预习篇 6.3.2—6.3.5 平面向量的坐标运算【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.3.2—6.3.5 平面向量的坐标运算 【题型1】平面向量的坐标运算 【基础知识】 1正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量可表示为， 称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，可看成以原点为起点，点为终点的向量. 2 平面向量的坐标运算 设，则 (1) 向量的模 (2) 向量的加减法运算， (3) 若，，则  (4) 实数与向量的积 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·湖南岳阳·期末）设，，，，则（    ）. A． B． C． D． 【题型2】平行向量 【基础知识】 若，其中，则. 证明 的充要条件是存在实数，使得 ，所以， 所以，消得. 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 2（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【题型3】 平面向量数量积的坐标表示 【基础知识】 1 平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值。 证明 （1）因为，， 所以 又，，， 所以； （2）因为，所以. 【经典例题】 角度1 求数量积 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一下·云南·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 2（23-24高一下·广东深圳·期中）设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 角度2 求向量的夹角 【例1】（23-24高一下·北京海淀·阶段练习）已知向量，，，若则实数（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4】平面向量垂直 【基础知识】 若 ，则. 证明 因为，所以与的夹角为， 所以， 又，所以. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【巩固练习】 1（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知平面向量， 若， 则实数的值为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 2（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·山东济南·三模）已知向量，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4（2023·河南·三模）已知，，若，则向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型5】平面向量的坐标运用 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【巩固练习】 1（2024高三·北京·专题练习）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（   ） A． B． C． D． 2（23-24高一下·河南·阶段练习）三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 3（23-24高一下·江苏无锡·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 4（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【A组---基础题】 1（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则向量（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知平面向量，，且，则（   ）． A．5 B． C． D． 4（22-23高一下·云南保山·期中）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（    ） A． B． C． D． 5（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6（24-25高三上·广西·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动.若，则a的最大值是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 8（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量，，，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 9（22-23高一下·广西河池·期末）设，向量，，，且，. (1)求；(2)求向量与夹角的余弦值. 10（24-25高三上·北京丰台·期中）如图所示，M是单位圆与轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，平行四边形OMQP的面积为S，函，， (1)求函数的表达式及单调递减区间； (2)若在上仅存在两个零点，求t的取值范围. 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最大值为 2（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点. (1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围； (3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.2—6.3.5 平面向量的坐标运算 【题型1】平面向量的坐标运算 【基础知识】 1正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量可表示为， 称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，可看成以原点为起点，点为终点的向量. 2 平面向量的坐标运算 设，则 (1) 向量的模 (2) 向量的加减法运算， (3) 若，，则  (4) 实数与向量的积 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）已知点，，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】点、，且， 设点的坐标为，则， 所以，，，求得，，故点的坐标为， 故选：A． 2（23-24高一下·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【详解】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 3（23-24高一下·湖南岳阳·期末）设，，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由列方程组可求出点的坐标，从而可求出 【详解】解：设，则， 因为， 所以， 所以，解得，即， 所以， 所以， 故选：B 【题型2】平行向量 【基础知识】 若，其中，则. 证明 的充要条件是存在实数，使得 ，所以， 所以，消得. 【经典例题】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据向量加减可得向量的坐标，利用共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题得，， 由得，，解得． 故选：B. 【巩固练习】 1（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为， 则，解得. 故选：D. 2（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及共线向量的坐标表示，列式计算得解. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：C 【题型3】 平面向量数量积的坐标表示 【基础知识】 1 平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值。 证明 （1）因为，， 所以 又，，， 所以； （2）因为，所以. 【经典例题】 角度1 求数量积 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】由题知， 因为，所以，即， 因为，所以． 故选：B. 【巩固练习】 1（23-24高一下·云南·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】 ，， . 故选：C. 2（23-24高一下·广东深圳·期中）设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 角度2 求向量的夹角 【例1】（23-24高一下·北京海淀·阶段练习）已知向量，，，若则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量坐标的运算求出向量的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值． 【详解】由，，则， 又，则， 则，即， ，解得， 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值. 【详解】， 故选：A. 2（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】若，则，解得． ∵与的夹角为锐角，∴． 又，与的夹角为锐角， ∴，即，解得． 又∵，∴． 故选：B 【题型4】平面向量垂直 【基础知识】 若 ，则. 证明 因为，所以与的夹角为， 所以， 又，所以. 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算得出，进而应用同角三角函数关系得出. 【详解】由， 可得， 所以，即得. 故选：C. 【巩固练习】 1（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知平面向量， 若， 则实数的值为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先判断出，利用坐标运算即可求出t. 【详解】若，则若， 平面向量 ，所以， 所以，解得：. 故选:A. 2（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量加减法及向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】由题， 由得，即，. 故选：D． 3（2024·山东济南·三模）已知向量，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算公式，化简得，即可求解的值. 【详解】由，， 由，得， 所以，得. 故选：D 4（2023·河南·三模）已知，，若，则向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直及数量积的运算律有，应用数量积、模长坐标运算得方程求参数，再由向量夹角公式求余弦值. 【详解】由题意，故， 所以，故， 由. 故选：B 【题型5】平面向量的坐标运用 【经典例题】 【例1】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 【例2】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 【巩固练习】 1（2024高三·北京·专题练习）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，， 则， 所以 设向量， 则, 所以，解得， 所以. 故选：D 2（23-24高一下·河南·阶段练习）三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量基本定理，利用坐标运算求解即可. 【详解】如图，以A为原点，的方向分别为轴的正方向，建立平面直角坐标系，    设，则，故，， 作,交的延长线于点，由题意可知， 又，则，所以，所以， 因为，所以，则. 故选：A 3（23-24高一下·江苏无锡·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夹角公式可得答案；法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量的夹角公式的坐标运算可得答案； （2）由（1）中的法二，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】（1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以；    （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. 4（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设 ，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【详解】（1）解法1：因为，， 所以 ， ， ， . 解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系 则，，，， 所以，，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 【A组---基础题】 1（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法准则即可求解. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：A. 2（2024高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标化的运算即可得到答案. 【详解】由题意得，． 故选：C. 3（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知平面向量，，且，则（   ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由向量平行得到方程，求出答案. 【详解】． 因为，所以，解得． 故选：B 4（22-23高一下·云南保山·期中）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示，得到，求得，结合，即可求解. 【详解】由点，可得，则 所以与向量方向相反的单位向量为. 故选：B. 5（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，由向量垂直的坐标运算计算可得结果． 【详解】由题得，因为，所以，解得． 故选：D 6（24-25高三上·广西·阶段练习）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角坐标形式公式可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 7（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方形ABCD的边长为a，顶点A，D分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动.若，则a的最大值是（    ）    A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，分别求出点的坐标，再根据题意即可得出不等式，解出即可. 【详解】设，所以点，， 所以 ，即，当且仅当时取等号， 所以a的最大值是2. 故选：B 8（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量，，，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】结合向量平行、垂直、夹角公式与模长公式逐项判断即可得. 【详解】对A：，若，则有，即，故A错误； 对B，，若，则有，即，故B正确； 对C：若，则，则，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 9（22-23高一下·广西河池·期末）设，向量，，，且，. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解，的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得结果． 【详解】（1）向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； （2）因为，， 所以， 设向量与夹角为， 则. 10（24-25高三上·北京丰台·期中）如图所示，M是单位圆与轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，平行四边形OMQP的面积为S，函，， (1)求函数的表达式及单调递减区间； (2)若在上仅存在两个零点，求t的取值范围. 【答案】(1)，递减区间为； (2). 【分析】（1）应用向量的坐标表示得，应用面积公式、向量数量积的坐标表示、三角恒等变换得，进而求其单调区间即可； （2）问题化为有两个根，结合的图象确定的范围，即可求参数范围. 【详解】（1）由题意，得，， 则 ，， 因此， 即函数的表达式为， 令，得， ∴的减区间为； （2）在有两个零点，即有两个根， 由，则，而函数的图象如下， 由图知，可得. 【B组---提高题】 1（多选）（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于ACD，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算结合三角函数的性质即可判断. 【详解】对于B，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以在边长为3的等边三角形ABC中，， 则，故B正确； 对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即，故C正确； 对于A，因为， 所以， 即， 所以，， 所以，， 则， 因为，所以，所以， 所以，即，故A错误； 对于D，由， 因为，所以当时，取得最大值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 2（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点. (1)已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点； (2)若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围； (3)若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值. 【答案】(1)不是 (2) (3)证明见解析，4048 【分析】（1）分别计算与重合和与重合时这两种情况下的结果，再依据一组稳定向量基点的定义得解. （2）根据向量运算法则得，再结合正方形结构性质可得的最大值和最小值，进而得解. （3）先转化，从而得，再结合和偶数边的正多边形图形结构性质即可得解. 【详解】（1）点不是关于的一组稳定向量基点，理由如下： 当与重合时，有， 当与重合时，有， 故不是关于的一组稳定向量基点. （2）因为， 所以，故由正方形结构性质得： 当与重合时，取得最大值；当与重合时，取得最小值0. 所以的取值范围为. （3）设单位圆的圆心为， 则， 所以， 因为多边形是正2024边形， 所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知，故， 又，所以， 故是关于圆的一组稳定向量基点，且. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$