第六讲 比例的性质与正反比例（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

第六讲 比例的性质与正反比例 知识概要： 1、比的意义和性质 （1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 （2）比的性质 ：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 （3） 求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 2、比例的意义和性质 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 （3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 3、正比例和反比例 （1）成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k(一定） （2）成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定) 例题讲解： 专题一：比例的性质 例1 选择题。 （1） 下列各组中的四个数可以组成比例的是（　　） A.2、3、4和5 B.3、5、6和8 C.2、3、3和4 D.、、和 （2） 如果7a=4b那么正确的比例式是（　　） A.a：b=7：4 B.a：b=4：7 C.a：7=b：4 （3）已知A=B（A、B都不为0），下面比例（　　）不能成立． 　 A． A：B=： B． ：B=：A C． B：=A： D． A：=B： （4）一个比例的两个外项积是40，这个比例的两个内项不可能是（　　） 　 A． 40和1 B． 20和20 C． 和50 D． 2.5和16 （5）把：2=：6 改写成 2×=6×是根据（　　） 　 A． 小数的性质 B． 分数的性质 C． 比例的性质 D． 比的性质 练习1 选择题。 1、能与组成比例的是（ ）。 A、2：3 B、3：2 C、 D 、 2、下列各组数中可以组成比例的是（ ） A、0、1、3、6 B、2、3、4、6 C、5、6、8、9 D 、1、2、3、4 3、能与、1、组成比例的数有（ ）个。 A、0 B、1 C、2 D、3 4、在一个比例式中，两个比的比值是4，这两个比的内项都是6，这个比例式是（ ）。 A、24：6=6：1.5 B、1.5：6=6：24 C、6：1.5=24：6 5、 下面式子中（ ）是比例 A.3+6=4+5 B. C.27÷9=1×3 D.1：4=4：1 例2 如果两个比的比值和互为倒数，那么这四个数可以组成怎样的比例？写出比例式。 练习2 把“×4.5﹦×2.5”改成比例的形式，一共能得到哪些不同的比例式？ 例3 在（ ）里填上适当的数。 3：（ ）=（ ）：12 24:9=8：（ ） 4:7=（ ）：（ ） （ ):1.5=6:2 例4 填空题 （1）从6,24,20,18与5这个五个数中选出四个数组成一个比例是（ ）：（ ）=（ ）：（ ）。 （2）在比例中，两个内项的积是6，其中一个外项是，另一个外项是（ ）。 （3）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是16，则另一个内项是（    ）。 （4）如果5a=4b（b≠0），那么a∶b=（  ）∶（  ）。 （5）如果甲数的与乙数的相等，那么甲数与乙数的比是（ ）。 （6）在一个比例中，两个外项是4和3，组成比例的两个比的比值是8，这个比例是（ ）。 练习4 填空题 (1)如果A×5= B×8(A.B均不为0),那么A: B=( ):( )。 (2)在中,外项是（ ）和（ ），内项是（ ）和（ ）。 (3)在一个比例中，两个外项的积是10,一个内项是8,另一个内项是( )。 (4)在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 (5)在一个比例里，两个内项的积是，则两个外项的积是( )。 （6）两个比的比值都是，他们组成的比例外项分别是和，这个比例是（ ）。 例5 解比例。 ＝ ∶＝x∶ 15∶3＝12∶x （3.8- x）：7 =2：7 练习5 解比例。 3∶8＝24∶x x： =： ∶x=3∶12 ＝ 例6 根据比例1.6:1.2=4:3填空。 (1)如果外项1.6乘80,要使比例仍然成立，那么内项1.2应该( )。 (2)如果外项1.6减去1.2,要使比例仍然成立,那么内项4应该( )。 练习6 根据比例14:2=21:3填空。 (1)如果外项14除以2,要使比例仍然成立，那么内项21应该除以( )。 (2)如果内项2乘8.5,要使比例仍然成立,那么外项3应该乘( )。 例7 黄鹤楼被誉为天下江山第一楼。按1：1000的比例拍摄的黄鹤楼照片。照片中的黄鹤楼高为5.14cm。黄鹤楼的实际高度是多少米? 练习7 妈妈用12mL消毒液配制消毒水，如果消毒液与水的比是1:200，妈妈应加入多少毫升水？ 例8 用同样多的时间，师傅可以加工15个零件，徒弟只能加工9个零件。 (1)师徒二人做一个零件所用的时间之比是多少? (2)若做一个零件师傅需要12分钟，徒弟需要多少分钟? 专题二：正反比例的判断 例9 一个房间的铺地面积和用砖块数如下表，根据要求回答问题。 铺地面积/平方米 1 2 3 4 5 6 用砖块数/块 15 30 45 60 75 90 (1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? (2)写出几组这两种量中相对应的两个数的比，并比较比值的大小。这个比值表示什么？ (3)表中两种量成正比例关系吗?为什么? (4)在下图中描出表示铺地面积和用砖块数相对应的点，然后依次连接起来。 例1图 练1图 练习9 右图表示小麦质量与磨出的面粉质量关系的图象。 (1)观察图象，（ ）和（ ）是两个相关联的量。 (2)从图中可以看出:10kg小麦可以磨出面粉( )kg；磨出160kg面粉需要小麦( )kg；磨出面粉的质量与小麦质量的比值是( )的，都是（ ）。 (3)上面所求出的比值表示（ ），磨出面粉的质量与小麦质量的（ ）是一定的，所以磨出面粉的质量与小麦质量成（ ）关系。 (4)利用图象估计一下,350kg小麦可以磨出面粉( )kg；要磨出360kg面粉需要( )kg小麦。 例10 每块地砖的面积和用砖块数如下表，根据要求填空。 每块地砖的面积/㎡ 0.5 0.8 1 2 …… 用砖块数/块 400 250 200 50 …… （1）表中（ ）和（ ）是相关联的量，用砖块数随着（ ）的变化而变化。 (2)表中第一组这两种量相对应的两个数的积是( )，第三组这两种量相对应的两个数的积是（ ）。 (3)上面所求的积表示的意义是（ ），每块地砖的面积和用砖块数的（ ）是一定的，所以每块地砖的面积和用砖的块数是成（ ）的量。 (4)每块地砖的面积用p表示，用砖的块数用t表示，那么用含p、t的式子表示铺地总面积是（ ）。 (5)如果每块地砖面积是2㎡，共要用砖( )块；若共用砖50块，每块地砖的面积是( )㎡。 练习11 一堆煤，每天烧的吨数和能够烧的天数如下表。 每天烧的吨数/吨 30 15 10 7.5 6 5 …… 能够烧的天数/天 1 2 3 4 5 6 …… (1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? (2)写出几组这两种量相对应的两个数的积，再比较积的大小，并说说这个积表示什么意义？ (3)表中相关联的两种量成反比例吗?为什么? (4)如果每天烧2.5吨，这堆煤够烧多少天?如果要烧10天，每天应烧多少吨? 例12 已知一个平行四边形的底是20cm，用x和y分别表示这个平行四边形的高和面积。那么y和x成比例关系吗？如果成，成什么比关系?你能写出表示比例关系的表达式吗？ 练习12 右图表示一个长方形的长和宽的关系。 (1) 根据图中数据，你能发现长方形的长与宽成什么 比例关系吗?请说明理由。 (2) 利用图象估计一下，当长方形的长为120cm时，宽是多少厘米？ 例13 判断是否成比例，成什么比例 （1）一个儿童的身高和体重。（ ） （2）比值一定，比的前项和后项。（ ） （3）订阅《小学生天地》的份数和总钱数。（ ） （4）长方形的周长一定，长与宽。（ ） （5）同一种钢材的体积和质量。（ ） （6），x和y成（ ） （7）分子一定，分母和分数值。（ ） （8）正方体的表面积和其中一个面的面积。（ ） （9）分母一定，分子和分数值。（ ） （10）长方形的体积一定，底面积和高。（ ） （11）圆的周长与直径。 （ ） （12）一个数与它的倒数。 （ ） 练习13 判断正误。 （1）如果3X=8Y，那么Y与X成正比例。（ ） （2）如果，那么Y与X成正比例。（ ） （3）一个加数不变，和与另一个加数成正比例。（ ） （4）圆的周长和半径成正比例。（ ） （5）三角形的底一定，它的面积和高成正比例。（ ） （6）被除数一定，除数和商成反比例。（ ） （7）王芳做10道题，做完的题和没做的题成反比例。（ ） （8）小美从学校走到家，走路的速度和所需的时间成反比例。（ ） （9）圆的面积和圆的半径成正比例。（ ） （10）三角形面积一定，底和高成反比例。（ ） （11）底面积一定，圆柱的体积和高成反比例。（ ） （12）出勤率一定，出勤人数与应出勤的人数成正比例。（ ） 课后小结： 1、在用比例法列方程解题时要注意两个比的前后项一定要一致。 2、如果题中对应数量能组成比例式，可以先将要求问题设为x，再用解比例的方法解决问题。 3、正比例关系的图象是一条经过原点的直线，从图象中不仅可以直观看出两种量的变化情况，还可以根据数对所在的点直接找到对应的两个量的值。 4、判断两种量是否成反比例关系，要先找到相关联的量，再看这两种量的积是否一定。 5、正反比例的应用关键是确定成什么比例关系。 课后作业： 1、 填空题。 （1）4 ：5 ＝ 24÷（   ）＝（  ） ：15 8∶2 ＝ 24∶（ ） 1.5∶3＝( )∶3.4 （2）如果a∶0.5=8∶0.2，那么a=（ ）。 （3）如果8A ＝ 9B，那么B ：A＝（ ）∶（ ）；如果5a=4b（b≠0），那么a∶b＝（ ）∶（ ）。 （4）男生人数的5/8与女生人数的5/9相等，那么女生人数与男生人数的比是（ ）。 （5）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是 ，则另一个内项是（ ）。 （6）X：25＝1.2：75的比，X＝（ ）。 （7）4:5=12:15,如果内项5增加5,那么外项4应该增加( )才能使比例成立。 2、选择 （1）一个比的前项缩小3倍，要使比值不变，后项应（  ）。  A. 扩大3倍    B.缩小3倍    C.不变  （2）在=中，x等于（ ）才能组成比例。 A、1.5 B、 C、 D、 （3）下面各组比中，第（  ）组两个比可以组成比例。  A.5∶6和6∶5   B.和    C.8∶7和2∶1.75 1、 3、判断是否成比例，成什么比例。 （1）做同一批零件，工作时间和工作效率。 （2）商场某商品打七折，原价与现价。 （3）一个因数不变，积与另一个因数。 （4）铺地面积一定，方砖的面积与所需块数。 （5）每小时织布的米数一定，织布总米数和时间。 （6）小明的身高与体重。 （7）一捆电线，每次用的长度和所用的次数。 （8）一捆电线，用去的长度和剩下的长度。 （9）考试合格率一定，合格人数与总人数。 （10）被减数一定，减数和差。 4、解比例。 ∶X= ∶2 X∶5=0.46∶4.6 = 5、某手机超市门口放着一个手机模型，它的高度与原手机长度比是20：1。 (1)若原手机长度是7.5cm，这个手机模型的高度是多少厘米? (2)若手机模型的高度是180cm，原手机的长度是多少厘米？ 6、下面是一辆汽车的行程图，根据图象列比例解决问题。 (1)从图象可以看出，汽车所行的( )与（ ）成（ ）关系 (2)这辆车行驶480千米，需要多长时间? (3)这辆汽车9小时可行驶多少千米? 7、把高是60cm的圆柱按5:1的比截成两个圆柱,表面积比原来增加了50 cm²。 (1)将圆柱截成两个圆柱，比原来增加了( )个底面的面积。 (2)圆柱一个底 面的面积是( )cm²。 (3)截成的两个圆柱的高分别是( )和（ ）。 (4)较小的圆柱的体积是( )cm³。 ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$