寒假复习2 函数及其性质-2025年高一寒假数学人教A版（2019）必修第一册

复习2（函数及其性质） 一、选择题 1．函数的定义域是( ) A. B. C. D. 2．已知函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 3．已知函数是R上的奇函数,且当时,,则当时有( ) A. B. C. D. 4．函数在上的最小值为( ) A.2 B. C. D.3 5．若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 6．已知函数，则函数的图象( ) A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于点对称 D.关于点对称 7．若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为( ) A. B. C. D. 8．若满足“对定义域内任意实数a，b，都有”，则是( ) A. B. C. D. 9．已知函数的图像关于直线对称,当时,恒成立,设,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 10．某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元,每生产一台需增加投入20万元,若年销售收入（单位：万元）关于年产量x（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时,年产量x为( ) A.50 B.80 C.100 D.120 11．已知函数的图像如图所示,若在上单调递减,则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 12．已知函数是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 13．函数是R上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 14．定义在R上的函数：，都有，且对任意，都有，若，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 15．已知是定义在R上的函数,的图象关于点对称,对任意,,都有.若,则实数a的取值范围为( ) A.或 B.或 C. D.或 16．已知函数定义域为R,且,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 17．已知，则( ) A. B. C. D.当， 18．已知函数，下列关于函数的结论正确的是( ) A.的定义域是R B.的值域是 C.若，则 D.的图象与直线有一个交点 19．下列说法正确的是( ) A.已知,则; B.已知,则; C.已知一次函数满足,则; D.定义在R上的函数满足,则 20．已知函数的定义域为R,且为偶函数,是奇函数,则( ) A. B. C. D. 21．若定义域为R，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是( ) A. B. C. D. 22．已知定义在R上的奇函数满足,若,则( ) A.4为的一个周期 B.的图象关于直线对称 C. D. 三、填空题 23．已知函数的定义域是，则的定义域是_________. 24．函数为奇函数，最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为____. 25．已知函数，若，则____. 26．函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为________. 27．若函数在R上为增函数,则a取值范围为_____________. 28．函数对任意都有,则a的取值范围是___. 四、解答题 29．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值. 30．已知定义域为R的奇函数的图像经过点. （1）求的解析式; （2）若,求的值; （3）证明:. 31．已知函数. (1)若在上单调递减,求t的取值范围; (2)设函数在区间上的最小值为,求的表达式; (3)对(2)中的,当,时,恒有成立,求实数m的取值范围. 32．已知函数; （1）判断函数的奇偶性; （2）判断函数的单调性; （3）若,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习2（函数及其性质）参考答案 一、选择题 1．函数的定义域是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意得,解得且, 所以函数的定义域为.故选:C 2．已知函数的定义域为,则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为的定义域为,所以在中,,则, 则在中,,则. 又,所以的定义域为. 故选：B. 3．已知函数是R上的奇函数,且当时,,则当时有( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：设,则, 因为当时, 又函数是R上的奇函数 故当时有故选：B. 4．函数在上的最小值为( ) A.2 B. C. D.3 答案：B 解析：在上单调递减，所以当时取最小值为，故选B. 5．若函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为，所以的对称轴为， 又在上单调递减，则在上单调递增， 又因为，由对称性可得， 所以，，即.故选：D 6．已知函数，则函数的图象( ) A.关于点对称 B.关于点对称 C.关于点对称 D.关于点对称 答案：A 解析：函数的定义域为，又， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 又的图象是由的图象向右平移1个单位， 再向上平移1个单位得到，所以函数的图象关于点对称.故选：A 7．若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且. 所以或，即或，解得或，综上，满足原不等式的x的取值范围是.故选：A 8．若函数满足“对定义域内任意实数a，b，都有”，则可以是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 9．已知函数的图像关于直线对称,当时,恒成立,设,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为当时,恒成立, 所以在上单调递减, 又的图像关于直线对称,所以, 因为,所以,即.故选:A 10．某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元,每生产一台需增加投入20万元,若年销售收入（单位：万元）关于年产量x（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时,年产量x为( ) A.50 B.80 C.100 D.120 答案：B 解析：由题意,设该公司所获年利润为（单位：万元）,当时,, 所以当时,取到最大值; 当时,, 单调递减, 所以. 综上所述,当时,该公司所获年利润最大.故选：B. 11．已知函数的图像如图所示,若在上单调递减,则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：由图可知在,上单调递减, 则或,得或.故选:B. 12．函数是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为函数是R上的单调递增函数, 所以,解得,所以实数a的取值范围是.故选:D. 13．函数是R上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 答案：D 解析：因为，所以，所以函数的周期是2.又在定义域R上是偶函数，在上是减函数，所以函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是先减后增的函数.故选D项. 14．已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. .故选：A 15．已知是定义在R上的函数,的图象关于点对称,对任意,,都有.若,则实数a的取值范围为( ) A.或 B.或 C. D.或 答案：B 解析：因为是定义在R上的函数,的图象关于点对称, 所以为奇函数,, 因为,即,所以, 构造函数,则有,所以在R上单调递增, 因为,所以为奇函数, 变形, 则有,即, 所以,解得:或,故选:B. 16．已知函数定义域为R,且,若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：函数的定义域为R,当时,, 令函数,对任意的,恒成立, 因此函数在上单调递增, 当时,则,解得,因此; 当时,函数在单调递增,因此; 当时,则恒成立,因此, 实数a的取值范围是.故选：B. 二、多项选择题 17．已知，则( ) A. B. C. D.当， 答案：ACD 解析：因为， 所以，即，故A正确； 所以，，，故B错误； 所以，故C正确； 当时，， 所以，故D正确 故选：ACD. 18．已知函数，下列关于函数的结论正确的是( ) A.的定义域是R B.的值域是 C.若，则 D.的图象与直线有一个交点 答案：BCD 解析：A选项，的定义域是，所以A选项错误. B选项，当时，， 当时，，， 所以的值域是，所以B选项正确. C选项，由B选项的分析可知，若， 则，解得，所以C选项正确. D选项，画出的图象如下图所示，由图可知，D选项正确. 故选：BCD 19．下列说法正确的是( ) A.已知,则; B.已知,则; C.已知一次函数满足,则; D.定义在R上的函数满足,则 答案：ABD 解析：对于A,因为, 所以,故正确; 对于B,因为,因为, 所以,故正确; 对于C,设, 则, 所以,解得或, 所以或,故错误; 对于D,因为定义在R上的函数满足①, 所以②, 由①+②,得, 所以,故正确. 故选:ABD. 20．已知函数的定义域为R,且为偶函数,是奇函数,则( ) A. B. C. D. 答案：ABD 解析：对A,由是奇函数,得,即,A正确. 对C,由题得,得, 则的图像关于点对称,所以,C错误. 对BD,由为偶函数,得, 即,得 , 所以,B,D正确. 故选:ABD. 21．已知函数定义域为R，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是( ) A. B. C. D. 答案：BD 解析：因为为偶函数，所以， 函数关于对称， 因为为奇函数，所以，函数关于点对称， 因为函数定义域为R，所以，B正确； 又因为函数关于对称，所以， 由可得，令，，D正确； 可构造函数满足题意， 此时,，AC错误； 故选：BD 22．已知定义在R上的奇函数满足,若,则( ) A.4为的一个周期 B.的图象关于直线对称 C. D. 答案：ABC 解析：对于A：函数为奇函数,则, 则, 则的一个周期为4,故A正确; 对于B：,则函数关于对称,故B正确; 对于C：的一个周期为4, , 令中的,则, 函数为定义在R上奇函数,,,故C正确; 对于D：的一个周期为4, , 函数为奇函数,,,故D错误; 故选：ABC. 三、填空题 23．已知函数的定义域是，则的定义域是_________. 答案： 解析：由函数的定义域是， 得，则， 由，解得， 所以的定义域是. 故答案为： 24．已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为____. 答案：2 解析：奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0， 所以函数最大值和最小值之和为0， 则函数的最大值和最小值之和为2. 故答案为：2. 25．已知函数，若，则____. 答案：-3 解析：令，则为奇函数， 因为，所以，， 所以， 故答案为：-3 26．已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为________. 答案： 解析：函数是偶函数，则，即， 整理得，而x不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为：. 27．若函数在R上为增函数,则a取值范围为_____________. 答案： 解析：函数在R上为增函数,则需, 解得,故填. 28．函数满足对任意都有,则a的取值范围是__________________. 答案： 解析：由可知函数在R上单调递增, 所以, 解得, 故答案为： 四、解答题 29．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值. 答案：(1); (2)答案见解析. 解析：(1)设，因为，所以， 即， 根据，即， 解得，，所以； (2)函数，其对称轴为， 当即时，区间为减区间， 最小值为； 当，即时，取得最小值1； 当，即时，区间为增区间， 取得最小值. 综上可得时，最小值为； 时，最小值为1； 时，最小值为. 30．已知定义域为R的奇函数的图像经过点. （1）求的解析式; （2）若,求的值; （3）证明:. 答案：（1） （2）83 （3）证明见解析 解析：（1）由题意得得 所以. 经检验为奇函数,故. （2）由题意得,则, 所以. （3）因为在R上均单调递增, 则在R上单调递增,而, 根据“川”字型函数特点知的值域为R. 由（2）可得 , 所以. 又在R上单调递增,所以. 31．已知函数. （1）若在上单调递减,求t的取值范围; （2）设函数在区间上的最小值为,求的表达式; （3）对（2）中的,当,时,恒有成立,求实数m的取值范围. 答案：（1） （2） （3） 解析：（1）函数开口向上,对称轴为, 若在上单调递减,则,即t的取值范围为; （2）因为,, 当时,在上单调递增,所以; 当时,在上单调递减,所以; 当时,; 所以; （3）当时,则, 因为当,时,恒有成立, 所以当,恒有成立, 令,,则, 当,即时,,解得,所以; 当,即时,,解得,所以; 综上可得. 32．已知函数; （1）判断函数的奇偶性; （2）判断函数的单调性; （3）若,求实数m的取值范围. 答案：（1）奇函数; （2）单调增区间为,; （3）或 解析：（1）由得,或, 又, 故函数是奇函数; （2）令,其在上单调递增, 又在上单调递增, 根据复合函数的单调性可知在上单调递增, 又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增, 所以函数的单调增区间为,; （3）,且函数在上单调递增得, 解得或. 学科网（北京）股份有限公司 $$