预习篇 6.3.1 平面向量的基本定理 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

6.3.1 平面向量的基本定理 【题型1】 基底的概念及辨析 【基础知识】 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. 解释 (1) 基底，要求 ， 是不共线向量； (2) 唯一性：若不共线，且则 (3) 平面内任一向量均可由同一个基底唯一表示，这对研究问题带来极大的便利. 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得 ， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 2（多选）（22-23高一下·安徽阜阳·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据题意结合基底的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，因为，是平面内两个不共线的向量，且，， 所以与为不共线的两个向量，所以与可作为该平面内一组基底，所以A正确； 对于B，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以B正确； 对于C，因为，，所以， 所以与共线，所以与不能作为该平面内一组基底，所以C错误； 对于D，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以D正确. 故选：ABD 【题型2】用基底表示向量 【经典例题】 【例1】（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】在中，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确． 故选：D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知在中，，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线段位置及数量关系，结合向量共面的推理即可得解. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得． 故选：A 3（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：C. 4（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【详解】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C 5（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的性质即可求解. 【详解】, 由于三点共线，故，解得， 故答案为： 6（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 【题型3】平面向量基本定理的应用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设,依题得分别由三点共线和三点共线，利用平面向量基本定理得两个向量方程，求得，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 【例2】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 【巩固练习】 1（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 2（多选）（23-24高一下·河南漯河·期中）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（    ） A．∃λ使得||>|| B．△PCD的面积为定值 C．∠CPD的取值范围是[，] D．||的取值范围是[，] 【答案】BCD 【分析】对于A，根据正六边形的对称性判断即可；对于B，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对于C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对于D，根据当时，有最小值，点与点重合时，有最大值，判断即可. 【详解】 由可得， 即，可得， 对于A，因为正六边形关于对角线对称，故，故A错误； 对于B，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故B正确； 对于C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，故D正确. 故选：BCD 3（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A,B,C,设，将，代入， 得，因为E、G、C三点共线，且B、G、D三点共线， 所以，得， 即．所以A错，B，C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， ， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：BCD． 4（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 5（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    【答案】 【分析】在延长线上取点，使，取AB中点，由已知可得MN过圆心，求得，进而可求得梯形的高与上底，从而可求面积. 【详解】在延长线上取点，使，取AB中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 所以梯形高为，， 所以梯形面积为．    故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过向量的线性运算与点共线的判断方法，进而求得梯形的高与上底，从而求得面积，向量的线性运算是关键.. 6（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案； （2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案； （3），， 若，，三点共线，则，求出可得答案. 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 【A组---基础题】 1（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）． A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得． 【详解】由已知，由A，B，D三点共线， 故存在实数，使，即， 即，解得． 故选：D． 2（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【详解】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 3（22-23高一下·天津南开·期末）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性表示可得. 【详解】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 4（多选）（20-21高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 5（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A，B选项：根据平面向量线性关系得到的和，的关系；C，D选项：根据平面向量线性关系得到的和，的关系，根据平面向量的共线定理建立等式. 【详解】对于A，B：，A正确，B错误； 对于C，D：因为，，所以， 又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误． 故选：AC. 6（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    【答案】 【分析】设，利用已知把分别用和表示，然后由A，P，N三点共线和B，P，M三点共线得出的关系，求得，得出结论． 【详解】设，又，， 所以．又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线， 所以，解得，所以． 故答案为： 7（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若 ，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设 ，其中，根据条件得＝ ＋ ，利用共线的推论，得到，即可求解. 【详解】因为与交于点，所以三点共线， 所以与共线，设 ，则， 因为，所以， 可得＝ ＋ ，因为三点共线，所以，可得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 8（24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算证明共线后即得； （2）用表示各向量，由已知数量积求得，再由向量夹角公式计算． 【详解】（1）由题意知， ， 又， 所以， ， 所以，所以，，三点共线. （2）由题意知， ， 所以 ， 所以. 所以 ， 又，， 所以. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·江西·阶段练习）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为    因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 2（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（   ） A．若P为△ABC的重心，则 B．若P为△ABC的外心，则 C．若P为△ABC的垂心，则 D．若P为△ABC的内心，则 【答案】B 【分析】对于A，利用三角形重心性质易得，计算即可判断；对于B，将转化后利用向量数量积计算即得；对于C，先算出边上的高线长，再利用三角函数和勾股定理求得长，即可判断；对于D，先通过等面积求得三角形的内切圆半径，即得长，即可判断. 【详解】    对于A，如图，P为△ABC的重心时，延长交于点. 必有,即，故有，即A正确；    对于B，如图，连接,则, 在中，，故, 于是， 因，则,即，故，故B错误；    对于C，如图，延长交于点,不妨设 在中，,故中， ①， 又,解得，故， 在中， ② ，联立①和②，解得， 故,即，则，C正确；    对于D，如图，设的内切圆半径为， 则由解得，即, 故，即，则，D正确. 故选：B. 3（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. (1)求证：为定值； (2)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，利用向量的运算法则知，，然后利用三点共线可知为定值； （2）利用三角形的面积公式可计算求得 ，然后根据可得答案. 【详解】（1）设， 于是， 又，，、， ，， ， 根据向量的运算法则可知 ， ， 三点共线， ， 整理可得： ，即， 故为定值，定值为； （2）设， ， ， ， ， ， ， . 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1 平面向量的基本定理 【题型1】 基底的概念及辨析 【基础知识】 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. 解释 (1) 基底，要求 ， 是不共线向量； (2) 唯一性：若不共线，且则 (3) 平面内任一向量均可由同一个基底唯一表示，这对研究问题带来极大的便利. 【经典例题】 【例1】（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2（多选）（22-23高一下·安徽阜阳·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型2】用基底表示向量 【经典例题】 【例1】（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，点、、分别为的边、、的中点，且，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知在中，，，，则（   ） A． B． C． D．1 3（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 4（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 6（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【题型3】平面向量基本定理的应用 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【巩固练习】 1（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 2（多选）（23-24高一下·河南漯河·期中）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（    ） A．∃λ使得||>|| B．△PCD的面积为定值 C．∠CPD的取值范围是[，] D．||的取值范围是[，] 3（多选）（23-24高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 4（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 5（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图所示，四边形内接于圆，则四边形的面积为 .    6（23-24高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【A组---基础题】 1（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）． A．3 B． C． D．2 2（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 3（22-23高一下·天津南开·期末）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 4（多选）（20-21高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，，则用向量，表示 ．    7（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若 ，则的取值范围是 ． 8（24-25高三上·江西上饶·期中）如图，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一点，且. (1)若点满足，求证：，，三点共线； (2)若，，求向量与的夹角的余弦值. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·江西·阶段练习）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在△ABC中，，，P为△ABC内的一点，，则下列说法错误的是（   ） A．若P为△ABC的重心，则 B．若P为△ABC的外心，则 C．若P为△ABC的垂心，则 D．若P为△ABC的内心，则 3（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. (1)求证：为定值； (2)设的面积为，的面积为，求的取值范围. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$