2024-2025学年八年级下学期北师大版数学期中测试卷

期中测试卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 若a>b，则下列不等式变形错误的是( ) A．a＋1>b＋1 B．> C．3a－4>3b－4 D．4－3a>4－3b 2. 下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( ) 　　　　　　 3. 不等式2(x－1)≥6的解集是( ) A．x≤2 B．x≥2 C．x≤4 D．x≥4 4. 在平面直角坐标系中，点P(1，2)关于坐标原点的对称点P′的坐标为( ) A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(1，2) 5. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是( ) A．72° B．65° C．50° D．36° 　　　 6. 已知点M(m，m－1)在第四象限，则m的取值范围是( ) A．0＜m＜1 B．m＜1 C．－1＜m＜0 D．m＞0 7. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 8. 直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为( ) A．x＞3 B．x＜3 C．x＞－1 D．x＜－1 　　　　　　 9 .如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为( ) A．2 B．2 C．2 D．3 10. 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( ) A．(2，10) B．(－2，0) C．(2，10)或(－2，0) D．(10，2)或(－2，0) 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 已知等腰三角形中有一个内角为80°，则该等腰三角形的底角为______． 12. 如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，则∠DOB＝______． 　　　　 13. 把点A(2，－3)先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是______． 14. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为______． 15. 如图，等边△ABC的边长为6，D是BC的中点，E是AC边上的一点，连接DE，以DE为边作等边△DEF，若CE＝2，则线段AF的长为______． 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 解不等式组： 17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°.用尺规作图，在AC边上找一点D，使DB＋DC＝AC(保留作图痕迹，不要求写作法和证明). 18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝9 cm，AD是∠CAB的平分线，求DC的长． 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4). (1)将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； (3)在x轴上找一点P，PA＋PC最小，此时P的坐标为________． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD. (1)求证：△BCD是等腰三角形； (2)若AC＝5，AD∶CD＝3∶2，求AB的长． 21. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①2x－1＝0，②x＋1＝0，③x－(3x＋1)＝－5中，不等式组的关联方程是_____(填序号)； (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是____________(写出一个即可)； (3)若方程6－x＝2x，7＋x＝3(x＋)都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围. 23. 【特例感知】 (1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且满足点A，C，D三点共线，延长BC交DE于点F，连接AF.求证：∠BFA＝∠EFA； 【类比迁移】 (2)如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角为α，当90°<α<180°时，延长BC与DE交于点F，连接AF.请猜想∠BFA与∠EFA具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图③，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，延长BC分别与AD，DE交于M，N两点，连接AN.请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、选择题 1-5 DCDAB 6-10 ABDBC 2、 填空题 11.50°或80° 12.80° 13.(－3，1) 14.9 15. 3、 解答题 16.解：解不等式①，得x＞－3，解不等式②，得x≤2，∴－3＜x≤2 17.解：如图，点D即为所求 18.解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝2CD，AD＝BD，∴BC＝3CD，∴CD＝BC＝×9＝3(cm)，即DC的长为3 cm 19.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求 (2)如图，△A2B2C2即为所求 20.解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A，∴∠BDC＝∠DBA＋∠A＝2∠A，又∵∠C＝2∠A，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形 (2)∵AD∶CD＝3∶2，∴设AD＝3k，CD＝2k，又∵AC＝AD＋CD＝5，∴5k＝5，解得k＝1，∴AD＝3，CD＝2，由(1)可知：AD＝BD，BD＝BC，∴BD＝BC＝AD＝3，过点B作BF⊥CD于F，则CF＝DF＝CD＝1，∴AF＝AD＋DF＝4，在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF＝＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝＝2 21.解：(1)设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，由题意，得解得答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元 (2)设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵，由题意，得50m＋30(1 000－m)≤38 000，解得m≤400.答：最多可以购买脐橙树苗400棵 22.解：(1)解方程2x－1＝0，得x＝；解方程x＋1＝0，得x＝－3；解方程x－(3x＋1)＝－5，得x＝2；解不等式组得＜x＜，∴不等式组的关联方程是③.故答案为：③ (2)解不等式x－2＜1，得x＜3，解不等式1＋x＞－3x＋6，得x＞，则不等式组的解集为＜x＜3，∴其整数解为2，则该不等式组的关联方程可以为2x－4＝0(答案不唯一)；故答案为：2x－4＝0 (3)解方程6－x＝2x得x＝2，解方程7＋x＝3(x＋)得x＝3，解关于x的不等式组得m＜x≤m＋2，∵方程6－x＝2x，7＋x＝3(x＋)都是关于x的不等式组的关联方程，∴1≤m＜2 23.解：(1)根据旋转可知：∠E＝∠ACB＝90°，AC＝AE，∴∠ACF＝180°－90°＝90°，∴AC⊥CF，AE⊥EF，∴AF平分∠CFE，∴∠BFA＝∠EFA (2)∠BFA＝∠EFA.理由如下：过点A作AM⊥BF于点M，AN⊥DE于点N，如图②所示．根据旋转可知：△ABC≌△ADE，∴S△ABC＝S△ADE，即BC·AM＝DE·AN.又∵BC＝DE，∴AM＝AN.∵AM⊥BF，AN⊥DE，∴AF平分∠BFE，∴∠BFA＝∠EFA (3)的值为定值；＝.理由如下：过点A作AG⊥BN于点G，如图③所示．根据旋转可知：△ABC≌△ADE，∠BAD＝90°，∴∠B＝∠D，∵∠DMN＝∠AMB，∴∠DNM＝∠BAM＝90°，∴∠BNE＝180°－90°＝90°，根据(2)可知，∠ANM＝∠ANE＝∠BNE＝45°，∵∠AGN＝90°，∴△AGN为等腰直角三角形，∴AN＝AG＝GN.设AG＝GN＝x，则AN＝x，∵∠B＝30°，∠BAM＝90°，∴∠AMB＝90°－30°＝60°，∴∠MAG＝90°－60°＝30°，∴AM＝2GM，根据勾股定理，得AM2＝GM2＋AG2，即 (2GM)2＝GM2＋x2，解得GM＝x，∴MN＝GN－GM＝x，∴＝＝＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$