湖南省常德市2024-2025学年高三上学期检测考试数学试题

常德市2024一2025学年度上学期高三检测考试 数学（试题卷） 本试卷满分50分，考试时闻120分钟 命题人：佘智辉（桃源一中）田宏达（常德市一中）周顺（常德外国语学校）龚家喜（市教科院） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A={小3x-2+Vr-2<6,B={x∈Z0<x<6},则4nB= A.[2,6) B.2,51 C.2.34,5 D.L23,4,5 2.已知公比为g的等比数列{an}的前n和为S,4=2,a,4,=8,则S-3g= A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知向量a=(cos,sim0),6=(亿，-)，若aL石，则加9+cos9的值为 sin+3cos0 A B 4 4.已知函数y=二的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步深究可以发现 函数y=ar+”(a>0,b>0)的图象是以直线y=ax,x=0为渐近线的双曲线.现将函数 y=三x+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位十x轴上的双曲线C,则它的离心率是 A.5 B.10 C.5 D.10 2 3 5.(x十y一1)的展开式中所有二次项（即含x2,y,y的项）的系数和为 A.-40 B.-20 C.0 D.40 6.已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为√3， 则该圆台的体积为 A.8N3元 B. 26v3z c. 28v3m D.10W3π 3 3 7.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A,B分别在抛物线y2=4x及圆 M (x-1)+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴， 则△FAB的周长的取俏范围是 A.[8,10] B.(5,8 C.(10,12) D.(8,10 高三数学试题卷第1贞共4页 8.己知定义域为R的函数f(x)满足当x≤1时，f(x)= x2+1,x≤0 且对任意 Iogz(x+1),0<x≤1 x之0都有f)=fx+),则当m∈L,时，关于x的方程f)+三-m=0的实根个 2 数为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点P,直线1，m,n,平面a,B,则下列命愿正确的是 A.若1//m,mC,则11/a B.若1⊥m,11n,m∩n=P,mCa,nCa,则1⊥a C.若l11a,x∩B=m,1CB,则111m D.若a⊥B,a∩B=m,1ca,1⊥m,则1⊥f 10.已知某人掷骰子5次，并记录每次般子出现的点数，统计数据为：2,1，a,b,c,若 a,b,c成等差数列，则由下列说法可以判断出·定没有出现点数6的是 A,该组数据的中位数为4，众数是4 B.该组数据的平均数为3,80%分位数是5 C。该组数据的平均数为3，方差小于3 D.该组数据的极差为5，方差大于3 1.数列a,满是：4宁a-a之子×宁分，。，-46<×白 3.1 二×()”，记数列{an)前2n 64 项中所有奇数项的和为D,。,则 A.a=( B.a,-a64 3 C.若a<1,则m>n 2 D.2m< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足zz=2V3-2i,则复数z= 13.已知)5细x-+与os2x+5cos,则函数f的最小值为 l4.若函数y=fx)满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A,都有e[/f(x)-e]是 一个常数a,则称f(x)在A上兵有M性质设y=g(x)是在区间[-2,2】上具有M性质 的函数，且对于任意x,x,∈[-2,2]，都有1g()川-g(x2)(x-x)>0成立，则a的取值 范围为 高三数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知椭圆c:子+ ,=l(a>b>0)过点P(√2,1)，且椭圆C的短轴长等于焦距. ①求椭圆C的方程： 四若直线！的斜率为 2 ,且与椭圆C相交于A、B两点，求△ABP面积取得最大值时 直线1的方程. 16.(本小题满分15分) 已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b-2cosA_2cosC sinA sin C ①)求边c: ()若tanC=2tanB,求△ABC面积的最大值. 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB=AD=2,CD=BC. (①)作点A在平面PBD内的射影H,写出作法及理由： (I)若∠BAD=120°，∠BCD=60°，且PB⊥PD,求二面角H-AB-D的正弦值. 高三数学试题卷第3页共4页 18.(本小题满分17分) 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分 为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测， 检测结果统计如下表： 测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100] 元件数（件） 2 18 36 40 (①现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不 合格品的概率： (川关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学 期望E-,方差D(X)-d,则对任意正数E,均有PX-小©小号成立 0若X-B10,2,证明：P0≤X≤25)50 (由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率 是有界的若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合 “切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件) 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=ln(x+) ()求f(x)在原点处的切线方程： 四为正整数，对任意20，求证：宁 x+12 -x)+n(x+): 四求证：f兮+宁+…+f(宁<生(e为自然对数的底数). 高三数学试题卷第4页共4页常德市2024-2025学年度上学期高三检测考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 题号 2 3 6 8 答案 B B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD AC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.√5-i 13.- 11 4 14.[-e 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 解：(I点P(2,D代入方程C:+ 2.1 左=1a>0,b>0)得+ =1④ 且2b=2c②，a2=b2+c2③. 3分 由①②③可解得：a2=4,b2=2, 所以椭圆C:女+y 十=l 5分 42 设直线的方程：y-号+m,点小，小 直线方程代入椭圆C:女+ =1得2x2+2V2x+2m2-4=0, 42 由△=8m2-8(2m2-4)=32(4-m2)>0,得-2<m<2 x+x2=-√2m,x2=m2-2… 8分 则弦长AB=V1+k2V(:+x2)2-4xx2=V3(4-m2), 点P(√2,1)到直线1：y= √2 x+m的距离 2 数学参考答案第1页（共6页） 2x2-1+m 2 ..10分 3 V3 AMBP面积s=d=234-m 2 m-2m4-m)s5.2分 当且仅当m2=4-m2即m=±√2时等号成立， 故△ABP面积取得最大值√2时直线I的方程为y= X士2.l3分 2 16.(本小题满分15分) 【详解】(1)法一：由b-2cos4-2cosC 可得bsin C=2 cos Asin C+2 sin Acos C, sinA sinC .'.bsin C=2sin(A+C)=2sin B...... 3分 由正弦定理可得：bC=2b5分 昕以C=2,444444444444444444444 7分 法二：由b-2cos4 2cosC 可得b-2c0s4_2cosC 2分 sin A sinC b- 2+c2-a2 a2+b2-c2 由余弦定理得： bc -=-ab 4分 a 化简得：bc b2+c2-a2a2+b2-c2 ，即bc=2b,所以C=27分 b b (I)法：，tanC=2tanB,则sinCcosB=2 sin BcosC, 所以3 sin Ccos B=2 sin BcosC+2 sin Ccos B=2sin(B+C）=2sinA.9s分 由正弦定理可得：3 ccos B=2a,又因为c=2,所以3cOsB=a11分 3 所以△ABC面积为：S=)0 csin B=3 cos BsinB=sin2Bs 2 213分 3 当sin2B=1即B=:时取等.所以△ABC面积的最大值为 15分 法=：s3 absin C-2sin4.sinB-2sinA.sinB sin C sin(A+B) 2sin A.sin B 2tan A.tan B 9分 sin Acos B+cos Asin B tan A+tan B 又tanA=-tan(B+C)= tan B+tan C 3tan B tan B.tan C-1 2tan2B-1 12分 2× 3tan2B 则S= 2tan2B-1 3tan B 6tanB<6tamB-2当B=元时取等l5分 +tan B 2tanB+2 4tan B 2 A 2tan2 B-1 数学参考答案第2页（共6页） 法三：，tanC=2tanB,易知B,C都为锐角 如图，作边BC上的高AD, 则有BD2+AD2=AB2=4, D '.tan C=2tan B AD 2AD 11分 CD BD ,即BD=2CD… 5wCDBDADBD.ADD3 22 4 2 2 当且仅当BD=AD,即8=年时取等 15分 法四：tanC=2tanB,则sinCcosB=2 sin BcosC,ccos B=2 bcosC, 余弦定理可得+c2-Ba2+62-c ,即a2+362=3C2=1210分 2a a 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccos A=b2+4-4 bcos A, 则有12=a2+3b2=4b2+4-4bc0sA, 化简可得-bc0sA=2,即cosA=-2 …12分 b 所s=cm4=bn4=-。子=+5 2 当b2=时，S= 3 15分 2 法五：同法四可得a2+3动2=3沁2=1210分 如图过点C作底边AB的高CD, 不妨设AD=1+d,BD=1-d,CD=h, 则有b2=(1+d)2+h,a2=1-d)2+h2, 则a2+362=31+d2+3h2+0-d)2+h2-12, 整理可得2+(d+}=9 …13分 2 4 所以？≤？，即h≤名，当且仅当d=-号时取等， 1 A 2 1 3 则有S= 15分 2 17.(本小题满分15分) 解：(I)设AC∩BD=O,连接PO,过点A作PO的垂线，垂足即为点A在平面PBD 内的射0影H.2分 下面证明： ',AB=AD,CD=BC,∴点A,C在线段BD的中垂线上，即有AC⊥BD ·,PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.PA⊥BD 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.BD⊥平面PAC4分 数学参考答案第3页（共6页） 又BDC平面PBD,∴.平面PBD⊥平面PAC 又平面PBD∩平面PAC=AO,AH⊥PO,AHc平面PAC .AH⊥平面PBD,故点H为点A在平面PBD内的射影6分 (I)由(I)可知，可建立如图空间直角坐标系O-XyZ,AB=AD=2,又∠BAD=120°， ∠BCD=6O°，.PB⊥PD且PB=PD,易知OA=1,OB=V5,PB=V2OB=√6 在RPB中，PA=VPB-AB=V2,在RPAO中，P0=5,OH=5 则aa00-05a,a-号号 9分 设平面HAB的法向量为n=(x,y,z), 4B=(5,10,=0,2,马 33 n.AB=0 5x+y=0 则 n·Ai=0 32=0 不妨取x=1,则i=L,-√5，√6) 平面DAB的法向量m=(0,0,1) 12分 二面角H-AB-D的平面角为0，|cos0曰cos<m,n> =6 14分 10 又0e(0,,∴sin0=V-cos日=i@ 二面角H-AB-D的正弦值为 15分 5 18.(本小题满分17分) 解：(I)记事件A为抽到一件合格品，事件B为抽到另一件为不合格品， P(AB)= C·C2=160 Cio 495 2分 P(A)-CioC 476 .4分 Co 495 P(BIA)- P(AB) 160 40 P(A) 476 119 5分 (Ⅲ0由题：若X~800,,则E(X)）=50,D(X）=257分 又P(X==C(分m=P(X=I00-k), 数学参考答案第4页（共6页） 所以P(0≤X≤25)-号P0≤X≤25或75≤X≤10)=PX-50225)9分 由t雪夫不等式可如，Px-5观2S)察-名 所以P0≤X≤25)s 11分 0 ()设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,假设厂家关于产品合格率为95%的说法 成立，则XB100,0.95),所以E(X)=95,D(X)=4.75. 13分 由切比雪夫不等式知，P(X=80)sPX-95≥1S)s95x005 0.02115分 152 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理 可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信， 417分 19.(本小题满分17分) 解：(I)f(x)的定义域为(-l,+oo),f'(x)= .2分 x+1 .f'(0)=1,f(0)=0, .f(x)在原点处的切线方程为：y一0=1×(x一0)，即y=x4分 (Ⅱ)将x看成变量，n看成常数， 设g(x)= x)+nx+)= 1.1-x+h(x+1),≥0， 2”x+1x+1 所以g'(x)=- 20+1 1x- 2 6分 (x+1)2x+1(x+1)2 所以xe0,时.8(0，xe(分，+o)时，g>0, 所以g6)在[0，)上单调递减，在(，+0)上单调递增…8分 所以g2g宁=l+ 又f分分+0.f空天中安-++10分 x+1 ()由(2)可知： 对n累加，有 数学参考答案第5页（共6页） x+1 1 120 nx+nln(x+1) x+11-1x+1 2 x+1 x+1 x+1 +nlh(x+l)15分 令x=e-1.则分++分e-D+m= 17分 数学参考答案第6页（共6页）