(小升初典型奥数)追及问题(考点+典例+真题)(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学北师大版

追及问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+错题笔记+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 第一部分 典型例题 例题1：小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去。小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米。在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度。 【答案】13米/分钟 【分析】当小新和风间相遇时，正南落后小新6×（20－16）＝24（米）。依题意知正南和风间走这24米需要7－6＝1（分钟），正南和风间的速度和为24÷1＝24（米／分），风间的速度为：24－16＝8（米/分），风间和小新相遇后又过了8－6＝2分钟，才与妮妮相遇，所以在8分钟中妮妮的行程为20×6－8×2＝104（米），根据速度＝路程÷时间，即可解答。 【详解】风间的速度： （20－16）×6÷（7－6）－16 ＝4×6÷1－16 ＝24÷1－16 ＝24－16 ＝8（米/分） 妮妮的速度： （20×6－8×2）÷8 ＝（120－16）÷8 ＝104÷8 ＝13（米/分） 答：妮妮的速度是13米/分。 【点睛】这是一个多重相遇和追及的问题，考查学生分析与理解能力。 例题2：甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 【答案】16500米 【分析】从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解． 【详解】解：（60＋40）×15＝1500（米） 1500÷（50-40）=150（分） A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）． 答：A、B两地的距离是16500米． 【点睛】此题实质上有着三个行程基本问题：两个相遇问题和一个追及问题．而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间．利用这些关系层层推进即可解出答案． 例题3：当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？ 【答案】12米 【分析】先求出乙和丙的速度比，再根据速度比列出比例解答即可。 【详解】乙和丙的速度比为（60－10）∶（60－20）＝5∶4 解：设乙到达终点时，比丙领先x m。 5∶4＝10∶（20－x） 5（20-x）=40 100-5x=40 5x=60 x＝12 答：将比丙领先12米。 【点睛】本题考查了比例应用题，求出乙和丙的速度比是关键。 例题4：上午8点08分，小明骑自行车从家里出发8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8公里。问这时是几点几分？ 【答案】8点32分 【分析】爸爸在离家4千米处，如果不返回，而是停8分钟，然后再向前追小明。应当在离家4＋4＝8（千米）处恰好追上小明。这表明爸爸从离家4千米处返回，然后再回到这里，共用8分钟，即爸爸8分钟行8千米，从而爸爸共用8＋8＝16（分钟），第二次追上小明时是8点32分（8＋8＋16＝32）。 【详解】根据分析可知第二次追上小明的时间是8点32分。 【点睛】本题主要考查追及问题，对学生的分析和解决问题的能力的要求较高。 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 二、追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 三、解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 第三部分 高频真题 1．甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 2．小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米，问家到公园多远？ 3．列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 4．早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？ 5．甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行千米，乙机每小时行千米，飞行小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？ 6．甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟．已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米．求丙的速度？ 7．甲、乙两车分别从、两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发小时，甲车的速度是千米/小时，乙车每小时行千米．甲车出发小时后追上乙车，求、两地间的距离． 8．甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去．已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？ 9．李华和王明都骑车从甲地出发前往乙地，李华与王明的速度之比是5∶4。已知王明比李华早出发15分钟，但在甲、乙中点处因故停留了8分钟；李华则不停地赶往乙地，最后李华比王明早3分钟到达乙地。那么王明出发多长时间后，李华就超过了王明？ 10．甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能追上乙？ 11．甲火车长190米，每秒钟行19米，乙火车长220米，每秒钟行24米，两车同向行驶。问：乙车从追上甲车到完全超过共需多少秒钟？ 12．小轿车每小时比面包车每小时多行6千米，它们同时同地出发，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已超过城门9千米，求出发点到城门的距离． 13．静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？ 14．在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明．已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？ 15．小强每分钟走米，小季每分钟走米，两人同时从同一地点背向走了分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？ 16．甲汽车每小时行64千米，乙汽车每小时行48千米，两车同时同地背向出发，半小时后，甲汽车掉头追乙汽车，问几小时后追上？ 17．一架敌机侵犯我国领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机调转机头，以每分钟15千米的速度逃跑．我机以每分钟23千米的速度追击，当追至距敌机2千米时，我机与敌机展开激战，仅用半分钟就将敌机击落．敌机从逃跑到被我机歼灭这段时间共用几分钟？ 18．甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人．已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？ 19．甲、乙两车同时从某地出发背向而行，甲车以每小时88千米的速度行驶，乙车以每小时64千米的速度行驶，1.5小时后甲车掉头去追乙车，需要多少小时才能追上？ 20．一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行千米，开出小时后，一辆快车以每小时千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？ 21．甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙从A镇、丙从B镇，同时相对出发，丙遇到甲后，10分钟后再遇到乙，求A、B两镇的距离？ 22．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？ 23．铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？ 24．小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？ 25．甲、乙两地相距 240 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行 90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 26．小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度。 27． (仁华入学试题)甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇) 28．骑车人以每分钟300米的速度，从8路汽车的始发站出发，沿8路车路线前进。骑车人离开出发地2100米时，一辆8路汽车开出了始发站，这辆汽车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停1分钟，那么要用多少分钟汽车才能追上骑车人？ 29．静水中甲乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米，两船先后自港口顺水开出，乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？ 30．君君和丽丽沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后丽丽第一次追上君君。已知君君的速度是230米/分，丽丽的速度是多少？（用方程解） 31．哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远? 32．一辆长为12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地，在距B地4000米处遇见一个行人，l秒后大客车经过这个行人．大客车到达B地休息了10分钟后返回A地，途中追上这个行人．大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟？ 33．下午3点15分，通讯员从营地骑自行车出发，8分钟后，由于要更改命令，连长骑摩托车去追赶他，在离营地4千米的地方追上了他，然后，连长立即返回营地，回到营地后，由于情况再次发生了变化，连长立即回头再次追赶通讯员，再次追上他时，离营地恰好是8千米，问：这时是几点几分？ 34．甲、乙两人都从A地往B地到达C地，甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，两人刚好同时到达C地，问：到达C地是什么时间？ 35．在双轨铁道上，速度为千米/小时的货车时到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，后来一列速度为千米/小时的列车，时分到达铁桥，时分秒完全通过铁桥，时分秒列车完全超过在前面行驶的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？ 36．小王8时整骑摩托车从甲地出发前往乙地，8时15分追上一个早已从甲地出发的骑车人。小李8时15分开大客车从甲地出发前往乙地，8时30分追上这个骑车人。9时整，小王、小李同时到达乙地。已知小王、小李、骑车人的速度始终不变，骑车人从甲地出发时是几时几分？ 37．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？ 38．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 39．A、B、C三人要从甲地到乙地，步行速度都是每小时5千米，骑车速度都是每小时20千米．现在只有一辆自行车，他们想了一个办法：先让A骑车走，同时B、C步行；A骑了一段后，再换步行而把车放在途中，留给B接着骑；B骑一段后，再换步行而把车放在途中，留给C接着骑到乙地．这样，A、B、C三人恰好同时到达乙地．已知甲地到乙地全长12千米，那么，从甲地到乙地共用了多少小时？ 40．爸爸和儿子跑步锻炼，爸爸的步子比较大，他跑5步的路程，儿子要跑9步，爸爸在儿子后面10米，为了追上儿子，爸爸加快动作，爸爸跑2步的时间，儿子能跑3步，问爸爸至少多少米才能追上儿子？ 41．甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人．已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？ 42．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们在距中点160米处相遇。出发时，甲看了下手表，当时是下午六点多，时针与分针的夹角为；相遇时，甲又看了下手表，还没有到下午七点，但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间，两人还是在距中点160米处相遇，且已知甲的速度为80米/分钟，问甲在途中停留了多少分钟？ 43．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 44．小轿车每小时比面包车每小时多行6千米，它们同时同地出发，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已超过城门9千米，求出发点到城门的距离． 45．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？ 46．环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米．问（l）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？（3）甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？ 47．甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问： （1）出发多长时间，甲第一次追上乙？ （2）出发多长时间，甲第二次追上乙？ 48．小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？ 第四部分 答案解析 1．780米 【分析】先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟。而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6＝20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD。即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为：50×（26＋6）＝1600（米）。所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），再根据相遇问题：相遇路程＝速度和×相遇时间，可求出A、B间的距离。 【详解】先画图如下： 根据分析： 甲从C走到D所用时间：26－6＝20（分） 乙从C走到D所用时间：26＋6＝32（分） CD表示的路程为：50×（26＋6）＝1600（米） 甲的速度：1600÷20＝80（米/分） 相遇路程：（80＋50）×6＝780（米） 答：A、B两地的距离是780米。 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇与追及问题，准确找出对应路程，对应速度，对应时间是解题的关键。 2．1500米 【分析】可以作为“追及问题”处理. 【详解】假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是50×10÷（75-50）＝20（分钟）· 因此，小张走的距离是75×20＝1500（米）. 答：从家到公园的距离是1500米. 3．190秒 【分析】列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，先求出列车速度和车长，在根据路程差÷速度差＝追及时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间，据此解答。 【详解】列车的速度是： （250－210）÷（25－23） ＝40÷2 ＝20（米/秒）， 列车的车身长：20×25－250＝250（米）。 列车与货车从相遇到相离所用时间为： （250＋320）÷（20－17） ＝570÷3 ＝190（秒）。 【点睛】本题考查了追及问题，灵活运用路程差÷速度差＝追击时间，这一公式。 4．10点 【详解】由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时．全程是(千米)，(小时)，即上午10点出发． 5．相隔160千米．飞行420千米． 【详解】①小时后相差多少千米：（千米）．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：（千米）． 6．每小时28千米 【分析】因为三人从同一地点出发追赶小舟，因此他们与小舟的路程差是相等的 【详解】解：设小舟的速度为x米／分钟，36千米/小时=0．6千米／分钟，30千米／小时=0.5千米／分钟．甲与小舟的路程差：（0．6－x）×5．乙与小舟的路程差：（0．5－x）×8． （0．6-x）×5=（0．5-x）×8 三人与小舟的路程差为：（千米） 丙与小舟的速度差：（千米/分钟） 丙的速成度：（千米/分钟） 千米/分钟=（）千米/小时=28（千米/小时） 答：丙的速度是每小时28千米． 7．160千米 【详解】由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：(小时),追及路程为：(千米),、两地间的距离为：(千米) 8．680 【详解】根据题意可知，甲车走了1000×6=6000米 乙车走了800×8=6400米 长跑运动员的速度（6400-6000）÷2=200米/分 丙车速度（200×2+6400）÷10=680米/分 9．43分钟 【分析】根据题意可知，从甲地到乙地，王明比李华多花了（15－8＋3）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，可知李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5；把李华花的总时间看作4份，王明花的总时间看作5份，用（15－8＋3）÷（5－4）即可求出每份是多少，人求出李华花的总时间和王明花的总时间，求出李华行完全程需要40分钟，王明行完全程需要50分钟，当李华行了20分钟恰好到达两地的中点时，王明已经出发（15＋20）分钟，王明行走行程的一半需要（50÷2）分钟，也就是25分钟，据此用35－25－8即可求出王明此时已经离开中点几分钟，也就是2分钟，假设此时还需要x分钟，李华才能追上王明，根据路程相同，速度比＝时间的反比，列比例为：4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x），据此解出方程，然后用（15＋20）加上x的值，即可求出王明出发多长时间后，李华就超过了王明。 【详解】路程相同，李华与王明的速度之比是5∶4，时间之比是4∶5， （15－8＋3）÷（5－4） ＝10÷1 ＝10（分钟） 李华行完全程需要：10×4＝40（分钟） 王明行完全程需要：10×5＝50（分钟） 李华行到中点需要：40÷2＝20（分钟） 15＋20＝35（分钟） 50÷2＝25（分钟） 王明已经离开中点：35－25－8＝2（分钟） 解：设此时还需要x分钟，李华才能追上王明。 4∶5＝（20＋x）∶（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（35－8＋x） 5×（20＋x）＝4×（27＋x） 100＋5x＝108＋4x 5x－4x＝108－100 x＝8 15＋20＋8 ＝35＋8 ＝43（分钟） 答：王明出发43分钟时，李华就超过了王明。 【点睛】本题考查了较复杂的行程问题，解答本题的关键是明确相同路程王明比李华实际多花的时间，然后利用比例的知识进行解答。 10．7分钟 【分析】由题意可知，甲返回原地时，已经走了15×2＝30（分钟），取东西用去5分钟，共用了35分钟，也是乙走的时间．即此时两人相距60×35＝2100（米），之后甲每分中比乙多走360－60＝300（米），根据路程差÷速度差＝追及时间求出答案。 【详解】60×（15×2＋5）÷（360－60） ＝60×35÷300 ＝7（分钟） 答：甲骑车7分钟才能追上乙。 【点睛】解答此题应明确：路程差÷速度差＝追及时间。 11．82 秒 【分析】乙车在后面追上甲车到完全超过甲车时追及长度为甲车车长加上乙车车身的长度，即 190＋220＝410米，也就是乙车追甲车的路程差，又知两车的速度差是24—19＝5（米/ 秒），根据追及问题的基本公式追及时间＝路程差÷速度差，即可求出。 【详解】（190＋220）÷（24—19） ＝410÷5 ＝82（秒） 答：乙车追上甲车到完全超过共需82秒。 【点睛】本题主要考查了火车行驶的追及问题，关键是要能够理解追及时间＝路程差÷速度差。 12．72千米 【详解】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间．此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6=1.5（小时）．小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是9÷=54（千米），面包车速度是：54-6=48（千米/小时）．城门离出发点的距离是48×1.5，计算即可． 解答：解：10分钟=小时， 当面包车到达城门用的时间是： 9÷6=1.5（小时）． 小轿车的速度是： 9÷=54（千米）， 面包车速度是： 54-6=48（千米/小时）． 城门离学校的距离是： 48×1.5=72（千米）． 答：从出发点到城门的距离是72千米． 13．11小时 【分析】乙船先开出的2小时行驶了（18＋4）×2＝44（千米），即甲船开出时，两船相距44千米，因两船均是顺水行驶，所用甲船每小时比乙船多行驶22－18＝4（千米/小时），用两船距离除以速度差，就是甲船追上乙船所用时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝44÷4 ＝11（小时） 答：甲船11小时可以追上乙船。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 14．8分 【详解】设车速为a，小光的速度为b，则小明骑车的速度为3b．根据追及问题“追及时间×速度差＝追及距离”，可列方程10（a－b）＝20（a－3b），解得a＝5b，即车速是小光速度的5倍．小光走10分相当于车行2分，由每隔10分有一辆车超过小光知，每隔8分发一辆车． 15．2940米 【详解】小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(米)追及时间为：(分钟)小强走的总路程为：(米) 16．3.5小时 【分析】首先利用“路程和＝速度和×时间”，速度和为千米，时间半小时即小时，用乘法即求出甲乙两车相距多少千米。再根据“追及时间＝路程差÷速度差”，即可求出甲几小时追上乙。 【详解】半小时小时 （千米） （小时） 答：3.5小时后追上乙。 17．6.5分钟 【详解】路程差：50-2=48（千米） 速度差：23-15=8（千米／分钟） 追及时间：48÷8=6（分钟） 敌机从逃跑到被歼灭所用时间： 6+0.5=6.5（分钟） 答：敌机从逃跑到被我机歼灭共用6.5分钟． 18．950米／分 【详解】摩托车在各时间点行驶的位置是甲、乙、丙三车行驶距离的度量，所以本题的关键是求出摩托车的速度． 解：甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米） 当甲追上骑摩托车人的时候，丙用了14-7=7（分） 追上1400米，丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分） 骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分） 三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米） 乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）． 19．9.5小时 【分析】根据路程＝速度×时间，先求出1.5小时之后两车相距的路程，再用减法求出两车的速度差，最后用相距的路程除以速度差，即可求出需要多少小时才能追上。 【详解】（88＋64）×1.5 ＝152×1.5 ＝228（千米） 228÷（88－64） ＝228÷24 ＝9.5（小时） 答：需要9.5小时才能追上。 【点睛】本题考查行程问题的计算及应用，先理解题意，再找出数量关系，列式计算即可。 20．720千米 【详解】慢车先行的路程是：(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是：(千米)，追及的时间是：(小时)，快车行至中点所行的路程是：(千米)，甲乙两地间的路程是：(千米)． 21．5928米 【详解】甲、丙在C地相遇，此时乙在D地，10分钟后，乙、丙在E地相遇．甲在C地时，乙在D地，D、C这段距离是乙、丙10分钟内共同走的．距离为：10×（25+27）=520（米），即甲、丙相遇时，乙比甲少走520米．乙比甲少走520米，所需时间：520÷（30-25）=104（分钟），也是甲、丙的相遇时间，则A、B两镇间距离： （30+27）×104=57×104=5928（米） 答：两镇相距5928米． 22．11点35分 【详解】闹钟与标准时间的速度比是62:60="31:30," 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上． 23．8点30分 【分析】涉及火车的行程问题中，火车的长度不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。 【详解】火车速度：30×1000÷60＝500（米/分） 火车速度与军人速度的差为：110÷（15÷60）＝440（米/分） 军人的速度：500－440＝＝60（米/分） 农民的速度：110÷（12÷60）－500＝50（米/分） 8点时火车头与农民的距离为：（500＋50）×6＝3300（米） 军人与农民相遇：3300÷（60＋50）＝30（分） 此时的时间为8点30分。 答：军人与农民8点30分相遇。 【点睛】1、此题中有着三个基本问题。火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。 2、解决行程问题的关键是三步： a：正确画出示意图； b：把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题； c：找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。 24．7：25 【分析】先求出小钱后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速步行的小塘的那一段路的时间，就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间，就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。 【详解】原来小钱的速度∶现在小钱的速度＝1∶2 原来用的时间：现在用的时间＝2∶1 7时46分－7时40分＝6（分钟） 取马克笔路上用的时间：6÷2＝3（分钟） 小钱在路上的时间：8时－7时40分－6分＝14（分钟） 拿好笔回学校的时间：14－6－3＝5（分钟） 第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5－3＝2（分钟） 从第一次遇见小塘到学校的时间：8时－7时46分＝14（分钟） 14÷2＝7 5×7＝35（分钟） 8时－35分＝7：25 小塘从家里出发的时间：7：25 答：小塘是7：25从家里出发的。 【点睛】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。 25．8小时 【详解】追及路程即为两地距离240千米，速度差（千米），所以追及时间（小时） 26．125米／分钟 【详解】（米） ＝400÷5 ＝8（分钟） （米/分钟）。 答：小强骑自行车的速度是125米/分钟。 27．3000 【详解】第一次是一个相遇过程，相遇时间为：小时，相遇地点距离点：千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：小时，乙车在此过程中走的路程为：千米，即5圈又3千米，那么这时距离点千米． 此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离点千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了点，并且行驶的方向与最开始相同． 所以，每4次相遇为一个周期，而，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与点的距离是3000米． 28．15.5分钟 【分析】如果汽车不停，则根据路程差÷速度差＝追及时间，用2100÷（500－300）即可求出汽车追上骑车人的时间，也就是10.5分钟，10.5分钟里面有2个5分钟，已知行5分钟到达一站并停1分钟，也就是汽车要停2分钟，此时2分钟骑车人多走了（2×300）米，汽车还要追（2×300）米，根据路程差÷速度差＝追及时间，用（2×300）÷（500－300）即可求出追上（2×300）米的时间，也就是3分钟，最后用10.5＋2＋3即可求出汽车追上骑车人的总时间。 【详解】2100÷（500－300） ＝2100÷200 ＝10.5（分钟） 10.5÷5＝2……0.5 （2×300）÷（500－300） ＝600÷200 ＝3（分钟） 10.5＋2＋3＝15.5（分钟） 答：要用15.5分钟汽车才能追上骑车人。 【点睛】此题主要考查学生对追及问题公式的掌握情况。解题关键是要读懂题目的意思，会根据题目给出的条件，找出其中的数量关系，求出答案。 29．11小时 【分析】先求出乙船顺水开出2小时行驶的路程，再根据追及问题求出甲船追上乙船的时间。 【详解】（18＋4）×2÷（22－18） ＝22×2÷4 ＝11（小时） 答：甲开出11小时可追上乙。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，关键是求出相距路程和速度差，关于追及问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 30．250米/分 【分析】设丽丽的速度是x米/分，根据等量关系：丽丽的速度×行驶的时间－君君的速度×行驶的时间＝400米，列方程解答即可。 【详解】解：设丽丽的速度是x米/分。 20x－230×20＝400 20x－4600＝400 20x－4600＋4600＝400＋4600 20x＝5000 20x÷20＝5000÷20 x＝250 答：丽丽的速度是250米/分。 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。 31．520米 【详解】哥哥出发的时候弟弟走了：（米），哥哥追弟弟的追及时间为：（分钟），所以家离学校的距离为：（米）. 32．53分钟20秒 【分析】大客车在距B地4000米处遇见一个行人，l秒钟后大客车经过这个行人，是一个相遇问题．由速度和=全程÷相遇时间，可知客车与行人速度和：12÷1=12（米／秒），则行人速度可知：12-8=4（米／秒），当客车到达B地10分钟后返回时，再追上行人是一个追及问题．追及时间可求．大客车从第一次遇到行人到第二次追上行人的时间可分为3段：一段是从距B地4000米处到B地，一段是休息10分钟，一段是追及时间． 【详解】行人的速度：12÷1-8=4（米／秒） 大客车行驶4000米需时间：4000÷8=500（秒） 10分钟相当于60×10=600（秒） 大客车从B地出发，大客车与行人的路程差：4000+4×（500+600）=8400（米） 大客车追上行人所需时间：8400÷（8-4）=2100（秒） 故大客车从遇到行人到追上行人共需：500+600+2100=3200（秒）=53分钟20秒． 答：大客车从遇到行人到追上行人共用了53分钟20秒． 【点睛】此题中的整个过程综合了相遇问题和追及问题，要注意不同的问题选用不同的公式．此题目还要注意时间单位的换算． 33．3点39分 【分析】 从图中可以看出，连长第一次追上通讯员，立即折返到第二次追上通讯员，共走了4＋8=12（千米），因此，骑摩托车的速度是骑自行车速度的12÷4=3（倍）．由此可知，通讯员每走“1”份的路程，连长将走“3”份的路程，这样确定通讯员的速度，以及确定第二次追上的时间，就比较容易了． 【详解】解：由条件可知，骑摩托车的速度是骑自行车速度的12÷4=3（倍）因此，从3点23分到连长追上通讯员，连长走了4千米，通讯员走了4×千米．因此，通讯员前8分钟走了4×=（千米）．从而可求出通讯员的速度是÷8=（千米）．因此，进一步可求出通讯员走8千米共用8÷=24（分）．所以，第二次追上的时间是15＋24=39（分），即3点39分． 【点睛】在相同时间内，速度越快，所走的路程越多．这道题目的解答，恰好就是利用了这一变化规律． 34．10点33分 【分析】由甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，可知甲到B地9点25分，可求出甲乙到达B地的时间比为85∶60，速度比为60∶85，根据追及问题的基本关系式：路程差÷速度差＝追及时间即可解答。 【详解】60×20÷（85－60） ＝1200÷25 ＝48（分） 9点45分＋48分＝10点33分 答：到达C地是10点33分。 【点睛】本题主要考查追及问题，根据甲乙二人到达B地所用时间比求出速度比是解答本题的关键。 35．480 280 780 【详解】先统一单位：千米/小时米/秒，千米/小时米/秒， 分秒秒，分秒分分秒秒． 货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：(米)； 列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：(米)． 考虑列车与货车的追及问题，货车时到达铁桥，列车时分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为(米)，那么铁桥的长度为(米)，货车的长度为(米)． 36．7时30分 【分析】小王8时出发，9时整到达乙地共用60分，而追上骑车人用15分，因此小王追上骑车人时行了全程的； 小李8时15分出发，9时整到达乙地共用了45分，而追上骑车人用15分，因此小李追上骑车人时，行了全程的； 骑车人在甲到乙方向处被小王追上，15分钟后在甲到乙方向处被小李追上，因此骑车人15分钟行了甲到乙的距离的，即骑车人每行驶甲到乙的距离的时需要15分钟，则当汽车人到达甲到乙的距离的时，里面有3个，也就是3个15分钟，即骑车人从甲出发走到全程处时已用了45分钟，而此时正好是8时15分，可得出骑车人7点30分从甲地出发。 【详解】9时－8时＝1（小时） 1小时＝60（分） 8时15分－8时＝15（分钟） 15÷60＝ 8时30分－8时15分＝15（分钟） 9时－8时15分＝45（分钟） 15÷45＝ （分钟） 8时15分－45＝7时30分。 答：骑车人从甲地出发时是7时30分。 【点睛】找出每个时间点小王和小李行驶的全程的几分之几，再得出相差的时间点骑车人行驶了全程的几分之几所用的时间，即可得出骑车人出发的时间。 37．750米/分 【分析】通读题意，由两个未知量，即骑人的速度、汽车出发时骑车人与A点的距离．只要求出这个两个未知量，便可解答本题。先求出快车与慢车的距离；再求出汽车人的速度，然后求出快车出发时与骑车人的距离，即可求出中速车速度。 【详解】（1）快车与慢车的距离为： （800－600）×7 ＝200×7 ＝1400（米）； （2）骑车人的速度： 600－1400÷（14－7） ＝600－1400÷7 ＝600－200 ＝400（米）； （3）快车出发时与骑车人的距离： （800－400）×7 ＝400×7 ＝2800（米）； （4）中速车速度： 400＋2800÷8 ＝400＋350 ＝750（米） 答：中速车的速度是750米。 【点睛】此题巧妙地安排了三个追及事件，需要考生灵活获取信息。 38．6小时；42小时 【分析】由甲、乙两船同时出发，知它们相遇时共同走完了336千米，且两船行驶时间相同，根据相遇时间＝路程÷速度和，可求出甲、乙两船的相遇时间；如果同向而行，则乙船追上甲船时多比甲船行驶了336千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，可求出乙船追上甲船的时间。 【详解】336÷（24＋32） ＝336÷56 ＝6（小时） 336÷（32－24） ＝336÷8 ＝42（小时） 答：甲、乙两船相向而行，6小时相遇；如果同向而行，42小时后乙船追上甲船。 【点睛】本题考查简单的相遇与追及问题，理解并掌握相遇问题和追及问题中速度和（差）、时间和路程（差）之间的关系是解题关键。 39．小时 【分析】这道题人多车少，需要通过合理的安排搭配，才能使问题很好的解决．根据题目的要求，关键是要解决每人骑车和步行的路程．由于无论是骑车还是步行，三人的速度都相同，并且是同时到达，因此每人步行的路程一定相等，同样每人骑车的路程也相等．我们将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程．那么每人行了全程的，由此，问题的解决就比较简单了． 【详解】解：将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程．那么每人行了全程的，这样步行的路程为：12×=8（千米）；骑车的路程为：12－8=4（千米）． 所以，所用的时间为：4÷20＋8÷5=（时）． 【点睛】把握骑车与步行的关系，是这道题的关键．由于合理地安排了骑车与步行的路程，使问题很巧妙的得到了解决． 40．60米 【分析】设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，求出他们的速度比。那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5，不妨设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，算出追及时间，然后用求出的追及时间乘上爸爸的速度即可。 【详解】解：设爸爸每步跑9份，那么儿子每步跑5份，那么爸爸与儿子的速度比就是（2×9）∶（3×5）＝6∶5。 设爸爸的速度是6，儿子的速度是5，追及时间为10÷（6－5）＝10，所以爸爸追上儿子至少要跑10×6＝60（米）。 答：爸爸至少60米才能追上儿子。 【点睛】此题解答的关键在于巧妙地设出未知数，根据路程、速度和时间的关系列式解答。 41．950 【详解】甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）． 42．分钟 【分析】在时钟的表盘上，有12个大格，时针走一圈是360°，则每小时时针走一个大格，也就是走30°。一小时＝60分钟，则时针每分钟走0.5°，分针转动一圈是60分钟转了360°，分针每分钟转动6°。 由题意可知，两次相遇都是距离中点160米处相遇，但是第二次是甲在停留的情况下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中，甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110°，一定是分针先落后110°，后来又超前110°，分针和时针的路程差是为220°。每一分钟，时针和分针的差是5.5°，220°就是40分钟相差的。多出的40分钟的路程差是320米，即每分钟的路程差，也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟，即乙的速度＝甲的速度－8。 第二次相遇，两人还是在距中点160米处相遇，这时甲走的路程少，对于第一次相遇，甲走的路程是超过中点160米，第二次相遇甲走的路程是少于中点160米，则甲少走的了320米，每分钟是80米，即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间＝甲少走的时间＋乙多走的时间。 【详解】160×2＝320（米） 220÷（6－0.5） ＝220÷5.5 ＝40（分钟） 320÷40＝8（米） 80－8＝72（米） 320÷80＝4（分钟） 320÷72＝（分钟） 4＋＝（分钟） 答：甲在途中停留了分钟。 【点睛】钟表的夹角的度数，可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中，行驶的路程差＝速度差×时间。 43．15米/秒 【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。 【详解】900÷60＝15（米/秒） 答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。 【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。 44．72千米 【详解】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间．此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间为（小时）．小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是（千米），面包车速度是：（千米/小时）．城门离出发点的距离是，计算即可． 10分钟＝小时 当面包车到达城门用的时间是： （小时）． 小轿车的速度是： （千米/小时）， 面包车的速度是： （千米/小时）， 城门离学校的距离是： （千米）． 答：从出发点到城门的距离是72千米． 【点睛】路程问题、分钟与小时的换算问题 45．45分钟 【详解】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)．汽车去追的话需要：(小时)(分钟)． 46．（1）甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米． （2）甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上． （3）甲第二次追上乙时，甲走了12圈，乙走了10圈． 【详解】（1）甲第一次追上乙时所用时间：400÷（120-100）=20分钟） 这时：甲走了120×20=2400（米）    乙走了100×20=2000（米） （2）第二次追上乙时所用时间为第1次的2倍，即40分钟，这时甲走了120×40=4800（米） 4800÷400=12（圈），说明甲此时在起跑线上． （3）甲第二次追上乙时，甲走了120×40÷400=12（圈） 乙走了100×40÷400=10（圈） 答：甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米．甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上．这时甲走了12圈，乙走了10圈． 47．（1）36小时；（2）72小时 【分析】两人从同一地点出发的追及线段图如下： 由图可知，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全程；以后每两个相邻追及之间，两人的路程差也是2个全程。据此解答本题即可。 【详解】（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全程，所以时间是： 2×90÷（30－25） ＝2×90÷5 ＝36（小时） 答：出发36小时，甲第一次追上乙。 （2）从出发到第二次追上，路程差是4个全程，所以时间是： 4×90÷（30－25） ＝4×90÷5 ＝72（小时） 答：出发72小时，甲第二次追上乙。 【点睛】解答此类问题，要读懂题意，画出线段图，帮助理解。一般地，两人从某地同时出发，同向而行，在两地之间不断往返，相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全长。 48．3分钟 【详解】75×12÷(375－75)=3(分钟) 第五部分 错题笔记 学科网（北京）股份有限公司 $$