平面向量的概念及其运算 专项训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的概念及其运算 一、选择题 1．下列说法： ①零向量是没有方向的向量; ②零向量的方向是任意的; ③零向量与任意一个向量共线. 其中,正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2．下列命题中正确的是( ) A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量 C.若为实数，则向量与方向相同 D.单位向量的模都相等 3．如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是( ) A.与 B.与 C.与 D. 4．在中，点D在直线上，且满足，则( ) A. B. C. D. 5．下列化简结果错误的是( ) A. B. C. D. 6．如图,在平行四边形ABCD中,下列计算不正确的是( ) A. B. C. D. 7．已知向量、的夹角为，，，则( ) A.4 B.5 C. D. 8．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是( ) A.与同向 B. C.且 D. 二、多项选择题 9．下列命题正确的是( ) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线 D.若,,则 10．关于非零向量,,下列命题中正确的是( ) A.若,则. B.若,则. C.若,则. D.若,,则. 11．下列结论恒为零向量的是( ) A. B. C. D. 12．下列四个结论正确的是( ) A.任意向量,,若,则或或 B.若空间中点O,A,B,C满足,则A,B,C三点共线 C.空间中任意向量,,都满足 D.若,,则 三、填空题 13．已知单位向量,满足,则__________. 14．若向量、满足,,,则__________. 15．非零向量，满足，，则向量，夹角的余弦值为________. 16．中,M为边上一个动点,若,则的最小值为_________. 四、解答题 17．如图所示，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点的两点分别为始点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量；(3)试写出与相等的所有向量. 18．已知菱形ABCD的边长为2，求向量的模. 19．化简： （1）. （2）. 20．已知向量,,. (1)求证:A,B,D三点共线. (2)若,求x的值. 21．已知向量,满足,,. (1)求与的夹角的余弦值; (2)求. 22．设两个非零向量与不共线. (1)若，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和反向共线. 23．如图,在中,已知,,,M,N分别为,上的两点,,,相交于点P． (1)求的值; (2)求证：． 24．如图,在中,,,D为中点,E为上一点,且,的延长线与的交点为F. (1)用向量与表示 和 (2)用向量与表示 (3)求出的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量的概念及其运算参考答案 一、选择题 1．下列说法： ①零向量是没有方向的向量; ②零向量的方向是任意的; ③零向量与任意一个向量共线. 其中,正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：由零向量定义及性质知：其方向任意,且与任意向量共线,故①错误,②③正确; 故选：C. 2．下列命题中正确的是( ) A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量 C.若为实数，则向量与方向相同 D.单位向量的模都相等 答案：D 解析：对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 选项B：例如，是非零向量，可知，是共线向量但不是相等向量，故B错误； 选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 3．如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是( ) A.与 B.与 C.与 D. 答案：D 解析：因为,则四边形是平行四边形,结合题图, ,A错误; ,B错误; 与方向不相同,C错误; ,D正确.故选:D. 4．在中，点D在直线上，且满足，则( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为， 所以 故选：A 5．下列化简结果错误的是( ) A. B. C. D. 答案：B. 解析：对A，原式，正确； 对B，原式，错误； 对C，原式，正确； 对D，原式，正确. 故选：B. 6．如图,在平行四边形ABCD中,下列计算不正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据向量加法的平行四边形法则知,故A正确; 根据向量减法的三角形法则知,故B正确; ,故C错误; ,故D正确. 故选:C. 7．已知向量、的夹角为，，，则( ) A.4 B.5 C. D. 答案：B 解析：由向量、的夹角为，，，得出. 则. 故选：B. 8．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是( ) A.与同向 B. C.且 D. 答案：A 解析：由于分别表示与同向的单位向量，因此的充要条件是与同向. 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A. 二、多项选择题 9．下列命题正确的是( ) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线 D.若,,则 答案：BCD 解析：A.零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误; B.由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确; C.因为,是单位向量,只有当与是相反向量,即与反向共线才成立,故C正确; D.由向量相等的定义知D正确; 故选：BCD. 10．关于非零向量,,下列命题中正确的是( ) A.若,则. B.若,则. C.若,则. D.若,,则. 答案：BD 解析：对于A,不能得到,的方向,故A错误, 对于B,若,则,B正确, 对于C,向量不能比较大小,故C错误, 对于D,若,,则,D正确, 故选:BD 11．下列结论恒为零向量的是( ) A. B. C. D. 答案：BCD 解析：对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确 故选：BCD 12．下列四个结论正确的是( ) A.任意向量,,若,则或或 B.若空间中点O,A,B,C满足,则A,B,C三点共线 C.空间中任意向量,,都满足 D.若,,则 答案：AB 解析：对A：因为,若,则或或, 即或或,故A正确; 对B：因为,时,A,B,C三点共线,故B正确; 对C：因为两个向量的数量积是实数,故是与共线的向量, 是与共线的向量,所以未必成立,故C错误; 对D：当时,对任意向量,,,都成立,但未必成立,故D错误. 故选：AB. 三、填空题 13．已知单位向量,满足,则__________. 答案： 解析：因为, 所以, 所以, 则, 故. 故答案为: 14．若向量、满足,,,则__________. 答案： 解析：因为,,, 则,所以,, 所以,因此,. 故答案为：. 15．非零向量，满足，，则向量，夹角的余弦值为________. 答案： 解析：因为且，为非零向量， 设，则，又，所以， 则， 解得，设向量，的夹角为， 则， 即向量，夹角的余弦值为.故答案为： 16．中,M为边上一个动点,若,则的最小值为_________. 答案：12 解析：由点M在边上,得B,M,C三点共线,又,因此, ,当且仅当时取等号, 所以当,时,取得最小值12. 故答案为：12. 四、解答题 17．如图所示，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点的两点分别为始点和终点的向量中： （1）单位向量共有多少个？ （2）试写出模为的所有向量. （3）试写出与相等的所有向量. 答案：（1）8个 （2），，，，，，， （3），和 解析：（1）由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量分别为，，，，，，，， 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. （2）由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，. （3）与相等的向量（除它自身之外）有，和. 18．已知菱形ABCD的边长为2，求向量的模. 答案： 解析：由题意，得， 故. 所以. 19．化简： （1）. （2）. 答案：（1） （2） 解析：（1）. （2）. 20．已知向量,,. （1）求证:A,B,D三点共线. （2）若,求x的值. 答案：（1）证明见解析 （2）1 解析：（1）证明:,故A,B,D三点共线; （2）,, 则有,即,解得 21．已知向量,满足,,. (1)求与的夹角的余弦值; (2)求. 答案：(1) (2) 解析：(1),,, ,, ; (2)由(1)知, , ; 22．设两个非零向量与不共线. (1)若，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和反向共线. 答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)，， ， 、共线， 又它们有公共点B， A、B、D三点共线. (2)与反向共线， 存在实数，使， 即， . 、是不共线的两个非零向量， ， ，， ，. 23．如图,在中,已知,,,M,N分别为,上的两点,,,相交于点P． （1）求的值; （2）求证：． 答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）因为, 所以, 所以, 所以; （2）因为, 所以, 所以, 所以,即,所以． 24．如图,在中,,,D为中点,E为上一点,且,的延长线与的交点为F. (1)用向量与表示 和 (2)用向量与表示 (3)求出的值 答案：(1),; (2) (3) 解析：(1)D是中点, , ; (2),则, ; (3)设,则,, 又向量,共线,而,不共线, 所以,解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$