广东省惠州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

惠州市2024-2025学年高一第一学期期末考试 数 学 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.1 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一 、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 若集合A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 A∩B=( ) A.{3,4} B.{2,4,6} C.{1,3,5} D.{2,4} 2. 命题“∀x>-1,x²≤1”的否定是（ ）. A. “∀x<-1,x²≤1” B.“∀x<-1,x²≥1” C.“x>-1,x²>1” D.“x>-1,x²≤1” 3. “角α是锐角”是“角α是第一象限角”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若 x>0, 则 有( ). A. 最 小 值 3 B. 最小值6 C. 最大值6 D. 最大值3 5 . 已 知a=3°2,b=0.2³,c=0.3³, 则下列关于a,b,c 大小关系正确的是( ). A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b 6. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子(如图1),其 平面图(如图2)为扇形AOB, 其 中 ∠AOB=120°,OA=30C=3，则扇面(曲边四 数学试题 第1页，共4页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 边形ABDC) 的面积是( ). 图1 图2 B. C.3π D. 7 . 已知 , 则 B. D. 8.已知函数若关于x 的方程f²(x)-(a+8)f(x)-a=0 有 6 个 不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ). B. C.(-4,0) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9.下列式子化简正确的是( ). C.sin(2024π-α)=-sinα D.tan(α-2025π)=-tana 10. 已知实数a,b 满足等式3°=2°,则下列不等式可能成立的是( ). A.0<a<b B.0<b<a C.a<b<0 D.b<a<0 11. 已知f(x),g(x) 都是定义在R 上的函数，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(x)+g(x)=x²+2x+2, 则下列说法正确的是( ). A.g(f(x)) 为偶函数 B.g(0)=0 C. 对 Vx,x₂∈(-∞,0),不 等 式总成立 D. 对 Vx,x₂∈(0,+∞), 且 x<x₂,总 有xx₂ · [f(x)-f(x₂)]+x₁- x₂<0 数学试题 第2页，共4页 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 三 、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数 则f(f(-2))= _ 13.已知 ,且 ,则cos β= 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x+1)=f(-x+1), 当x∈[0,1]时， f(x)=b+alog₂ (x+4), 且 , 则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2025)= 四 、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分) 计算下列各式的值： 16. (本题满分15分) 的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式，并求 的值； (2)将f(x) 图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上 各点向右平移 个单位长度，得到g(x) 的图象，求g(x) 在[-π,π]上的单调递增区间. 数学试题 第3页，共4页 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 17. (本题满分15分) 已知函数是R上的偶函数. (1)求实数m 的值； (2)判断函数y=f(x) 在[-∞,0]上单调性，并用定义法证明； (3)求不等式f()-f(-2t)>0 的解集. 18. (本题满分17分) 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用 所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元， 每生产x 万件需另投入流动成本c(x)万元，其中c(x)与 x 之间的关系为： 且函数c(x) 的图象过点Q(21,115).每件产品售价为6 元，假设小王生产的商品当年全部售完. (1)写出年利润L(x) (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(注：年利润=年销 售收入-固定成本-流动成本); (2)当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大年利润是 多少? 19. (本题满分17分) 若函数f(x) 在定义域内存在实数x 满足f(-x)+f(x)=0,k∈Z, 则称函数f(x) 为定义域的“k阶局部奇函数”. (1)若函数f(x)=sinx-2tanx, 判断f(x) 是否为 上的“2阶局部奇函数”? 并说明理由； (2)若函数f(x)=lg(m-x) 是[-3,3]上的“1阶局部奇函数”,求实数m 的取值范围； (3)对于任意的实数,函数f(x)=x²-x+t 恒为R 上的“k 阶局部奇函数”, 求k 的取值集合. 数学试题 第4页，共4页 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$惠州市2024-2025学年高一第一学期期末考试 数学参考答案与评分细则 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A B A B D A 1.【解析】因为集合A=L,2,3,4,5},B={2,4,6,8},A⌒B={24.故选：D. 2.【解析】命愿“x>-1,x2≤1”的否定是“3x>-1,x2>1”,故选C. 3.【解析】若角是锐角，则角4是第一象限角： 但角a是第一象限角，则角a不一定是锐角， 故“角是锐角”是“角（是第一象限角”的充分不必要条件，故选A 9 9 4【解析】因为x>0,由基本不等式可得x+2≥2，x.2=6, 9 当且仅当x=3时，等号成立.所以，当x>0时，则x+二有最小值6，故选B. 5.【解析】a=32>3°=1， 因为函数y=x是R上的单调递增函数， 又1>0.3>0.2， 所以1>0.3>02， 所以a>c>b,故选A. 6【解析】由已知∠40B=名元，OC=1,O4=1, 3 所以扇面面积为S= ×名×3-×2元=8，故选B 23 23 3 7【解析】因为sim0-马=5】 631 所m20+月=m0-晋+9-cw00-争=aw20-9-1-2am0-21-2x9:-} 6 6 故选D. 8.【解析】作函数f(x)的图象如下， 第1页共10页 由图象知：要关于x的方程f(x)-(a+8)fx)-a=0有6个不同的实数根， 令t=f(x),则原方程可转化为-(a+8t-a=0, 令g)=tF-(a+8r-a,则函数g0=t产-(a+8r-a在(1,3]有两个不同的零点， △=[-(a+8]-4x1x(←ad)>0 因此 1<a+8<3 2 ，解得-4<a≤-15 g)=1-(a+8)-a>0 g3)=9-3(a+8)-a≥0 所以实数口的取值范阻为(4- 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BC 10.AD 11.ACD 9.【解折】对于4，sim4经=im(r+马=-sim云-5 ,故A错误： 3 3 对于B,co3(-)=cosT=1 元1 31 ，故B正确： 32 对于C,sin(2024元-a)=sin(-)=-sina,故C正确： 对于D,tan(a-2025x)=tana,故D错误. 故选BC 10.【解析】 【方法1，利用指数函数图象，数形结合比较大小】 =3 V=)r 作出函数y=2*与函数y=3的图像，如右图， 当3=2>1时，根据图像得0<a<b,故A正确： 当3°-<1时，根据图像得b<a<0,故D正确： 故选：AD 第2页共10页 【方法2，利用对数运算性质化简，利用等式与不等式性质比较大小】 因为3°=2，所以1og,3°=1og,2,即a=b1og,2, 因为0<1og,2<1, 所以，(1)当a>0,b>0时，a<b,即0<a<b,所以A正确： (2)当a<0,b<0时，由a=b1g,2可得d=l1og:2,从而d<bl,即-a<-b,即b<a<0, 所以D正确 【方法3，引入中介变量，利用换底公式和对数函数单调性比较大小】 设3°=2=k>0, (1)当k=1时，a=b=0； 1 (2)当k>1时，a=1og,k= ->0,b=1og2k= 1 >0 log.3 log,2 且此时f(x)=1ogtx是增函数，则log:3>1og:2 所以0<a<b,A正确： (g)当0<k<1时，a=loe,k=g3<0,b=1e:k=ig20. 1 1 且此时f()=logx是减函数，则log:3<log:2 所以b<a<0,D正确. 故选AD. 11.【解析】由题意已知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 由f(x)+g()=x2+2x+2,得f(-)+g(-)=x2-2x+2,即-fw)+g(x)=x2-2x+2 f(x)+g(x)=x2+2x+2 联立 -f(x)+g(x)=x2-2x+2 解得f(x)=2x,g(x)=x2+2, 对于A,g(f(-x)=g(-f(x)》=g(f(x),所以g(f(x)为偶函数，故A正确. 对于B,因为定义域为R,且∫(x)为奇函数，所以f(O)=0, 当x=0时，有f(O)+g(0)=2,所以g(0)=2,故B错误， 第3页共10页 对于C,【方法1，代入解析式，作差比较大小】， 8)=y+2=+25+2 2 2 g)+g-++4+王+2， 2 2 所以8)+8)-g+5)-+×2=任-20， 2 2 4 4 【方法2，利用重要不等式比较大小】 <0,x<0,则由重要不等式得2x5≤+（当且仅当x=x时取等号）， 所拟8)=(y+2 2 -86)+8s)+2x5,+4 4 ≤86)+8，)+2+x2+4 4 _8)+8),故C正确， 2 对于D,x2[f()-f(x]+x-x2=2x(化-x)+x-32=(-x,)(2xx:+1), 因为x>0,x>0,且x<x,所以（化-x)2xx+)<0恒成立， 即xx2[f(:)-f(x】+,-x<0恒成立，故D正确 故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12.0 136 5) 65 14-1+1og5(或写成-1+1g:5,1g: 12.【解析】函数fx)= 30°，则f-2)=3,所以2=1®)=0 这【解折1因为na-号wa+)=是且a0引a+p行小 所以cosa=看-ma=子sme+)-ora+Aj=音 cosB cos (a+B)-a =cos(a+B)cosa+sin(a+B)sin a 14.【解析】因为f(x+1)=f(-x+1),所以直线x=1是函数f(x)的一条对称轴，即f(x+2)=f(-x), 又因为f(x)是奇函数，所以点(0，O)是函数f(x)的对称中心，即f(-x)=-f(x), 第4页共10页 所以f(x+2)=f(-x)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故函数f(x)的周期是4 因为∫(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0, 又当e则时.=b+alog.c+40.且f3=1e号 所以f(0)=2a+b=0, 月=e4为-=-r9-6+ane3=6ohs号1号 9 2 两武联立可解得a宁b=-1, 所以当xe0,川时，fo=-1+og,x+0, 所0=-1+og,5,f2=f0=0,f6)=f-)=-f0=1-2g.5,f④=/0=0. 所以f1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 所以f0+f2)+f6)++f2025)=0x506+f202)=f0=-1+1g5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分，其中第(1)问7分，第(2)问6分) 【解析】解： 1)8+(-9.6)°+-8 =8)2+1+(-8) =4+1-8. 6分 【注：每项算对得2分】 =-3…… …7分 【注：结果正确得1分】 21e,95+1og1+lg2-le写 =log,32+0+lg(2×5） …10分 第5页共10页 【住：1g2-le写g(2x得1分1 5 0+1 .12分 【注：1og,3=得1分，lg2×5)=1得1分】 2 .13分 2 【注：结果正确得1分】 16.(本小题满分15分，其中第(1)问9分，第(2)问6分) 【解析】(1)由图形可得A=1, 1分 2π-刀_=元 2分 3622 2π T= =T, .3分 0 解得0=2， …4分 因为y=f()过点 所以m2x+1，即p-+2红ke2), 5分 所以p=T+2kr(k∈Z), 6 6分 又因为网<石，所以= 6 …7分 故f(x)=sin 2r+ 8分 6 所以f受=m(2x及+爱=m5=5 9分 126 3 (2)函数y=(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍， 得到2++ .10分 再将所得图象上各点向右平移严个单位长度，得到g(x)的图象， 4 所g=m[6争+司（局副 .11分 第6页共10页 【方法1】 令-T+2kπ≤x-0≤5+2kr,kE乙， 122 …12分 则-5+2h知Sx 12 π+2k元，k∈Z， 13分 12 7π 因为xe元，小，所以k=0,二证sxs 12 14分 所烈8到在元司上的华消通棉区同为否没 15分 【方法2】 1=吾e元，所e, …12分 因为y=血，1竖告治的单莲精区同为， …13分 且由- 14分 12 12 所以g(x)在[-元，π]上的单调递增区间为[ 5π7π 12'12 …15分 17.(本小题满分15分，其中第(1)问4分，第(2)问6分，第(3)问5分) 【解析】(1)【方法1】 因为函数f)=+ 1+x2 是R上的偶函数， 所以f(-x)=f()对任意x∈R恒成立， 1分 即-+1+1 1+()1+下对任意x∈R恒成立， 2分 即代=0对任意x∈R恒成立， 3分 解得m=0 …4分 【方法2】 因为函数f()= x+1 1+x2 是R上的偶函数， 所以f(-1)=f(I), ….1分 即二m+1_m+1 2分 2 2 解得=0 .3分 经检验，加=0时代)=1十子是R上的偶函数 4分 第7页共10页 【注：方法2没有验证扣1分】 四由a)得)= 1+x2 …5分 任取x,X2∈(-0,0]，且<X2, 6分 11 则f,)-f)= - 1+x1+x20+x2)0+x) 7分 =-s-+) Q+x)0+x) .8分 因为，x2∈(-0,0]且x-x>0 所以X4+2>0,所以f)-fx)>0, Q+x)0+x) .9分 所以函数y=f(x)在(-0,0]上为增函数. .10分 3)由4(2)可得f四=1+ 1 ，为R上的偶函数，且在(-n,0]上单调递增，在(0，+o)上单调递 减， ……11分 f0-0-2)>0变形为f)>f0-2), …12分 则要满足川<1-24， 4…13分 …14分 故不等式的解集为1<或1>1 …15分 18.(本小题满分17分，其中第(1)问6分，第(2)问11分) 【解析】(1)依题意得，当x=21时，y=115, 则7×21+-37=115， 20 …1分 所以m=100,… .2分 因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6r万元，…3分 依题意得， 当0<x≤8，xen时，-6x-2--2x=+4-2 4分 3 当>8.xeN时，=6-2-7x-10+37=35--10 x-1 -1 .5分 第8页共10页 x2+4x-20<x<8xeN 所以L(x) ，6分 35-x- 100 x-1 x>8xEN (2)当0<x≤8，x∈N'时，L()=- x+4x-2= 1 (x-2+10,…7分 所以当X=6时，L(x)取最大值10万元，.8分 当x>8,xeN时，Z0)=35-x-100=34-K-1+ 100 x-1 9分 因为x>8,xeN,所以x-1>0, 100 x-1 20 10分 所以L(x)≤34- 2 (r- 1) 100 …12分【得2分】 x-1 =14 …13分 当组仅当-19时，即=1时取等号， …14分 所以当x=11时，L(x)取最大值14万元， …15分 因为14>10，所以当x=11时，L(x)取最大值14万元， …16分 综上当年产量为11万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为14万元 ,,,4,,17分 19.(本小题满分17分，其中第(1)问4分，第(2)问5分，第(3)问8分) 【解折11【方法】若网是（受孕上的“=阶局部奇函数” 则3e(孕，满足八-9+2国=0，即血(-2m9+2血-4=01分 即sinx-2tanx=0,sinx0-2）=0.2分 cos.x 解得x=0, 3分 则在(5孕上#在实数x=0满足八0+2因=0， 故因是（孕上的“二阶局部奇福数~ 4分 【此结论也可放在开头，先判断正确可得1分】 【方法2】因为J(x)=sinx-2a1x,所以f(0)=8in0-2an0=0,1分 故f(0)+2f(0)=02分 第9页共10页 即在（号孕上存在实数x=0满起八+2=0， 3分 故)是（受孕上的“二阶局部奇高数 …4分 【此结论也可放在开头，先判断正确可得1分】 (2)由题意可得，3x∈[-3,3)使得f(-x)+f(x)=0, 即3x∈[3,3)使得l1g(m+x)+lg(m-x)=lg(m-x2)=0,…5分 【正确使用了对数和的运算性质得1分】 故3x∈[33]使得m2-x2=1,即7m2=1+x2,…6分 因为1+x2∈[1,10]，所以m∈L10],7分 m+x>0 又因为x∈【-3,3]，使得 m-x>0,所以m>3, 8分 综上所述，实数m的取值范围是(3.0]… 9分 (3)由题意得，f(-)+k,f(x)=0在R上有解， 即(k+1)x2+门-k)x+(k+1)t=0在R上有解，10分 ①当k=-1时，解得X=0ER,满足题意，…11分 ②当k≠-1时，对于任意的实数te 0,2 △=0-)2-4k+1)1≥0恒成立，…12分 即4(k+1)21-0-k)2≤0恒成立， 即[4(k+1)21-0-k)门.m≤0… …13分 因为低+>0，所以g0=4k+1--'在1m,单调递增， …14分 所以g0=g=4+0-号-炉≤0恒成立，即+6+1长0-15分 解得k∈[-3-2√2，-3+2]，… 16分 由于k∈Z,综上所述k∈{-5-4，-3.-2，-1)， …17分 第10页共10页