预习篇 6.4.3(1) 余弦定理 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.4.3(1) 余弦定理 【题型1】 已知三边，可求三个角 【基础知识】 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. 证明 因为 所以， 同理可得. (2) 变形 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高二下·云南·学业考试）在中，内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（    ） A． B． C． D． 【题型2】三角形类型的判断 【基础知识】 · ； · ； · . 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【巩固练习】 1（23-24高一下·广东广州·期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，若，，则的形状是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【题型3】已知两边和一角求第三边和其他两个角 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 【巩固练习】 1（23-24高一下·天津·期中）在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 3（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【题型4】余弦定理中的角化边 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【巩固练习】 1（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 4（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为 . 【题型5】 余弦定理的运用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【巩固练习】 1（2022高二下·河北·学业考试）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·北京·阶段练习）在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 4（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，在四边形中，，为线段中点，，则（    ） A． B．15 C．18 D．9 5（24-25高三上·四川·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设为的中点，求的长度. 6（2024·全国·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求： (2)若点在边上，，求． 【A组---基础题】 1（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 2（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．6 B． C． D． 3（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2 5（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8（多选）（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 9（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 10（22-23高一下·吉林辽源·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 【B组---提高题】 1（23-24高二下·广西南宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 3（24-25高三上·江苏盐城·期中）在中，，，，点D在边上，为的平分线. (1)求的长； (2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3(1) 余弦定理 【题型1】 已知三边，可求三个角 【基础知识】 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. 证明 因为 所以， 同理可得. (2) 变形 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出中等角的大小即可. 【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为24与15， 设长为21的边所对的角为，则最大角与最小角的和是， 由余弦定理可得，， 因为， 则最大角与最小角的和是， 故选：B. 【巩固练习】 1（2024高二下·云南·学业考试）在中，内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理进行求解. 【详解】由余弦定理得. 故选：A 2（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边的比例关系结合余弦定理，可直接求出角B. 【详解】设，则， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：D. 【题型2】三角形类型的判断 【基础知识】 · ； · ； · . 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】设，利用余弦定理可判断角为钝角. 【详解】因为，所以设， 由余弦定理得， 因为，所以，所以为钝角三角形. 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高一下·广东广州·期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据大边对大角，得到边长为6的边所对的角为最大角，利用余弦定理求出，得到这个三角形是钝角三角形. 【详解】大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为， 则， 故为钝角，所以这个三角形是钝角三角形. 故选：B 2（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，若，，则的形状是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得，将，代入解得，进而判断三角形形状. 【详解】由余弦定理知， 因为，， 所以， 所以，所以， 因此，所以， 即是等边三角形， 故选：D. 【题型3】已知两边和一角求第三边和其他两个角 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：B 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 【答案】C 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在中，因， 于是由余弦定理得：， 即，解得或. 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高一下·天津·期中）在中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用余弦定理可解. 【详解】，即，解得（负值舍去）. 故选：C. 2（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：D. 3（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】将已知数据代入余弦定理中即得的长度. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B 4（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由余弦定理得到方程，求出. 【详解】由余弦定理得，即， 解得，解得或（舍去）， 故. 故选：D 【题型4】余弦定理中的角化边 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 【巩固练习】 1（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 2（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 3（2024高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 【答案】1 【分析】根据余弦定理得，即可得，进而可求解. 【详解】因为，两边同时乘以得：， 由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，故， 又因为，所以. 故答案为：1 4（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为 . 【答案】 【分析】先计算出，然后利用面积公式计算出 ，再利用余弦定理和基本不等式计算出，最后计算出的最大值. 【详解】设的内切圆半径为，由题意可得， 由余弦定理可得 ， 而，故 ， 由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立， 而 ，则，其中， 故， 令 ，故. 故选： 【题型5】 余弦定理的运用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 【例2】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知锐角的内角所对的边分别为，满足. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由平面向量的数量积运算可得，根据余弦定理求出，从而可求，继而可得的周长. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理可得. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以. （2）因为，所以， 所以. 因为，， 由余弦定理可得， 所以, 所以， 所以， 所以的周长为. 【巩固练习】 1（2022高二下·河北·学业考试）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 2（24-25高三上·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算. 【详解】，∴，∴， ∴ ， 所以， 故选：A． 3（24-25高三上·北京·阶段练习）在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的几何特征结合向量加法的法则，得，得到，利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，连接，根据菱形的几何性质有，有：对边互相平行，四条边均相等， 所以，且，所以，所以， 根据向量加法的三角形法则有，， 所以； 又因为，，所以， 在，，， 由余弦定理有：， 所以. 故选：B 4（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，在四边形中，，为线段中点，，则（    ） A． B．15 C．18 D．9 【答案】D 【分析】在中，由余弦定理求出长，由勾股定理可得直角三形，由求出长，再利用数量积定义即可求. 【详解】在中，已知， 由余弦定理可得 ，则. 由，可得. 故在中，为线段中点，则， 又，则， 且. 故 . 故选：D. 5（24-25高三上·四川·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设为的中点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用辅助角公式将把转化为，进而即可求解； （2）根据题意利用余弦定理求得，再利用可求的值. 【详解】（1）因为，整理得，即. 因为，所以， 所以，所以. （2）由余弦定理，且， 则，又，故， 又为的中点，则， ， 故 6（2024·全国·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求： (2)若点在边上，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用余弦定理的变形，化简得，进而；由得，进而，所以，用二倍角的正弦公式即可求解； （2）在中用余弦定理可求出，进而边可知，由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 整理得，即，则． ，解得， 所以， 则在中 （2）由（1）知，在中，由余弦定理， 所以．即 【A组---基础题】 1（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解. 【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形 故选：C 2（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用余弦定理转化求解即可． 【详解】因为在中，角，，的对边分别为，，， 若， 所以， 所以． 故选：D． 3（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】由余弦定理得， 因为，所以. 故选：C. 4（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2 【答案】B 【分析】根据余弦定理，求解. 【详解】根据余弦定理，， 得，解得或（舍）. 故选：B 5（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 6（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 7（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理， ， 因为，所以. 故选：A 8（多选）（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将，变形为求解. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以或， 故选：AC 9（2024高三·全国·专题练习）已知分别为的内角的对边，且.角 . 【答案】 【分析】利用余弦定理进行角化边，最后得到，最后利用正切值求解角度即可. 【详解】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 10（22-23高一下·吉林辽源·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)； (3)正三角形． 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而， 所以. （2）由，及，得， 所以. （3）由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 【B组---提高题】 1（23-24高二下·广西南宁·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的最小值，结合同角三角函数的平方关系可得的最大值. 【详解】因为，则由余弦定理可得： ，当且仅当时取等号． 又，，所以． 故选：C． 2（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 3（24-25高三上·江苏盐城·期中）在中，，，，点D在边上，为的平分线. (1)求的长； (2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案； （2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案. 【详解】（1）因为为的平分线，所以， 所以， 所以， 所以，即， 可得：. （2）由余弦定理可得：， 所以，所以， 由角平分线定理可得：，又因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形， 所以，则为的中点，在中， 由余弦定理可得 ，所以， 所以，在中， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$