不一定都是锐角，故原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、如果，那么，故原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、对顶角相等，故原命题是真命题，故本选项符合题意； 故选：D 【练习1-3】命题“等角的余角相等”中的余角是（　　） A．结论的一部分 B．题设的一部分 C．既不属于结论也不属于题设 D．同属于题设和结论部分 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题题设与结论的定义：题设是已知事项，结论是已知事项推出的事项，进行逐一判断即可． 【详解】 解：“等角的余角相等”中题设是：两个等角的余角，结论是：相等， 故选B． 【练习1-4】把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……那么……”的形式：____________________ 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【解析】 【详解】把命题“两直线平行，内错角相等”改写成“如果那么”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等. 【练习1-5】命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】 解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 类别 内容 定理的定义 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 证明的定义 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 注意： 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。 【基础练习】 【练习1-1】如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．    甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 【答案】 甲 c，d 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜． （1）由取法可知，余下两个相邻，根据规则即可判断结果； （2）根据规则可知，要想自己获胜必须保证自己倒数第二次时，最后余下2个不相邻的球，由此设计方案即可． 【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，剩下a， ，，d，e，f， ，， 接着甲又取走两个球，它们是d，e，或e，f，只剩下a，，f或a，，d， ∵它们不相邻， ∴乙只能拿走一个，故甲拿走最后一个，故甲胜； 枚答案为：甲； （2）∵甲首次取走g，h二个球，还剩下a，b，c，d，e，f，， 乙取c，d，余下a，b，，，e，f，， 此时甲取a，b或e，f，余下两个相邻，乙可取完，乙胜； 若甲取a或b，那么乙取e或f，那么剩下两个不相邻，则乙胜； 若甲取e或f，那么乙取a或b，那么剩下2个球不相邻，则乙胜； 因此，乙一定要获胜，那么它首次取c，d， 故答案为：c，d． 【练习1-2】如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH=56°，∠EIB=68°，说明AB∥CD的理由． 解：因为GH是∠EGC的角平分线（ ） 所以∠EGH=∠HGC=56°（ ） 因为CD是条直线（已知） 所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（ ） 所以∠IGD=68° 因为∠EIB=68°（已知） 所以__________=__________（ ） 所以AB∥CD（ ） 【答案】角平分线的意义，平角的意义，∠IGD，∠EIB，等量代换，同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以写出解答过程中空格中需要填写的内容，本题得以解决． 【详解】 解：因为GH是∠EGC的角平分线（ 已知 ） 所以∠EGH=∠HGC=56°（角平分线的意义） 因为CD是条直线 所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（平角的意义） 所以∠IGD=68° 因为∠EIB=68° 所以__∠IGD __=__∠EIB __（等量代换） 所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 【典例】下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 【变式1-1】下列语句是命题的是（　　） A．垃级分类是一种生活时尚 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．一起向未来 【答案】A 【解析】 【详解】A. 垃级分类是一种生活时尚，对问题作出了判断，是命题，符合题意； B. 今天，你微笑了吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； C. 多彩的青春，是描述性语言，不是命题，不符合题意； D. 一起向未来，是描述性语言，不是命题，不符合题意． 故选A． 【变式1-2】下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB．其中不是命题的是____________________________________________. 【答案】④ 【解析】 【详解】 本题考查了命题的定义 一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，所以需要找到可以判断真假的语句，对各个选项各个分析即可． ①对顶角相等，是判断真假的语句，是命题； ②OA是∠BOC的平分线，是判断真假的语句，是命题； ③相等的角都是直角，是判断真假的语句，是命题； ④线段AB，不是判断真假的语句，不是命题； 所以不是命题的是④． 【典例】下列命题是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．同旁内角互补 C．相等的两个角一定是对顶角 D．同角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质对A、B进行判断；利用对顶角的定义对C进行判断；根据余角的定义对D进行判断． 【详解】 解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、同角的余角相等为真命题，正确，是真命题符合题意， 故选：D． 【变式2-1】下列四个命题中，真命题有（　　） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果x2＞0，那么x＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】 【详解】A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故A错误，为假命题； B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，故B正确，为真命题； C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故C错误，为假命题； D、如x=-2时，x2＞0，但是x<0，故D错误，为假命题， 故选A． 【变式2-2】下列命题是假命题的是（ ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直 D．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定和垂直的判定进行解答即可． 【详解】 解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题； C、如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行，原命题是假命题； D、在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，是真命题； 故选：C． 【典例】下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（    ） A．5 B．12 C．14         D．16 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵5不是偶数，且也不是4的倍数， ∴不能作为假命题的反例，故A错误； ∵12是偶数，且是4的倍数， ∴不能作为假命题的反例，故B错误； ∵14是偶数但不是4的倍数， ∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C正确； ∵16是偶数，且也是4的倍数， ∴不能作为假命题的反例，故D错误. 故选：C. 【变式3-1】举例说明命题“如果，那么．”是假命题，______，______，______．（写出一组即可） 【答案】 1 2 -2 【解析】 【分析】根据不等式的性质举反例说明即可． 【详解】 解：a=1，b=2，c=-2， 则ac＞bc，a＜b， 故答案为：1，2，-2． 【变式3-2】写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足结论的a，b的值即可. 【详解】当时，满足， ∵-5<1，不满足， ∴可作为说明命题“若，则”是假命题的反例. 故答案为：a=-5，b=1（答案不唯一） 【典例】命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-1】把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【解析】 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 【变式4-2】命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【答案】三个内角都是的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换作为新命题的条件和结论并写出对应的命题即可． 【详解】解：命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是：三个内角都是的三角形是等边三角形 故答案为：三个内角都是的三角形是等边三角形 【典例】如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【解析】 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【变式5-1】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【变式5-2】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【解析】 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【典例】如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 【变式6-1】如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 【答案】 ①② ③ 【解析】 【详解】条件：①② 结论：③ 证明：平分， ． ， ，． ．（答案不唯一） 【变式6-2】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分． 若选择四个论断中的三个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个命题，请将你的选择填在下面框中并证明．（只写一种情况即可）    我选择的三个题设序号是：______ 我选择的结论序号是：______ 证明： 【答案】①②③；④，证明见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：①，②，③平分， 求证：④平分． 证明：如图所示，    ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 故答案为：①②③；④； 【典例】某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ） A．若甲对，则乙对 B．.若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对 【答案】B 【解析】 【详解】 对于选项A，若甲对，设只参加一项的人数为15人，可知两项都参加的人数为5人，则乙错，所以选项A不符合题意； 对于选项C，若乙错，设两项都参加的人数为5人，可知只参加一项的人数为15人，则甲对，所以选项C不符合题意； 对于选项D，若甲错，设只参加一项的人数为14人，可知两项都参加的人数为6人，则乙错，所以选项D不符合题意. 故选B. 【变式7-1】甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．则小强已经赛了 __盘． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据甲已经赛了4盘，可判断甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，再根据丁赛了1盘，乙赛了3盘，可判断乙与甲、丙、小强各下了一盘，再根据丙赛了2盘，可判断小强赛了两盘，是与甲和乙赛的． 【详解】解：由于甲已经赛了4盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘； 因为丁赛了1盘，则丁这一盘是与甲赛的，没有与其他人赛； 因为乙赛了3盘，则乙与甲、丙、小强各下了一盘； 因为丙赛了2盘，则丙是与甲和乙赛的． 所以小强赛了两盘，是与甲和乙赛的． 故答案为：2． 【变式7-2】字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 方法技巧： 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。 1.下列语句中是命题的是（ ） A．作线段AB=CD B．两直线平行 C．对顶角相等 D．连接AB 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断 【详解】 解：A、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题； B、没有对一件事情做出判断，所以不是命题； C、对顶角相等是命题，故C正确； D、连接AB，是描叙性语言，它不是命题． 故选：C． 2.下列命题中，是假命题的是（ ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题； B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题； C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故这个命题是假命题． 故选：D． 3.下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】解：150°是钝角，60°是锐角，150°-60°=90°，90°是直角不是锐角，所以一个钝角与一个锐角的差是锐角的反例是， 故选D． 4.能说明命题“对于任何有理数，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查举反例，分别把各个选项的数值代入，使不成立的即为反例． 【详解】解：A、当时，，不成立，符合题意； B、当时，，成立，不符合题意； C、当时，，成立，不符合题意； D、当时，，成立，不符合题意； 故选：A． 5.命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个角相等”写在那么的后面即可． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选B． 6.将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是 A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等 C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 【答案】B 【解析】 【分析】原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”， 命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故选B． 7.图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（i，j为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词，，，则下列相关表述错误的是（ ） A．当时，只需要选择这本书就可以找到所有的关键词 B．当时，从这本书查不到需要的关键词 C．当a2j，a5j，a6j全是1时，可以从这本书查到需要的关键词 D．当时，从这本书一定查不到需要的关键词 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意aij的值要么为1，要么为0， A、a21+a51+a61=3，说明a21=1，a51=1，a61=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中， 而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故A表述正确； B、当a22+a52+a62＜3时，则a22、a52、a62是必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有， 从而不选择B2这本书，故B表述错误； C、当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j=1，a5j=1，a6j=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书Bj中， 则选择Bj这本书，故C表述正确； D、根据前述分析可知，只有当a22+a52+a62=3时，才能选择B2这本书，而a22+a52+a62的值可能为0、1、2、3， 故D表述正确． 故选：B． 8.下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【解析】 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题 9.下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的是_____（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【详解】 分析：分别根据平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论对各小题进行逐一分析即可． 详解：①符合对顶角的性质，故①正确； ②两直线平行，内错角相等，故②错误； ③符合平行线的判定定理，故③正确； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故④错误． 故答案为①③． 点睛：本题考查的是平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论，熟知以上各知识点是解答此题的关键． 10.一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，则命题“同角的余角相等”的条件是________________． 【答案】两个角是同一个角的余角 【解析】 【详解】解：“同角的余角相等”改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等”． 所以：“同角的余角相等”的条件是：两个角是同一个角的余角； 故答案为：两个角是同一个角的余角． 11.命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 两个角互为邻补角 这两个角互补 真 【解析】 【分析】本题考查命题与定理、判断命题的真假，把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果的后面是题设，那么的后面是结论写出即可．把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键． 【详解】解：命题“邻补角互补”可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补； 则题设是：两个角互为邻补角，结论是：这两个角互补.这是一个真命题， 故答案为：两个角互为邻补角；这两个角互补；真. 12.下列命题中，其逆命题成立的是__．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】①④ 【解析】 【详解】 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再提示逆命题是否为真命题，需要分别提示各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． ①两直线平行，同旁内角互补，正确； ②如果两个角相等，那么它们是直角，错误； ③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误； ④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，正确． 故答案为①④． 13.如图，已知在△ABC中，∠1=∠2． （1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？ 【答案】（1）AC∥BE；（2）∠1=∠ABE或∠1=∠DBE；（3）是真命题 【解析】 【详解】 （1）AC∥BE； （2）∠1=∠ABE或∠1=∠DBE； （3）是真命题，理由如下： 因为BE是△ABC的外角平分线， 所以∠ABE=∠DBE， 又∵∠ABD是三角形ABC的外角， 所以∠ABD=∠1+∠2， 即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2， 又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2， 所以∠ABE=∠1 所以AC∥BE 14.描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要______小时． 【答案】 【解析】 【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可． 【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时）， 故答案为：． 15.阅读下面材料： 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角． 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例） 【答案】详见解析 【解析】 【分析】举反例时，画出两个互补且不是同旁内角的角即可． 【详解】 解：如图， ∠1+∠2＝180°； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 16.命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角 (1)写出这个命题的逆命题； (2)判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角” (2)假命题，反例：两个角都是直角 【解析】 【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可． （2）举出反例，即可证明命题为假命题． 【详解】（1）原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”． （2）∵互补的两个角可以都为直角， ∴“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题． 反例是“两个角都是直角”． 17.判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长到点； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于的数是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【解析】 【分析】（1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断； （2）根据命题的定义进行判断； （3）根据命题的定义和补角的定义进行判断； （4）根据命题的定义得到平方后等于的数是是命题，然后利用的平方等于判断它为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行是真命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两直线平行； （2）延长到点不是命题； （3）同角的补角相等是真命题；写成“如果…那么…”的形式为∶如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等； （4）∵，， ∴平方后等于的数是是假命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数的平方等于，那么这个数为． 18.补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【解析】 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 19.用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 【解析】 【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【详解】解：假设所求证的结论不成立， 即． 过点A作直线，使与所成的与相等，则， 所以直线与直线不重合． 但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立． 所求证的结论成立， 故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，． 20.如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和． (1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论； (2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（                ），那么（                ）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)两条直线平行，内错角的角平分线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质： （1）根据平行线的性质可得，再结合角平分线的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：．证明如下： （已知） （两直线平行，内错角相等） 射线、分别平分和（已知） ，（角平分线的定义） （已证） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （2）解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线平行． 故答案为：两条直线平行，内错角的角平分线平行． 21.（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 22.如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 23.某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 4 乙 3 丙 2 丁 （1）则甲同学错的是第 题； （2）丁同学的得分是 ； （3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）． 【答案】（1）5；（2）3；（3）A 【解析】 【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论; (2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论． (3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论． 【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错了第2题,那么其余四道全对, 针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第3题时,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第5题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的, 针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分, 针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为5; （2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错了第2题,那么其余四道全对, 针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第3题时,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第5题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的, 针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分, 针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为3; （3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等, 故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）. 1.（2022•上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 2.（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D． 【详解】解：A．当，，时，，故A错误； B．当，，时，，故B错误； C．整理可得，故C错误； D．整理可得，故D正确； 故选：D． 3.（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是___________． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题是： “如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 4.（2020·北京·中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______． 【答案】丙，丁，甲，乙 【解析】 【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可． 【详解】解：丙先选择：1，2，3，4． 丁选：5，7，9，11，13． 甲选：6，8． 乙选：10，12，14． ∴顺序为丙，丁，甲，乙． （答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 类别 内容 示例 定义 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 命题的定义 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 对顶角相等 命题的组词 命题由题设与结论两部分组成。题设是已知事项，结论 是由已知事项推出的事项。 “对顶角相等”中题设是“两个角是对顶角”结论是“两个角相等” 命题的表达形式（改写） 通常写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等” 命题的分类 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 对顶角相等 假命题 命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 相等的角是对顶角 注意： （1）命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定判断的句子。 （2）有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么…”的形式时,要适当地补充修饰成分，使改后的语言通顺、严谨，且意义保持不变。 【基础练习】 【练习1-1】下列句子中，属于命题的是（　　） A．直线和垂直吗？ B．过线段的中点作的垂线 C．同旁内角互补，两直线平行 D．已知，求a的值 【练习1-2】下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两直线平行，那么同旁内角相等 B．三角形的三个内角一定都是锐角 C．如果，那么 D．对顶角相等 【练习1-3】命题“等角的余角相等”中的余角是（　　） A．结论的一部分 B．题设的一部分 C．既不属于结论也不属于题设 D．同属于题设和结论部分 【练习1-4】把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……那么……”的形式：____________________ 【练习1-5】命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 类别 内容 定理的定义 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 证明的定义 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 注意： 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。 【基础练习】 【练习1-1】如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．    甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 【练习1-2】如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH=56°，∠EIB=68°，说明AB∥CD的理由． 解：因为GH是∠EGC的角平分线（ ） 所以∠EGH=∠HGC=56°（ ） 因为CD是条直线（已知） 所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（ ） 所以∠IGD=68° 因为∠EIB=68°（已知） 所以__________=__________（ ） 所以AB∥CD（ ） 【典例】下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【变式1-1】下列语句是命题的是（　　） A．垃级分类是一种生活时尚 B．今天，你微笑了吗？ C．多彩的青春 D．一起向未来 【变式1-2】下列语句∶①对顶角相等；②OA是∠BOC的平分线；③相等的角都是直角；④线段AB．其中不是命题的是____________________________________________. 【典例】下列命题是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．同旁内角互补 C．相等的两个角一定是对顶角 D．同角的余角相等 【变式2-1】下列四个命题中，真命题有（　　） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④如果x2＞0，那么x＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】下列命题是假命题的是（ ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直 D．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条 【典例】下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（    ） A．5 B．12 C．14         D．16 【变式3-1】举例说明命题“如果，那么．”是假命题，______，______，______．（写出一组即可） 【变式3-2】写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例 . 【典例】命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【变式4-1】把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【变式4-2】命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【典例】如图所示，，那么 ，依据是 ． 【变式5-1】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【变式5-2】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【典例】如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【变式6-1】如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 【变式6-2】如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分． 若选择四个论断中的三个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个命题，请将你的选择填在下面框中并证明．（只写一种情况即可）    我选择的三个题设序号是：______ 我选择的结论序号是：______ 证明： 【典例】某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人” ；乙说：“两项都参加的人数小于5人” .对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（ ） A．若甲对，则乙对 B．.若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对 【变式7-1】甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．则小强已经赛了 __盘． 【变式7-2】字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 方法技巧： 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。 1.下列语句中是命题的是（ ） A．作线段AB=CD B．两直线平行 C．对顶角相等 D．连接AB 2.下列命题中，是假命题的是（ ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3.下列选项中，可以作为命题“一个钝角与一个锐角的差是锐角”的反例是（ ） A． B． C． D． 4.能说明命题“对于任何有理数，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 5.命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 6.将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是 A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等 C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 7.图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（i，j为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词，，，则下列相关表述错误的是（ ） A．当时，只需要选择这本书就可以找到所有的关键词 B．当时，从这本书查不到需要的关键词 C．当a2j，a5j，a6j全是1时，可以从这本书查到需要的关键词 D．当时，从这本书一定查不到需要的关键词 8.下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 9.下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的是_____（填序号） 10.一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，则命题“同角的余角相等”的条件是________________． 11.命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 12.下列命题中，其逆命题成立的是__．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 13.如图，已知在△ABC中，∠1=∠2． （1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线； （3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不变”，请你把（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？ 14.描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要______小时． 15.阅读下面材料： 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角． 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例） 16.命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角 (1)写出这个命题的逆命题； (2)判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． 17.判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长到点； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于的数是． 18.补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 19.用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 20.如图，已知两平行直线、被直线所截，射线、分别平分和． (1)判断与之间的位置关系，并证明你的结论； (2)由（1）的结论可以得到一个命题：如果（                ），那么（                ）． 21.（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 22.如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 23.某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 4 乙 3 丙 2 丁 （1）则甲同学错的是第 题； （2）丁同学的得分是 ； （3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）． 1.（2022•上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2.（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是___________． 4.（2020·北京·中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______． 学科网（北京）股份有限公司 $$